“不等式”在高中数学教学的实践浅探2

I湖南科技大学毕业设计（论文）题目“不等式”在高中数学教学的实践浅探作者许云学院数学与计算科学学院专业数学与应用数学学号0807010119指导教师张剑尘二一二年五月十日II湖南科技大学毕业设计（论文）任务书数学与计算科学学院数学系（教研室）系（教研室）主任（签名）年月日学生姓名许云学号0807010119专业数学与应用数学1设计（论文）题目及专题“不等式”在高中数学教学中的实践浅探2学生设计（论文）时间自年月日开始至年月日止3设计（论文）所用资源和参考资料4设计（论文）应完成的主要内容5提交设计（论文）形式（设计说明与图纸或论文等）及要求6发题时间年月日指导教师（签名）学生（签名）III湖南科技大学毕业设计（论文）指导人评语主要对学生毕业设计（论文）的工作态度，研究内容与方法，工作量，文献应用，创新性，实用性，科学性，文本（图纸）规范程度，存在的不足等进行综合评价指导人（签名）年月日IV指导人评定成绩湖南科技大学毕业设计（论文）评阅人评语主要对学生毕业设计（论文）的文本格式、图纸规范程度，工作量，研究内容与方法，实用性与科学性，结论和存在的不足等进行综合评价评阅人（签名）年月日V评阅人评定成绩湖南科技大学毕业设计（论文）答辩记录日期学生学号班级题目提交毕业设计（论文）答辩委员会下列材料1设计（论文）说明书共页2设计（论文）图纸共页3指导人、评阅人评语共页毕业设计（论文）答辩委员会评语主要对学生毕业设计（论文）的研究思路，设计（论文）质量，文本图纸规范程度和对设计（论文）的介绍，回答问题情况等进行综合评价答辩委员会主任（签名）委员（签名）（签名）（签名）（签名）答辩成绩总评成绩VI摘要不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。建立不等观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。在高中数学教学中也是不可或缺的。本文主要是对高中不等式的教学内容进行梳理，通过对高中数学教材中2002版人民教育出版社的不等式教学内容和2007版人民教育出版社必修5的不等式教学内容进行比较分析；对高中不等式在实际教学中的现状分析；以及不等式与函数，方程之间的联系和高考中不等式的考点分析。关键词线性规划；不等式组；不等式；应用VIIABSTRACTTHERELATIONOFINEQUALITYANDEQUALITYRELATIONISTHEBASICRELATIONSHIPBETWEENTHENUMBEROFOBJECTIVETHINGS,ISTHEIMPORTANTCONTENTINTHESTUDYOFMATHEMATICSESTABLISHMENTOFCONCEPT,PROCESSINGTHERELATIONOFINEQUALITYANDUNEQUALTREATMENTAMOUNTISEQUALLYIMPORTANTINTHEMATHEMATICSTEACHINGOFHIGHSCHOOLISINDISPENSABLETHISPAPERISMAINLYONTHEHIGHSCHOOLINEQUALITYTEACHINGCONTENTTOSORTOUT,THROUGHTHEHIGHSCHOOLMATHEMATICSTEXTBOOKSOFPEOPLESEDUCATIONPRESS2002EDITIONINEQUALITYTEACHINGCONTENTANDTHE2007EDITIONOFPEOPLESEDUCATIONPRESSCOMPULSORY5INEQUALITYTEACHINGCONTENTSTOCARRYONTHECOMPARATIVEANALYSISFORHIGHSCHOOLINEQUALITYINTHEACTUALTEACHINGSITUATIONANALYSISASWELLASINEQUALITIESANDFUNCTION,EQUATIONANDTHELINKBETWEENTHECOLLEGEENTRANCEEXAMINATIONINTHEINEQUALITYTESTANALYSISKEYWORDSLINEARPROGRAMMINGINEQUALITIESINEQUALITYAPPLICATION湖南科技大学本科生毕业设计（论文）I目录第一章前言1第二章不等