2016年山东省日照市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2016 年山东省日照市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题 ,每小题 5 分 ,共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1若复数 z 满足 z=1+ （ i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数 | |的模为（ ） A 0 B 1 C D 2 2若集合 A=x|2x 1，集合 B=x|0，则 “x A”是 “x B”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3设随机变量 服从正态分布 N（ 0， 1）， P（ 1） =p，则 P（ 1 0）等于（ ） A p B 1 p C 1 2p D p 4一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为 10，则判断框中应填入的条件是（ ） A k 3 B k 2 C k 3 D k 3 5函数 f（ x） =2x+ ）所对应的图象向左平移 个单位后的图象与 y 轴距离最近的对称轴方程为（ ） A x= B x= C x= D x= 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） 第 2 页（共 23 页） A B C D 7函数 y= x ）的大致图象为（ ） A B CD 8在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 b2+c2+，则=（ ） A B C D 9已知直线 x+y k=0（ k 0）与圆 x2+ 交于不同的两点 A、 B， O 是坐标原点，且有，那么 k 的取值范围是（ ） A B C D 10如 图，已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的右顶点为 A， O 为坐标原点，以 的某渐近线交于两点 P、 Q，若 0且 =3 ，则双曲线 ） 第 3 页（共 23 页） A B C D 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11将某班参加社会实践的 48 名学生编号为： 1， 2， 3， ， 48采用系统抽样的方法抽取一个容量为 6 的样本，已知 5 号， 21 号， 29 号， 37 号， 45 号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 _ 12不等式 |x+1|+|x 2| 4 的解集为 _ 13设不等式组 表示的平面区域为 M，若直线 l： y=k（ x+2）上存在区域 M 内的点，则 k 的取值范围是 _ 14已知函数 f（ x） =2x 且 f（ x） =g（ x） +h（ x），其中 g（ x）为奇函数， h（ x）为偶函数，若不等式 2ag（ x） +h（ 2x） 0 对任意 x 1， 2恒成立，则实数 a 的取值范围是 _ 15设集合 A=（ | 2， 0， 2， i 1， 2， 3，则集合 A 满足条件：“2 | 5”的元素个数为 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。 17已知函数 f（ x） =2 +一个零点是 （ 1）求函数 f（ x）的最小正周期； （ 2）令 x ， ，求此时 f（ x）的最大值和最小值 18如图，已知平 面 直线 垂直于 在平面，且 B= （ ）求证： 平面 （ ） 平面 二面角 Q A 的余弦值 第 4 页（共 23 页） 19某公司做了用户对其某产品满意度的问卷调查随机抽取了 20 名用户（其中有 7 名男性用户和 13 名女性用户）的评分，得到如图所示茎叶图对不低于 75 的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意已知对产品满意用户中男性有 4 名 （ I）以此 “满意 ”的频率作为概率，求在 3 人中恰有 2 人满意的概率； （ ）从以上男性用户中随机抽取 2 人，女性用户中随机抽取 1 人，其中满意的人数为 ，求 的分布列与数学期望 20设 A（ B（ 函数 f（ x） = +象上任意两点， M 为线段中点已知点 M 的横坐标为 若 Sn=f（ ） +f（ ） +f（ ）， n N*，且 n 2 （ ）求 （ ）已知 ，其中 n N*， 数列 前 n 项和，若（ +1）对一切 n N*都成立，试求实数 的取值范围 21已知函数 f（ x） = 1） + （ a R 且 a 0） （ ）设函数 g（ x） = f（ x），求函数 g（ x）的单调递增区间； （ ）当 a 0 时，设函数 h（ x） =f（ x） ； 若 h（ x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围； 第 5 页（共 23 页） 证明： 123n） 2e 12+22+32+n N*， e 为自然对数的底数） 22已知椭圆 + =1（ a b 0）左右两个焦点分别为 R（ 1， ）为椭圆 一点，过 与 x 轴垂直的直线与椭圆 交所得弦长为 3抛物线 顶点是椭圆 中心，焦点与椭圆 右焦点重合 （ ）求椭圆 抛物线 方程； （ ）过抛物线 一点 P（异于原点 O）作抛物线切线 l 交椭圆 A， B 两点，求 积的最大值； （ ）过椭圆 焦 点 直线 椭圆相交于 C， D 两点，过 R 且平行于 直线交椭圆于另一点 Q，问是否存在直线 得四边形 对角线互相平分？若存在，求出 方程；若不存在，说明理由 第 6 页（共 23 页） 2016 年山东省日照市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题 ,每小题 5 分 ,共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1若复数 z 满足 z=1+ （ i 为 虚数单位），则复数 z 的共轭复数 | |的模为（ ） A 0 B 1 C D 2 【考点】 复数求模 【分析】 化简复数为： a+形式，然后求解复数的模 【解答】 解： z=1+ =1 i， 复数 | |=|1+i|= 故选： C 2若集合 A=x|2x 1，集合 B=x|0，则 “x A”是 “x B”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 分别求出关于集合 A、 B 的范围，结合集合的包含关系判断即可 【解答】 解：集合 A=x|2x 1=x|x 0， 集合 B=x|0=x|x 1， 则 BA 则 “x A”是 “x B”的必要不充分条件， 故选： B 3设随机变量 服从正态分布 N（ 0， 1）， P（ 1） =p，则 P（ 1 0）等于（ ） A p B 1 p C 1 2p D p 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 根据随机变量 服从标准正态分布 N（ 0， 1），得到正态曲线关于 =0 对称，利用 P（ 1） =p，即可求出 P（ 1 0） 【解答】 解： 随机变量 服从正态分布 N（ 0， 1）， 正态曲线关于 =0 对称， P（ 1） =p， P（ 1） =p， P（ 1 0） = p 故选： D 4一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为 10，则判断框中应填入的条件是（ ） 第 7 页（共 23 页） A k 3 B k 2 C k 3 D k 3 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序的运行结果，分析不满足输出条件继续循环和满足输出条件退出循环时，变量 k 值所要满足的要求，可得答案 【解答】 解：当 k=1 时， S= 2， k=0 不满足输出条件； 当 k=0 时， S= 2， k= 1，不满足输出条件； 当 k= 1 时， S=0， k= 2，不满足输出条件； 当 k= 2 时， S=4， k= 3，不满足输出条件； 当 k= 3 时， S=10， k= 4，满足输出条件，； 分析四个答案后，只有 A 满足上述要求 故选 A 5函数 f（ x） =2x+ ）所对应的图象向左平移 个单位后的图象与 y 轴距离最近的对称轴方程为（ ） A x= B x= C x= D x= 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由题意根据函数 y=x+）的图象变换规律，可得平移后的函数为 y=2x+ ），再根据余弦函数的图象的对称性求得它的对称轴方程，可得平移后的图象与 【 解答】 解：函数 f（ x） =2x+ ）所对应的图象向左平移 个单位后的图象对应的函数解析式为 y=（ x+ ） + =2x+ ）， 令 2x+ =得 x= ， k z， 可得与 y 轴距离最近的对称轴方程为 x= ， 故选： B 第 8 页（共 23 页） 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 几何体为半球与半圆柱的组合体 【解答】 解：由三视图可知几何体半球与半圆柱的组合体，半球的半径为 1，半圆柱的底面半径为 1，高为 2， 几何体的体积 V= + = 故选 B 7函数 y= x ）的大致图象为 （ ） A B CD 【考点】 函数的图象 【分析】 判断函数的奇偶性，然后利用复合函数的单调性判断即可 