2016年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年山东省济南市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设复数 z 满足 z（ 2+i） =10 5i（ i 为虚数单位），则 z 的共轭复数 为（ ） A 3+4i B 3 4i C 3+4i D 3 4i 2已知集合 M=x| x x 3，集合 N=x|y= ，则 M N=（ ） A M B N C x| 1 x 2 D x| 3 x 3 3某校高三（ 1）班共有 48 人，学号依次为 1， 2， 3， ， 48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为 6 的样本已知学号为 3， 11， 19， 35， 43 的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（ ） A 27 B 26 C 25 D 24 4已知直线 ax+ 经过点（ 1， 2），则 2a+4b 的最小值为（ ） A B 2 C 4 D 4 5设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出下列四个命题： 若 m n， m ，则 n ； 若 m ， m ，则 ； 若 m n， m ，则 n ； 若 m ， m ，则 其中真命题的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 6已知命题 p： R，使 ；命题 q： x （ 0， ）， x 下列判 断正确的是（ ） A p 为真 B q 为假 C p q 为真 D p q 为假 7函数 f（ x） =2x+）（ w 0， | ）的部分图象如图所示，则 f（ 0） +f（ ）的值为（ ） A 2 B 2+ C 1 D 1+ 8已知 x， y 满足约束条件 ，则 z= 的范围是（ ） A ， 2 B B ， C ， D ， 第 2 页（共 18 页） 9已知函数 f（ x） = x，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是 a， b，则函数 f（ x）在 x=1 处取得最值的概率是（ ） A B C D 10已知抛物线 p 0）， 三个顶点都在抛物线上， O 为坐标原点，设 条边 中点分别为 M， N， Q，且 M， N， Q 的纵坐标分别为 y2，直线 斜率之和为 1，则 + + 的值为（ ） A B C D 二、填空题：（本题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分） 11设 a， b，则 ea+_（其中 e 为自然对数的底数） 12已知向量 ， ，其中 | |= ， | |=2，且（ ） ，则向量 和 的夹角是 _ 13已知过点（ 2， 4）的直线 l 被圆 C： x2+2x 4y 5=0 截得的弦长为 6，则直线 l 的方程为 _ 14公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了 “割圆术 ”利用 “割圆术 ”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 就是著名的 “徽率 ”如图是利用刘徽的 “割圆术 ”思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为 _（参考数据： 15已知函数 f（ x） = ， g（ x） =，若方程 f（ x） g（ x） =0 有两个不同实根，则实数 k 的取值范围为 _ 三、解答题 :本大题共 6 小题，共 75 分 16近日，济南楼市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响某房地产公司从两种户型中 各拿出 9 套进行促销第 3 页（共 18 页） 活动，其中 A 户型每套面积 100 平方米，均价 元 /平方米， B 户型每套面积 80 平方米，均价 元 /平方米下表是这 18 套住宅平方米的销售价格：（单位：万元 /平方米）： 房号 /户型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 户型 a 户型 b I）求 a， b 的值； （ 先生想为自己和父母买两套售价小于 100 万元的房子， 求至少有一套面积为 100 平方米的概率 17在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 2a=2b （ ）求角 C 的值； （ ）若 c=2，且 面积为 ，求 a， b 18如图，四棱锥 P 底面为正方形，侧面 底面 E， E，H 分别为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求证：平面 平面 19已知 数列 公差不为零的等差数列，其前 n 项和为 足 25，且 a1，为等比数列 前三项 