式在高中教学实践的意义221不等式的地位与作用222不等式教学过程中数学思想的培养223不等式的实际应用3第三章人教版新旧教材不等式的教学要求对比分析531数学观与课程功能观的新变化532不等式的教学内容对比分析533新旧教材不等式教学要求的对比7第四章高中不等式的实际教学现状分析941从教师角度评价不等式的教学现状942从学生角度评价不等式的教学现状1043教学改进与建议13第五章高考与不等式14512012年全国高考考试说明1452高考不等式的考点分析14532012年高考不等式的考试要求16结束语19参考文献20致谢21湖南科技大学本科生毕业设计（论文）1第一章前言人们常常用大与小、高与矮、胖与瘦、不大于或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系。对于高中数学的不等式学习，我们主要掌握一些关于不等式的基本知识。通过不等式丰富的实际背景理解不等式（组），体会不等关系和不等式的意义与价值；理解二元一次不等式（组）与平面区域的关系；借助基本不等式了解不等式的证明，解决一些简单的最大（小）值问题；通过不等式与函数、方程的联系。提高对数学各部分内容之间联系性的认识。而在高中数学的教学中不等式的学习是非常重要的，首先不等式是解决初等数学问题的重要工具，它既可以解决函数、方程等方面的问题，又经常同函数、方程相结合来解决代数、几何及各种实际应用领域中的问题。其次不等式作为描述和解决实际问题的重要数学模型，已无可争议地成为培养学生数学素质的重要载体，其学习和运用过程中所涉及到的数学思想方法，如函数与方程的思想，分类与整合的思想，化归与转化的思想，特殊与一般的思想，数形结合的思想等。所以说在高考的命题中不等式应用越来越受到命题者的青睐，既可以通过小题考查不等式基础知识和基本公式的应用，也可以在大题、压轴题中考查学生的逻辑思维和综合解决问题的能力。总而言之，不等式在高中数学的学习中是不可或缺的重要组成部分，它在数学应用和数学研究中都起着非常重要的作用，在生产实践和相关的学科中的应用也很广泛，也是学习高等数学的基础和工具之一。湖南科技大学本科生毕业设计（论文）2第二章不等式在高中教学实践的意义21不等式的地位与作用不等式是中学数学的重要内容之一，是进行计算、推理、数学思想渗透的重要题材，在数学应用和数学研究中都起着非常重要的作用，在生产实践和相关的学科中的应用也很广泛，也是学习高等数学的基础和工具之一。因此在高中数学的教学实践过程中，不等式有这重要的地位与作用（1）不等式是中学数学的基本内容，其性质及解法在其他内容中得到体现于应用，如集合问题，方程（组）的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值与最小值问题无一不与不等式有着密切的联系，许多问题最终归结为不等式的求解或证明。（2）不等式有着广泛应用，不等式还可以解决现实世界中反应出来的数学问题。如建房面积、人口增长、经济发展、生态环境、经营成本等问题都运用到了不等式的知识。（3）不等式是培养学生数学思想方法的良好题材，如分类讨论问题、数学结合思想、整体换元、转化化归思想等都在不等式学习中发挥的淋漓尽致。22不等式教学过程中思维能力的培养数学思维能力是数学能力的核心，理性思维能力包括逻辑推理、演绎证明、归纳抽象、直觉猜想、运算求解等方面的能力。而在不等式的教学过程中，也能很好的培养学生的思维能力。1培养学生逻辑推理和演绎证明能力以概念教学为主对于不等式这部分的教学，学生最容易混淆的内容主要包括两个方面（1）用分析法与综合法证明时推理过程的逻辑顺序关系；（2）证明不等式与解不等式是否需要同解变形，这也算培养学生逻辑推理能力最好的突破口。分析法证明不等式比较自然，符合学生的认知规律，它要求从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，也就是说每一步都必须是它上一步成立的充分条件。由于学生长期接触的推理证明的书写方法是综合法，在证明的过程中容易相互干扰，经常会自觉、不自觉的发生错误。学生觉得证明题最容易混淆，其主要原因是证明题的思路比较宽，结果明，老师不易发现破绽。不少学生从一开始就没有形成严谨的作业态度和规范的书写证明格式，直接影响到后续内容的学习。