《线性代数教学资料徐林荣》第一章行列式

线性代数,教师：徐林荣助教：汝强课程网站,第1章行列式,线性代数是中学代数的继续和提高，第1和第2章就是中学代数解一元一次(线性)方程+=0的延伸和深化，是研讨多个变量多个线性方程组成的线性方程组的求解问题行列式是为了求解线性方程组而引入的，但在线性代数和其它数学领域以及工程技术中，行列式是一个很重要的工具。本章主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法,第1章行列式,1.1数域与排列1.2行列式的定义1.3行列式的性质1.4行列式按行(列)展开1.5克拉默法则1.6概要及小结,1.1数域与排列,1.1.1数域定义1.1.1设是至少有两个不同复数组成的集合，若中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍为中的数，则就称为一个数域。如果数的集合中任意两个数作某一运算的结果都仍在中，就称数集对这个运算是封闭的。因此数域的定义也可以说成：对于加法、减法、乘法和除法（除数不为零）均封闭的至少含有两个不同数的集合。,1.1数域与排列,1.1.1数域下面三个集合都是数域全体有理数的集合=，,为任意整数，且0全体实数的集合全体复数的集合,1.1数域与排列,1.1.1数域例1.1.1记全体整数的集合为，则不是数域。这是因为对于除法不封闭,1.1数域与排列,1.1.1数域为什么要给出数域概念？我们在研究某些问题时常常与所研究对象的取值范围的关。例如方程2+1=0在实数范围无关，在复数范围有解。在线性代数中涉及到的运算都是和、差、积、商运算，例如求线性方程组的解，我们常常在数域中讨论问题。,1.1数域与排列,1.1.1数域例1.1.2记2=+2|,，则2是数域。,1.1数域与排列,1.1.1数域定理1.1.1设是任何一个数域，则。这个定理说明任何数域必含作为其子域，是最小数域也说明任何数域必含无穷多个数习题1.1.1说明数域的无穷多个,1.1数域与排列,1.1.2排列定义1.1.2由1,2,共个数码组成的一个有序数组，称为一个阶排列。例：3阶排列：123，132，213，231，312，321阶排列的个数为!个,1.1数域与排列,1.1.2排列在!个阶排列中，惟有12(1)是按数码从小到大的自然顺序组成的一个排列（称为标准排列）其余的排列或多或少会出现大的数排在小的数前面的情况在排列12中，如果，则称数对,构成一个逆序一个排列的逆序总数称为排列的逆序数，记为()逆序数为偶数的称为偶排列，逆序数为奇数的称为奇排列,1.1数域与排列,1.1.2排列逆序数的计算方法排列：35412逆序对：31，3254，51，5241，42逆序数为712(),1.1数域与排列,1.1.2排列逆序数的计算方法,1.1数域与排列,1.1.2排列例121=0，偶排列121=1+2+1=(1)2当=4,4+1时为偶排列当=4+2,4+3时为奇排列,1.1数域与排列,1.1.2排列对换将一个排列中某两个数码的位置互换，而其余数码不动，就得到另一个排列，这样的变换称为对换例如，经过1,3两数码对换，偶排列15432就变成奇排列35412这表明对换会改变排列的奇偶性，一般有下列定理,1.1数域与排列,1.1.2排列,1.2行列式定义,定义1.2.1由设1,2,是变量，是一个正整数，形式表达式11+22+=其中1,2,均为数，称为个变量1,2,的线性方程，线性方程中的变量也称为未知量。当=1时为一元一次方程当=2时为二元一次方程,1.2行列式定义,定义1.2.2线性方程11+22+=的一个解是一组有序的数1,2,，当1=1,2=2,=时，有11+22+=线性方程解的全体所组成的集合称为该方程的解集合。例：1+21的解集合为：1=11，2=11为任意常数1=1，2=111为任意常数,1.2行列式定义,本章讨论如下线性方程组的解111+122+1=1211+222+2=211+22+=这种方程组可以通过消元法来求解在这一章我们寻求解公式,1.2行列式定义,2+=0=242,1.2行列式定义,线性方程组的解111+122+1=1211+222+2=211+22+=的解公式是什么？1=1，2=2，=111212122212，1=112122222，,当=2时线性方程组为111+122=1211+222=21=12212211221221=12=11212111221221=2,=11122122=112212211=112222=1221222=111112=112121,1.2行列式定义,二阶行列式11122122=11221221概念元素行指标列指标主对角线副对角线,1.2行列式定义,当=3时线性方程组为,1.2行列式定义,当=3时线性方程组为,1.2行列式定义,当=3时线性方程组为,1.2行列式定义,三阶行列式,1.2行列式定义,1.2行列式定义,例1.2.4解线性方程组12=23=1+3=,1.2行列式定义,线性方程组的解111+122+1=1211+222+2=211+22+=的解公式是什么？1=1，2=2，=111212122212，1=112122222，,1.2行列式定义,克拉默(Cramer)法则P33设线性方程组111+212+1=1212+222+2=211+22+=的系数行列0，则该方程有唯一解，其解为：1=1，2=2，=其中：=111,111,+11212,122,+121,1,+1若(,=1,2,)，为某个数域，则解1,2,均属于。,如何定义=111212122212先分析二阶和三阶行列式11122122=11221221111213212223313233=112233+122331+132132132231122133112332,1.2行列式定义,11122122=11221221111213212223313233=112233+122331+13213213223112213311233211122122=121121122111213212223313233=1231123112233,1.2行列式定义,定义1.2.4111212122212111212122212=121121122,1.2行列式定义,111212122212121121122,1.2行列式定义,例1.2.2计算阶行列式=111213102223200333000,1.2行列式定义,=111213102223200333000=1(12(1)1122=1122,1.2行列式定义,例1.2.3计算阶行列式=000010002,12002,32,12,01,21,31,11,123,1,1.2行列式定义,=000010002,12002,32,12,01,2