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 数列 的前 n 项和，是否存在 k N*，使得等式 1 2成立，若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由 20设椭圆 C： + =1（ a b 0），定义椭圆 C 的 “相关圆 ”方程为 x2+若抛物线 x 的焦点与椭圆 C 的一个焦点重合，且椭圆 C 短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形 （ ）求椭圆 C 的方程和 “相关圆 ”E 的方程； （ ）过 “相关圆 ”E 上任意一点 P 的直线 l： y=kx+m 与椭圆交于 A， B 两点， O 为坐标原点，若 明原点 O 到直线 距离为定值，并求 m 的取值范围 21设函数 f（ x） =b（ x）， g（ x） = 2+（ 1 b） x，已知曲线 y=f（ x）在点（ 1，f（ 1）处的切线与直线 x y+1=0 垂直 （ ）求 a 的值； （ ）求函数 f（ x）的极值点； （ ）若对于任意 b （ 1， +），总存在 1， b，使得 f（ f（ 1 g（ g（ +m 成立，求实数 m 的取值范围 第 4 页（共 18 页） 2016 年山东省济南市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1设复数 z 满足 z（ 2+i） =10 5i（ i 为虚数单位），则 z 的共轭复数 为（ ） A 3+4i B 3 4i C 3+4i D 3 4i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由 z（ 2+i） =10 5i，得 z= ，再由复数代数形式的乘除运算化简复数 z，则 z 的共轭复数 可求 【解答】 解：由 z（ 2+i） =10 5i， 得 =3 4i， 则 z 的共轭复数 =3+4i 故选： C 2已知集合 M=x| x x 3，集合 N=x|y= ，则 M N=（ ） A M B N C x| 1 x 2 D x| 3 x 3 【考点】 并集及其运算 【分析】 分别求出集合 M、 N 的范围，从而求出其并集即可 【解答】 解：集合 M=x| x x 3=x|0 x 3， 集合 N=x|y= =x| 3 x 2， 则 M N=x| 3 x 3， 故选： D 3某校高三（ 1）班共有 48 人，学号依次为 1， 2， 3， ， 48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为 6 的样本已知学号为 3， 11， 19， 35， 43 的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（ ） A 27 B 26 C 25 D 24 【考点】 系统抽样方法 【分析】 根据系统抽样的特征，从 48 名学生从中抽取一个容量为 6 的样本，则系统抽样的分段间隔为 8， 可求得余下的同学的编号 【解答】 解： 从 48 名学生从中抽取一个容量为 6 的样本， 系统抽样的分段间隔为 =8， 学号为 3， 11， 19， 35， 43 的同学在样本中， 抽取的另一个同学的学号应为 27， 故选： A 第 5 页（共 18 页） 4已知直线 ax+ 经过点（ 1， 2），则 2a+4b 的最小值为（ ） A B 2 C 4 D 4 【考点】 基本不等式 【分析】 直线 ax+ 经过点（ 1， 2），可得： a+2b=1再利用基本不等式的性质、指数的运算性质即可得出 【解答】 解： 直线 ax+ 经过点（ 1， 2）， a+2b=1 则 2a+4b = =2 ，当且仅当 时取等号 故选： B 5设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出下列四个命题： 若 m n， m ，则 n ； 若 m ， m ，则 ； 若 m n， m ，则 n ； 若 m ， m ，则 其中真命题的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据线面垂直的性质定理进行判断 根据线面平行的判定定理进行判断 根据线面平行的判定定理进行判断 根据线面垂直和面面垂直的判定定理进行判断 【解答】 解： 若 m n， m ，则 n 成立，故 正确； 若 m ， m ，则 不一定成立，有可能相交，故 错误； 若 m n， m ，则 n 或 n；故 错误， 若 m ， m ，则 ，故 错误， 故正确的是 ， 故选： A 6已知命题 p： R，使 ；命题 q： x （ 0， ）， x 下列判断正确的是（ ） A p 为真 B q 为假 C p q 为真 D p q 为假 【考点】 复合命题的真假 【分析】 分 别判断出 p， q 的真假，从而判断出复合命题的真假即可 【解答】 解： x R，都有 1，故命题 p： R，使 是假命题； 令 f（ x） =x f（ x） =1+0， y=f（ x）在区间（ 0， ）上单调递增， f（ x） f（ 0） =0， 故命题 q： x （ 0， ）， x 真命题， 故 B 正确， 第 6 页（共 18 页） 故选： B 7函数 f（ x） =2x+）（ w 0， | ）的部分图象如图所示，则 f（ 0） +f（ ）的值为（ ） A 2 B 2+ C 1 D 1+ 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 根据函数 f（ x）的部分图象，求出周期 T 与 的值，再计算 的值，写出 f（ x）的解析式，从而求出 f（ 0） +f（ ）的值 【解答】 解：根据函数 f（ x） =2x+）（ w 0， | ）的部分图象， 得 T= （ ） = ， 又 T= =， =2； 当 x= 时，函数 f（ x）取得最小值 2， 2 （ ） += +2k Z， 解得 = +2k Z， 又 | ， = ， f（ x） =22x ）； f（ 0） +f（ ） =2 ） +22 ） =2 （ ） +2=2 故选： A 8已知 x， y 满足约束条件 ，则 z= 的范围是（ ） 第 7 页（共 18 页） A ， 2 B B ， C ， D ， 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，根据 z= 的几何意义求出 z 的范围即可 【解答】 解：画出满足条件 的平面区域，如图示： ， 由 ，解得 A（ 1， 2）， 由 ，解得 B（ 3， 1）， 而 z= 的几何意义表示过平面区域内的点与（ 1， 1）的直线的斜率， 显然直线 率最大，直线 率最小， = ， = ， 故选： C 9已知函数 f（ x） = x，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是 a， b，则函数 f（ x）在 x=1 处取得最值的概率是（ ） A B C D 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 所有的（ a， b）共计 6 6=36 个，函数 f（ x） = x=1 处取得最值等价于f（ 1） =2a b=0，用列举法求得满足条件的（ a， b）有 3 个，再根据概率公式计算即可 【解答】 解：连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是 a， b，共有 36 种等可能事件， f（ x） = x， f（ x） =， 函数 f（ x） = 在 x=1 处取得最值， 第 8 页（共 18 页） f（ x） =2b， f（ 1） =2a b=0， 即 2a=b， 满足的基本事件有（ 1， 2），（ 2， 4），（ 3， 6），共 3 种， 故函数 f（ x）在 x=1 处取得最值的概率为 = ， 故选： C 10已知抛物线 p 0）， 三个顶点都在抛物线上， O 为坐标原点，设 条边 中点分别为 M， N， Q，且 M， N， Q 的纵坐标分别为 y2，直线 斜率之和为 1，则 + + 的值为（ ） A B C D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设 方程，联立方程组消元，利用根与系数的关系解出 据斜率之和为 1 化简 + + 即可得出答案 【解答】 解：设 方程为 x=方程为 x=方程为 x= 联立方程组 ，消元得： 22， y1= 同理可得： y2=y3= 直线 斜率之和为 1， + + = 1 则 + + = + + = （ + + ） = 故选： B 二、填空题：（本题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分） 11设 a， b，则 ea+10 （其中 e 为自然对数的底数） 【考点】 对数的运算性质 【分析】 使用对数恒等式解出 【解答】 解： a， b， ， ， ea+0 故答案为 10 12已知向量 ， ，其中 | |= ， | |=2，且（ ） ，则向量 和 的夹角是 第 9 页（共 18 页） 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 利用向量垂直的数量积为 0 列出方程；利用向量的平方等于向量模的平方及向量的数量积公式将方程用模与夹角表示求出夹角 【解答】 解：设两个向量的夹角为 ， | |= ， | |=2，且（ ） ， （ ） =| |2 =| |2 | | | 2 ， 解得 ， 0 ， = ， 故答案为： 13已知过点（ 2， 4）的直线 l 被圆 C： x2+2x 4y 5=0 截得的弦长为 6，则直线 l 的方程为 x 2=0 或 3x 4y+10=0 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 设过点（ 2， 4）的直线 l 的方程为 y=k（ x 2） +4，求出圆 C 的圆心 C（ 1， 2），半径 r= ，圆心 C（ 1， 2）到直线 l 的距离 d，由此能求出直线 l 的方程；当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x=2 