由于解不等式部分紧接在不等式证明之后，学生刚刚适应不等式的证明方法，又要用同解原理解不等式，有些学生很难转弯。这些方面都需要老师在教学过程中讲清、讲透概念，湖南科技大学本科生毕业设计（论文）3帮助学生理清逻辑关系和来龙去脉，并带头严格规范要求示范，把难点、易错点变成新的知识生长点。2培养学生归纳识别和类比猜想能力以强化题组训练为主不等式内容非常丰富，题型变化无穷。但是在纷繁复杂的题型背后，总有一点的解题规律，关键是要去发现和总结。不少数学教师采取题海战术、猜题押题等手段来应付考试，结果步入了“低效率、重负荷、底质量”的恶性循环的怪圈，决定学习效果的关键性因素不仅仅是题目的数量，更在于题目的质量和处理水平。要让学生学会归纳和类比，不断积累经验，才能触类旁通。3培养学生观察分析和开拓创新能力以一题多解的题型为主不等式的许多题目解法都是多样化的，并不唯一的。不少老师和学生似乎是为了解题而解题，一个问题只要能解决就匆匆而过，很少去分析和总结，挖掘其中的价值，错过很多完善知识结构、提升思维能力的好机会。做一道题从不同角度想出更多的解决方法，与做更多同类型的题目用的时间是差不多的，但是所反映出来的效果是前者好，而且可以更好的体现学生观察分析与创新的能力。4以批判反思为主培养学生缜密思维和抽象概况能力数学最怕的敌人就是僵化教条，唯书、唯上，没有自己的思想和个性，常常有学生问老师，这个问题是怎么考虑的为什么我想不到作为老师就要反思自己，怎样让我们的教学更符合学生的实际，怎么让我们的教学思路更加清晰自然。目前教师照本宣科的情况还相当普遍，老师讲、学生听，学生不敢问，也不会提问等教学现状在我国还是大量存在的。因此教师更多的还是要反省自己的教学。23不等式解题中渗透的数学思想高中数学常用的思想方法有数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、转化（化归）思想等，在不等式教学过程中都可以渗透这些数学思想方法，从而提高不等式解题的多样性和灵活性，也可以进一步促进学生的数学快速反应和运用能力。1数形结合思想。数和形是数学的两大支柱，数形结合思想就是通过数与形处理数学问题，这是由客观世界和数学本身决定的。数形结合思想贯穿于全部中学数学之中，数轴、计算法和几何题、三角法、复数法、向量法、解析法、图解法等等都是这一思想的具体运用，应用数形结合思想，可以将复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而使问题易于解决。在数学教学中，教师应充分利用图形、图像，使学生正确地理解和掌握所学的数学概念知识，通过数形结合的思想方法分析，让学生逐步掌握数与形的对应等，并加以运用。对一些不等式问题的解决，若能利用数形结合思想，使抽象思维与形象思维结合起来，就能使问题化难为易。2分类讨论思想。分类思想是一种依据数学对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象区分为具有一定从属关系的不同种类的数学思想方法。掌握分类思想，有助于湖南科技大学本科生毕业设计（论文）4学生提高理解知识、整理知识和独立获得知识的能力，完善认知结构，形成严密的数学知识网络。3函数方程思想。函数与方程的思想是指在解决某些数学问题时，构造适当的函数或方程，把问题转化为研究辅助函数或辅助方程性质的思想。不等式可看作两个函数值的不等关系，证明不等式又离不开换元和函数的单调性。在教学中必须强调函数与方程的区别与联系，首先应明确这是两个不同的概念，其次才能说明其中的互相转化和作用。函数与方程的思想实质是数学知识观念转换的重要思想，有助于对数学知识更深刻地理解，也是一种运动变化、相互联系的观点，这种思想在数学教学中具有特别重要的意义。湖南科技大学本科生毕业设计（论文）5第三章人教版新旧教材不等式的教学要求对比分析31数学观与课程功能观的新变化大纲开言指出“数学是研究空间形式和数量关系的科学”。标准对数学的知识是“数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具”。可以看出，标准对于数学本质有了新的认识，这种新认识体现了一种动态的模式论的现代数学观，因为数学即是通过建构模式来刻画自然规律和社会规律的。这一动态的数学观进一步改变了过去“简单的把数学等同于数学知识汇集的传统观点，而主要的把数学看成人类的一种创造性活动”，从而把学生的数学学习重点由结果扩展到数学活动的整个过程。