【解答】 解：函数 f（ x） =x ， ） f（ x） = x） =f（ x），函数是偶函数，排除 B、 D 选项 令 t= t= 0 x 时递减，而 y=调递增， 由复合函数的单调性知函数 y=（ 0， ）递减，所以 C 选项符合， 故选： C 第 9 页（共 23 页） 8在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 b2+c2+，则=（ ） A B C D 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 由 b2+c2+，利用余弦定理可得 = ， A=120再利用正弦定理可得 = = ，化简即可得出 【解答】 解： b2+c2+， = ， A=120 由正弦定理可得 = = = 故选： B 9已知直线 x+y k=0（ k 0）与圆 x2+ 交于不同的两点 A、 B， O 是坐标原点，且有，那么 k 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 向量在几何中的应用；直线与圆相交的性质 【分析】 利用平行四边形法则，借助于正弦与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求 得结论 【解答】 解：设 点为 D，则 ， 第 10 页（共 23 页） 直线 x+y k=0（ k 0）与圆 x2+ 交于不同的两点 A、 B， 4 4 k 0， 故选 C 10如图，已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的右顶点为 A， O 为坐标原点，以 的某渐近线交于两点 P、 Q，若 0且 =3 ，则双曲线 ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 确定 等边三角形，设 R，则 ，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出 结论 【解答】 解：因为 0且 =3 ， 所以 等边三角形， 设 R，则 ， 渐近线方程为 y= x， A（ a， 0），取 中点 M，则 由勾股定理可得（ 2R） 2 ） 2， 所以（ 2=3a2+ 在 ， = ，所以 7R2=第 11 页（共 23 页） 结合 c2=a2+得 = 故选： B 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11将某班参加社会实践的 48 名学生编号为： 1， 2， 3， ， 48采用系统抽样的方法抽取一个容量为 6 的样本，已知 5 号， 21 号， 29 号， 37 号， 45 号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 13 【考点】 系统抽样方法 【分析】 根据系统抽样的定义，求出样本间距为 8，即可得到结论 【解答】 解：根据系统抽样的定义抽样间距为 8， 则 6 个样本编号从小到大构成以 8 为公差的等差数列， 则另外一个编号为 5+8=13， 故答案为： 13 12不等式 |x+1|+|x 2| 4 的解集为 【考点】 绝对值不等式的解法 【分析】 由条件利用绝对值的几何意义求得不等式的解集 【解答】 解：利用 绝对值的几何意义得， |x+1|+|x 2|表示数轴上的 x 对应点到 1、 2 对应点的距离之和， 而 和 对应点到 1、 2 对应点的距离之和正好等于 4，故不等式的解集为 ， 故答案为： 13设不等式组 表示的平面区域为 M，若直线 l： y=k（ x+2）上存在区域 M 内的点，则 k 的取值范围是 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，根据直线和区域的关系即可得到结论 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域， 直线 y=k（ x+2）过定点 D（ 2， 0）， 由图象可知当直线 l 经过点 A 时，直线斜率最大，当经过点 B 时，直线斜率最小， 由 ，解得 ，即 A（ 1， 3），此时 k= = ， 由 ，解得 ，即 B（ 1， 1），此时 k= = ， 故 k 的取值范围是 ， 第 12 页（共 23 页） 故答案为： 14已知函数 f（ x） =2x 且 f（ x） =g（ x） +h（ x），其中 g（ x）为奇函数， h（ x）为偶函数，若不等式 2ag（ x） +h（ 2x） 0 对任意 x 1， 2恒成立，则实数 a 的取值范围是 ，+） 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 先根据已知结合函数的奇偶性求出函数 g（ x）与 f（ x）的解析式，然后再代入到2ag（ x） +h（ 2x） 0 中，分离参数 a，将问题转化为函数的最值问题来 解 【解答】 解：由已知得 g（ x） +h（ x） =2x， 所以 g（ x） +h（ x） =2 x，又因为 g（ x）为奇函数， h（ x）为偶函数， 所以 g（ x） +h（ x） =2 x， 联立解得 ， 代入不等式 2ag（ x） +h（ 2x） 0 得： a（ 2x 2 x） + （ 22x+2 2x） 0 在 1， 2上恒成立 令 t= ，则 22x+2 2x= 则原式可化为 a （ t+ ）， t ， 恒成立 显然当 t= 时，右式取得最大值为 ，即有 a 故答案为 ， +） 15设集合 A=（ | 2， 0， 2， i 1， 2， 3，则集合 A 满足条件：“2 | 5”的元素个数为 18 【考点】 元素与集合关系的判断 【分析】 由题意可知分 |2 与 |4 讨论，从而解得 【解答】 解： 2 | 5，且 2， 0， 2， 当 |2 时， 第 13 页（共 23 页） 两个 0，一个 2 或 2； 故共有 =6 种； 当 |4 时， 个 0，另两个是 2 或 2； 故共有 22=12 种； 故共有 18 个元素， 故答案为： 18 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。 17已知函数 f（ x） =2 +一个零点是 （ 1）求函数 f（ x）的最小正周期； （ 2）令 x ， ，求此时 f（ x）的最大值和最小值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）将 f（ x）化简，将（ ， 0）代入求得 a=1，将其 化简为 f（ x） =22x ），求周期， （ 2） x ， ， 2x ， ，由正弦函数图象求得 f（ x）的最大值和最小值 【解答】 解：（ 1） f（ x） =2 + = 个零点是 ， 代入求得 a=1， f（ x） =22x ）， f（ x）的最小正周期为 ， （ 2） x ， ， 2x ， ， f（ x）的最大值为 ，最小值 2 18如图，已知平面 直线 垂直于 在平面，且 B= （ ）求证： 平面 （ ） 平面 二面角 Q A 的余弦值 第 14 页（共 23 页） 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）利用线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理即可证明； （ ）方法一：利用三角形的中位线定理及二面角的平面角的定义即可求出 方法二：通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量所成的夹角来求两平面的二面角的平面角 【解答】 解：（ I）证明：过点 Q 作 点 D， 平面 平面 平面 又 平面 面 面 平面 （ ）方法一： 平面 0，又 C， Q， Q 点 D 是 中点，连接 平面 四边形 矩形 设 a， ， a， 过 Q 作 点 R， = ， = = ， 取 点 M，连接 中点 N，连接 ， ， B， 二面角 Q A 的平面角 连接 = = 又 ， 第 15 页（共 23 页） = = 即二面角 Q A 的余弦值为 （ ）方法二： 平面 0，又 C， Q， Q 点 D 是 中点，连 平面 四边形 矩形 分别以 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系 O 不妨设 ，则 Q（ 1， 1， 2）， B（ 0， 2， 0）， P（ 0， 0， 2）， 设平面 法向量为 =（ 1， 1， 0）， =（ 0， 2， 2） 令 x=1，则 y=z= 1 又 平面 法向量为 设二面角 Q A 为 ，则 | = = 又 二面角 Q A 是钝角 第 16 页（共 23 页） 19某公司做了用户对其某产品满意度的问卷调查随机抽取了 20 名用户（其中有 7 名男性用户和 13 名女性用户）的评分，得到如图所示茎叶图对不低于 75 的评分，认 为用户对产品满意，否则，认为不满意已知对产品满意用户中男性有 4 名 （ I）以此 “满意 ”的频率作为概率，求在 3 人中恰有 2 人满意的概率； （ ）从以上男性用户中随机抽取 2 人，女性用户中随机抽取 1 人，其中满意的人数为 ，求 的分布列与数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）由频率估计 “满意 ”的概率为 此利用 n 次独立重复试验概率计算公式能求出在 3 人中恰有 2 人满意 的概率 （ ）由已知得 的可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 【解答】 解：（ ）由频率估计 “满意 ”的概率为 = 在 3 人中恰有 2 人满意的概率为 = （ ）由已知得 的可能取值为 0， 1， 2， 3， P（ =0） = = ， P（ =1） = + = ， 第 17 页（共 23 页） P（ =2） = = ， P（ =3） = = ， 的分布列为： 0 1 2 3 P +2 +3 = 20设 A（ B（ 函数 f（ x） = +象上任意两点， M 为线段中点已知点 M 的横坐标为 若 Sn=f（ ） +f（ ） +f（ ）， n N*，且 n 2 （ ）求 （ ）已知 ，其中 n N*， 数列 前 n 项和，若（ +1）对一切 n N*都成立，试求实数 的取值范围 【考点】 数列与函数的综合；数列的应用 【分析】 （ ）运用中点坐标公式可得 x1+，求得 f（ +f（ =1，运用倒序相加求和，计算即可得到所求和； （ ）求得 n=1 时， ；当 n 2 时，求得 =4（ ），运用裂项相消求和，求得 ，再由 （ +1），运用参数分离和基本不等式，即可得到所求范围 【解答】 解：（ ） M 为线段 中点，设 M（ x， y）， 由 （ x1+=x= ，可得 x1+， f（ +f（ =1+=1+1+， 又 Sn=f（ ） +f（ ） +f（ ）， 第 18 页（共 23 页） Sn=f（ ） +f（ ） +f（ ）， 可得 2f（ ） +f（ ） +f（ ） +f（ ） +f（ ） +f（ ） =1+1+1=n 1， 则 （ n N*，且 n 2）； （ ）当 n=1 时， （ ），即 （ +1） ， 解得 ； 当 n 2 时， = =4（ ）， Tn=a1+a2+4（ + + ） = +4（ ） = ， 由 （ +1），可得 ， 即 为 = = ， 由 n+ 2 =4，当且仅当 n=2 时，取得等号 则 = ， 即有 则实数 的取值范围是（ ， +） 21已知函数 f（ x） = 1） + （ a R 且 a 0） （ ）设函数 g（ x） = f（ x），求函数 g（ x）的单调递增区间； （ ）当 a 0 时，设函数 h（ x） =f（ x） ； 若 h（ x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围； 证明： 123n） 2e 12+22+32+n N*， e 为自然对数的底数） 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数的导数，求出 f（ 1），求出函数的表达式，通过讨论 a 的符号，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； 第 19 页（共 23 页） （ ） 求出 h（ x）的导数，解关于导函数的 不等式求出 h（ x）的单调区间，求出 h（ x）的最小值，得到关于 a 的不等式，求出 a 的范围即可； 令 a=e，根据 2 x 取值，累加即可 【解答】 解：（ ） f（ x） = ， f（ 1） = + ，解得： f（ 1） =1， g（ x） =1）， g（ x） = a 0 时，令 g（ x） 0，解得： x 1， g（ x）在（ 1， +）递增， a 0 时，令 g（ x） 0，解得： 0 x 1， g（ x）在（ 0， 1）递增； （ ） a 0， h（ x） = 由题意得： h（ x） 0， h（ x） = ， 令 h（ x） 0，解得： x ，令 h（ x） 0，解得： x ， h（ x）在（ 0， ）递减，在（ ， +）递增， h（ x） h（ ） = 由 0，解得： a e， 故 a 的范围是（ 0， e； 证明：由 得： a=e 时， h（ x） = 0 在（ 0， +）恒成立， 当 x= 时 “=”成立， x N*时， 2 令 x=1， 2， 3， ， n， 累加得： 2e（ + 12+22+ 即 123n） 2e 12+22+32+n N*） 22已知椭圆 + =1（ a b 0）左右两个焦点分别为 R（ 1， ）为椭圆 一点，过 与 x 轴垂直的直线与椭圆 交所得弦长为 3抛物线 顶点是椭圆 中心，焦点与椭圆 右焦点重合 （ ）求椭圆 抛物线 方程； （ ）过抛物线 一点 P（异于原点 O）作抛物线切线 l 交椭圆 A， B 两点，求 积的最大值； （ ）过椭圆 焦点 直线 椭圆相交于 C， D 两点，过 R 且平行于 直线交椭圆于另一点 Q，问是否存在直线 得四边形 对角线互相平分？若存在，求出 方程；若不存在，说明理由 第 20 页（共 23 页） 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）设 c， 0），令 x=c，代入椭圆方程，可得弦长为 3，再将 R 的坐标代入椭圆方程，解方程可得 a=2， b= ， c=1，即有抛物线的焦点，进而椭圆方程和抛物线的方程； （ ）设 P（ 2t）（ t 0），设抛物线切线 l 的方程为 y 2t=k（ x 对抛物线的方程两边对 x 求导，可得切