大纲和标准的另一个区别就是名称的改变。“纲”含指导之意，数学教学大纲是对数学教学工作的指导性纲领，面对的是教师的教；而“标准”即要求，数学课程标准是对未来国民数学素质的最低要求，面对的是学生的学。这一点在目标的陈述方式上也有所表现大纲使用了“使学生学好”和2个“进一步培养”，而在标准的目标陈述中，大部分使用了“提高”、“发展”、“理解”、“体会”等词语。这一名称变化的背后是课程功能观的转变即数学课程不仅仅是为了传授数学知识与技能，更重要的是为了让学生掌握数学思想、方法，领会数学理性精神，认识数学的价值。32不等式的教学内容对比分析一、旧教材的教学内容旧教材中不等式的内容分为五个部分。第一部分讲不等式的性质。首先通过数轴表示数，给出了比较实数大小的方法，在这基础上给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了证明。而不等式的其他性质都可由它们推导出来。第二部分讲算术平均数与几何平均数。教材首先证明了一个重要的不等式，AB22通过这一个公式得出了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理，最后，最后通过几个例题说明此定理在解决数学问题和实际问题中的应用。第三部分讲不等式的证明。通过七个例题分别介绍了证明不等式的三种基本方法比较法、综合法和分析法。第四部分举例介绍不等式的解法。通过例题复习、总结了一元二次不等式、一元二次不等式（组）、含绝对值不等式、简单高次不等式和分式不等式的解法。第五部分讲含绝对值不等式。在这一部分里，介绍了含绝对值不等式的一个定理及其证明。并给出它的两个推论，在例题中介绍了它们的应用。在本章的内容学习中，不等式的证明和不等式的解法是重点，不等式的性质及其湖南科技大学本科生毕业设计（论文）6证明，不等式的证明是难点，因此关键就是要掌握不等式的性质。二、新教材的教学内容（2）新教材中不等式的内容主要分为四部分。第一部分讲不等关系与不等式。通过一系列的具体问题情境，使学生感受到现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，教材中以问题方式代替例题，强化了问题的意识。第二部分讲一元二次不等式及其解法。教材通过围绕学生感兴趣的上网问题及计时收费问题引入一元二次不等式有关概念，并通过让学生比较这两种不同的收费方式抽象出不等关系。第三部分讲二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题。通过实际例子银行信贷资金分配问题，抽象出二元一次不等式（组）数学模型，引出二元一次不等式（组）的相关概念。第四部分讲基本不等式。通过数形结合的思想让学生理解基本不等式的代2BA数、几何背景以及基本不等式的证明和应用。三、通过分析对比我们可知新旧教材在内容的编排的差异1内容的合理性。针对中学教学的实际情况，新教材降低了起点，以中学内容为主体，穿插了许多初中基本内容，这样既达到了复习旧知识和掌握新知识的目的，又进一步增强学生学习的信心，从而激发学生的学习兴趣。如一元一次不等式（组）、一元二次方程（函数），在初中已经学习过，但在新教材中不但提出来，而且又系统复习了有关内容，这在以往的教材中是从来没有过的。2例题、习题的层次性。新教材根据不同的专业及学生的差异，例题和习题进行分层编排，以往教材只分了两个层次，但在新教材分层更细化、更清楚。新教材的习题分四个层次，第一层次是课内联系，基本与课本讲解的例题一一对应，学生通过模仿例题就能顺利完成；第二层次是A类课外习题，它的要求和功能与课内练习相同，可以说是“依葫芦画葫芦”；第三层次是B类课外习题，它的功能要求是需要学生对所学知识稍有改造或创造，达到举一反三的地步；第四层次是C类习题，这一般是学习能力较强的学生提升自我的训练题，对一般学生不做要求。所以说，这样的习题配备既有针对性又有实效性，既减轻了教师的负担又增加了学生选择的空间。3注重知识的实际应用。新教材把培养学生用数学的意识贯穿教材始终，着重体现以人为本、大众数学和问题解决的现代数学思想。新教材在不等式部分多次涉及人口控制、机械、浓度等实际应用问题，充分体现了不等式知识在社会生活中的广泛应用，从而突出地反映了数学“源于生活，服务生活”的辩证观。4渗透了数学思想方法。不等式这一部分涉及的数学思想较多，如一元二次不等式的解法借助于一元二次方程（函数）得出，体现了数形结合的数学思想方法，如分式不等式、绝对值不等式的解法体现了分类讨论、转化化归、整体换元数学思想方法。在教学活动中渗透数学思想方法，对提高学生分析问题和解决问题能力是十分重要的，在提高素质教育的今天更加有重要的意义。湖南科技大学本科生毕业设计（论文）75阅读材料的使用性。不等式这一部分的阅读材料是绝对值不等式的几何解法。较之以往教材，这样的内容既及时巩固前面所学内容，又拓宽了学生的知识面，培养学生数形结合的数学思想方法，进一步提高了学生学习数学的能力和兴趣。6例题的规范化、通俗化。新教材对例题的处理比以往更加重视，有的例题不仅有详细的解法，还有清晰的思路分析。另外，解题的过程思路清晰，步骤规范，通俗易懂，这样既便于学生理解掌握知识，又便于学生自学。33新旧教材不等式教学的要求对比一、旧教学的要求（1）理解不等式的性质及其证明。（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。（3）掌握用分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。（4）掌握某些简单不等式的解法。（5）理解不等式。BABA（6）通过不等式的一些应用，使学生进一步理解在现实世界中的量之间，不等是普遍的、绝对的、相等则是局部的、相对的，从而对学生进行辩证唯物主义观点的教育。二、新教学的要求（1）不等关系通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系、了解不等式（组）的实际背景。（2）一元二次不等式经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。（3）二元一次不等式（组）与简单线性规划问题从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式（组）；从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。（4）探索基本不等式的证明过程会用基本不等式解决简单最大（小）值问题。三、新旧教材教学要求对比的结论（1）优点湖南科技大学本科生毕业设计（论文）81、新课程教材更加关注学生的发展，学生在学习过程中的感受、体验、认识状况以及理解程度，注重问题情境和实际背景的设置，力求形式新颖、内容有趣、应用性增强，突出并强调数学的应用性。2、教科书以问题方式代替例题，强化了问题意识，使学生在具体问题情景中学习如何用不等式研究及表示不等关系。3、新课程教材删去了高次不等式、无理不等式，删减了若干不等式的性质，并增加的一些实际问题及“思考”和“探究”栏目。4、教科书更加注重学生数学思想的培养，十分注重借助几何直观（即用图形）来分析解决问题的能力的培养。5、减少或删除了某些繁复的过于技巧性的运算和证明。（2）缺点1、新教材中删减了不等式的性质和不等式的证明这两部分，对整个数学的教学以及数学思想的形成产生了不良影响。2、一元二次不等式解法的编排不合理，应在学习函数前让学生了解一元二次不等式解法，这样更加有利于函数的学习。湖南科技大学本科生毕业设计（论文）9第四章高中不等式的实际教学现状分析根据新教材的课程目标了解到，对于不等式这部分的学习，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等式的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用一元二次不等式组表示平面区域，并尝试解决简单的二元线性规划问题，认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。但在现实的教学中，不管是教师还是学生，在对这部分的教学与学习中都存在了一些问题，下面，我们通过教师的角度和学生的角度来分析目前高中不等式的教学现状41从教师角度评价不等式的教学现状对于目前高中不等式的教学存在以下几点问题1根据新教材的教学安排，课程的教学顺序是从必修1至必修5。然而，在必修1第二章学习函数前，大部分的老师会在这之前补充一元二次不等式的解法，因为根据旧教材的课程内容安排，确实是在函数的学习之前了解一元二次不等式的解法，目的是为了求函数的定义域和值域等问题是更加方便简洁。但是这样匆忙的加入一元二次不等式的解法会扰乱教学，也会照常学生的困惑。主要的原因之一是部分教师对于新课改的教学目标把我不到位，在教学过程中运用的是新课改的教材，但是却用旧教材的教学目标，从而导致新课改的教学混乱，学生学习的两极分化。2新课改的目的是为了加强学生的自主学习，主动参与，但是为了教学进度，教师往往用灌输的方式进行教学，学生之间的讨论、自我探索的能力未达到教学目标的要求，从而导致学生缺乏数学学习的自主性和积极性。3部分新课改实验区都使用多媒体教学，这表面上看似乎把数学与科技联系在一起，但大部分的教学多媒体课件都是照本宣科，把书本上的内容放到多媒体中，在讲解的过程中，部分老师认为教学内容简单，学生易理解掌握的内容一带而过。使学生对基础知识的理解不深入，从而导致大部分学生对知识死记硬背，举一反三的能力下降。4教学过程中部分老师就只按照课本流程来进行，课程设计单一，缺乏创新。没有把实际问题和教材目标相结合，使得学生缺乏把现实世界和日常生活的问题运用数学知识进行解决的能力。5学生自主学习的地位还没有真正建立起来，目前的教学模式还是以教师的讲解为中心，而且在这个的教学过程仍表现出很强的控制欲，忽视了学生学习数学知识的兴趣培养，所以导致学生的学习兴趣降低，失去主动学习的兴趣。湖南科技大学本科生毕业设计（论文）106部分教师过分追求教学过程的创新，为了展示课堂的热闹氛围。但在教学设计上没有围绕教学目标进行合理科学的设计。使得学生盲目的配合教学过程，缺少对知识的学习与认识，对知识的掌握不足。导致的结果是学生对于整个数学学习的过程缺乏联系性，知识的结构框架无法形成。7新课改的教学评价的重视点方向错误，目前对于新课改的教学评价往往都是这个老师讲的怎么样、课堂的活跃性、学生合作探讨的自主性等方面进行评价，很少有人会评价学生是否掌握基础，会联系实际问题灵活运用知识点。这也是目前高中新课改的教学进步的一大改革。42从学生角度评价不等式的教学现状针对学生掌握不等式这部分的内容进行调查，发现以下几点问题1对于不等式的基本性质的掌握不足，容易混淆，无法正确灵活的运用。通常对“不等关系”和“相等关系”的理解有困难。尤其在解分式不等式时，将不等关系与相等关系混为一谈。例题1求不等式的解集。012X错解原式所以解集为。2,分析解题的过程中缺乏对分母的讨论，导致错误。正解原式01X则解集为，但因为，所以2,1X1X综述所述可知原式的解集为。2,2在解一元二次不等式时，缺乏将不等式与函数图象结合的能力。从而导致解题错误。例题2解不等式的解集。023X错解根据题意可知因为，所以203X因此X原不等式的解集为。3X分析解题的错误是由于随意的消项，没有对题意进行深入分析。因为当02X湖南科技大学本科生毕业设计（论文）11时，原不等式也成立。正解根据题意可知且或时不等式均成立02X3X02X解得或3所以原不等式的解集为或。3学生对基本不等式、均值不等式、绝对值不等式的性质认识不足，导致求解综合性题目的过程中存在一定难度。特别是运用均值不等式时，常常忽视其使用条件“一正二定三相等”。例题3已知,且，求证RBA141AB错解根据题意由基本不等式得2所以42AB分析公式的使用的前提是均为正数，由于忽略了这个提前，导BA,致解题的错误。正解根据题意知ABA2122当且仅当时取“所以4B例题4若，求的最小值。0,20YX22SINCOYXF错解根据题意可知COSIN2ISINCO222XYYF当且仅当，即22SICYXXTA此时22TAN14IOSINY所以222SICYXYXF因此MINF湖南科技大学本科生毕业设计（论文）12分析上述解法违背了基本不等式求最值的第二个条件“二定值”要求内的任意一个值时不等式的右边均为定值。2,0正解根据题意可知22SINCOYXF222TANTT1TA1BXYY当且仅当，即当时成立22TANTXXYT所以。MINYF例题5求函数的最小值。23X错解函数2112XY所以函数的最小值为2。分析使用基本不等式求解函数的最值问题时，一定要检验等号成立AB的条件即只有时才能取等号。以上解法在等号成立时，在实数范围内是不成立的。BA正解函数2121322XXXY令T则在时单调递增TY1所以23T故函数的最小值为。湖南科技大学本科生毕业设计（论文）134在学习二元一次不等式（组）与简单线性规划问题这部分内容时，学生对于联系生活实际的解题能力不强，同时对于不等式、方程及函数等之间的联系无法灵活运用，且对于不等式中所蕴含的数学思想了解不深入。这都使得学生在应用不等式的过程中举步艰难。43教学改进与建议根据教师和学生角度对于高中不等式目前的实际教学现在分析结果，给出以下几点教学改进与建议1改变以往在教学过程中总是教师问，学生回答的教学模式，更多的让学生在学习的过程中自己提出问题、分析问题和解决问题，从而提高学生学习的自主、探究、合作的能力，这样也能使学生对学习数学之间根据感兴趣。2在不等式这部分的学习中蕴含着很多重要的数学思想，这对于学生在学习整个数学知识的过程是不可或缺的，所以教师应该注重培养学生数学思想的养成。3教师应该更加注意新课改的教学目标，不应还怀念旧教材教学提纲，既然国家通过新课改的施行，必然有它的意义。新课改把不等式这部分的教学要求也降低了，所以教师在教学过程必须结合实际，掌握学生的基本情况，认真抓好学生基础，帮助学生正确理解不等式的概念，避免混淆，从而提高他们学习数学的信心。4应该加强学生应用不等式知识解决实际问题的能力，尤其是二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题，这部分在新课改不等式的教学中所占比例是最大的，可见它的重要性，同时也看出了新课改的内容更加注重数学与现实世界和日常生活实际问题之间的联系，更加注意不等式知识在社会生活中的广泛应用。湖南科技大学本科生毕业设计（论文）14第五章高考与不等式512012年全国高考考试说明根据2012年高考考试大纲（新课改）数学（理科）中数学部分的考查，既要发挥数学学科基础性的学科作用，又要考查中学数学的知识和方法，以及学生的掌握和应用能力。一、考试内容的知识要求、能力要求和个性品质的要求（1）知识要求主要是学生对于基础性知识背景的初步了解，能对所学内容有较深刻的理解，能举一反三的运用到解决相应问题，能系统地掌握知识的内在联系，并能运用所学知识解决实际生活中较复杂的综合性问题。（2）能力要求在中学数学的学习中需要学生掌握很多方面的能力，如思维能力，学生会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用类比、归纳和演绎进行推理；能合乎逻辑地、准确地进行表述。运算能力，数学中的运算量是非常之巨大的，因此学生要掌握这部分的技巧，能通过公式或法则进行变换整理求解出正确数据。空间想象能力，对于空间想象能力主要是在几何学习中，学生应能根据条件刻画出正确的图形，而且能快速的找出它们之间的联系与性质，这也是能使数形结合思想发挥重大作用。实践能力，数学是源于生活，服务于生活，因此所学的数学知识最终的目的就是能解决现实生活中的实际问题，所以这个能力的考查就需要学生能将数学知识、方法和思想等联系起来，对所提供的信息进行系统的归纳、分析与整理，建立出合理的数学模型，并能运用数学知识将其解决。创新意识，数学问题的解决方法往往不是唯一的，数学知识的联系是密切的，因此在解决数学知识的过程中，学生可以根据自己的学习程度选择适合自己的解题方式，并不一定要按照老模式，这也更加能使数学的多样性与学生的创新能力发挥作用。（3）个人品质要求要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的习惯，体会数学的美学意义要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神。52高考不等式的考点分析湖南科技大学本科生毕业设计（论文）15不等式是高中数学学习中解决其他问题的一个重要工具，如集合问题、方程（组）的解的讨论、函数单调性的研究、函数定义域的确定、三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大（小）值等问题无一不与不等式有着密切的联系，许多问题最终归结为不等式的求解或证明，不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题。总而言之，不等式的应用体现了它的综合性与灵活多样性。因此，不等式在高考命题中所占的比例也越来越大，在高考试题中，不仅考查不等式的基础知识和基本技能，而且注重考查学生的运算能力和逻辑思维能力，以及分析解决问题的能力。而对于考查不等式内容的形式也是多样化，如填空题和选择题主要考查不等式的基本性质、比较大小和简单不等式，或者是与函数、方程等内容想结合的综合性题；解答题则主要考查接不定时或证明不等式为基础的综合题。综合比较高考不等式的考点可知，高考对于不等式内容虽然很重视，但是却很少单独出现考查不等式的题型。而在整个试题的求解过程中，不等式的知识、方法、技巧等都占了较重的比例。这样体现了不等式在高中数学的重要性。（1）不等式的性质的考查常以选择题的形式出现，常与指数函数、三角函数、对数函数的性质想结合，或与充要条件、函数单调性等知识结合，题型的难度系数不大。例题1（辽宁理9）设函数1,LOG12XXFX，则满足2XF的X的取值范围是（A），2（B）0，2（C）1，）（D）0，）【答案】D例题2（全国大纲理3）下面四个条件中，使AB成立的充分而不必要的条件是（A）1AB（B）1AB（C）2（D）3AB【答案】A（2）解不等式的题型常以填空题和解答题的形式出现，此类题主要以一元二次不等式，分式不等式，含绝对值不等式为主。例题3（江苏14）设集合,2|,2RYXMXMYA,122|,RXMYXYB,若BA则实数M的取值范围是_【答案】,1例题4（2007北京）关于X的不等式01XA的解集为P，不等式1X的解集为Q湖南科技大学本科生毕业设计（论文）16（I）若3A，求P；（II）若Q，求正数A的取值范围（3）二元一次不等式与简单的线性规划问题的考查常以选择题或解答题的形式出现，主要考查学生能准确刻画出不等式表示的平面区域，并且能求出目标函数的最值。例题5（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需要满载且只运送一次派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润ZA4650元B4700元C4900元D5000元【答案】C【解析】由题意设派甲，乙,XY辆，则利润4503ZXY，得约束条件0871269XYX画出可行域在129XY的点75XY代入目标函数490Z（4）证明不等式是不等式学习中考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、平面向量、解析几何等知识点想结合进行考查。例题5（湖北理21）（）已知函数1FXIN，,X，求函数FX的最大值；（）设,KAB1,2，N均为正数，证明（1）若12NB，则12NKKA；（2）若1，则12212NKKNB分析本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想。532012年高考不等式的考试要求对于2012年普通高校招生新课标全国统考说明中不等式这部分内容的考纲说明，相较于往年的要求有了部分的改动，尤其是针对于选修的内容减少了考查力度，而不等式的选讲也取消了去年要求的部分考点。如一、2011年全国高考不等式内容的考试要求湖南科技大学本科生毕业设计（论文）17【1】不等式必修1考试内容（1）不等式；（2）不等式的基本性质；（3）不等式的证明；（4）不等式的解法；（5）含绝对值的不等式；2考试要求（1）理解不等式的性质及其证明。（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。（4）掌握简单不等式的解法。（5）理解不等式。BABA（6）了解二元一次不等式表示平面区域。（7）了解线性规划的意义，并会简单的应用。【2】不等式选讲（1）理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式ABAB；ABACCB；（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式AXBC；AXBC；XCXBA（3）通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法比较法、综合法、分析法二、2012全国高考不等式内容的考试要求【1】不等式必修1不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。2一元二次不