也满足条件由此能求出直线 l 的方程 【解答】 解：设过点（ 2， 4）的直线 l 的方程为 y=k（ x 2） +4， 圆 C： x2+2x 4y 5=0 的圆心 C（ 1， 2），半径 r= = ， 圆心 C（ 1， 2）到直线 l 的距离 d= = ， 过点（ 2， 4）的直线 l 被圆 C： x2+2x 4y 5=0 截得的弦长为 6， 由勾股定理得： ，即 ， 解得 k= ， 直线 l 的方程为 y= （ x 2） +4，即 3x 4y+10=0， 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x=2， 圆心 C（ 1， 2）到直线 x=2 的距离 d=1， 满足 ，故 x 2=0 是直线 l 的方程 综上，直线 l 的方程为 x 2=0 或 3x 4y+10=0 故答案为： x 2=0 或 3x 4y+10=0 14公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现 当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了 “割圆术 ”利用 “割圆术 ”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 就是著名的 “徽率 ”如图是利用刘徽的 “割圆术 ”思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为 24 （参考数据： 第 10 页（共 18 页） 【考点】 程序框图 【分析】 列出循环过程中 S 与 n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环 【解答】 解：模拟执行程序，可得 n=6， S=3 ， 不满足条件 S n=12， S=6 3， 不满足条件 S n=24， S=12 12 满足条件 S 出循环，输出 n 的值为 24 故答案为： 24 15已知函数 f（ x） = ， g（ x） =，若方程 f（ x） g（ x） =0 有两个不同实根，则实数 k 的取值范围为 （ ， 1） （ 1， e 1 【考点】 根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系 【分析】 方程 f（ x） 有两个不同实根可化为函数 f（ x）与函数 y= 有两个不同的交点，作函数 f（ x）与函数 y= 的图象，结合函数的图象求解 【解答】 解： g（ x） =， 方程 f（ x） g（ x） =0 有两个不同实根等价为方程 f（ x） =g（ x）有两个不同实根， 即 f（ x） =， 则等价为函数 f（ x）与函数 y= 有两个不同的交点， 当 1 x 2，则 0 x 1 1，则 f（ x） =f（ x 1） =1， 当 2 x 3，则 1 x 1 2，则 f（ x） =f（ x 1） =2， 当 3 x 4，则 2 x 1 3，则 f（ x） =f（ x 1） =3， 当 x 1 时， f（ x） =f（ x 1），周期性变化； 函数 y= 的图象恒过点（ 0， 1）； 作函数 f（ x）与函数 y= 的图象如下， C（ 0， 1）， B（ 2， e）， A（ 1， e）； 第 11 页（共 18 页） 故 e 1， ； 在点 C 处的切线的斜率 k=； 结合图象可得， 实数 k 的取值范围为 （ ， 1） （ 1， e 1； 故答案为： 三、解答题 :本大题共 6 小题，共 75 分 16近日，济南楼市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响某房地产公司从两种户型中各拿出 9 套进行促销活动，其中 A 户型每套面积 100 平方米，均价 元 /平方米， B 户型每套面积 80 平方米，均价 元 /平方米下表是这 18 套住宅平方米的销售价格：（单位 ：万元 /平方米）： 房号 /户型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 户型 a 户型 b I）求 a， b 的值； （ 先生想为自己和父母买两套售价小于 100 万元的房子，求至少有一套面积为 100 平方米的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法 【分析】 （ ）由已知利用平均数公式能求出 a， b （ ） A 户型小于 100 万的有 2 套， B 户型小于 100 万的有 4 套，先求出买两套售价小于100 万的房子所含基本事件总数，再列举法求出事件 A=“至少有一套面积为 100 平方米住房所含基本事件个数，由此能求出至少有一套面积为 100 平方米的概率 【解答】 解：（ ）由已知得： （ a+= 解得 a= （ b+=得 b= （ ） A 户型小于 100 万的有 2 套，设为 B 户型小于 100 万的有 4 套，设为 买两套售价小于 100 万的房子所含基本事件总数为 =15， 令事件 A=“至少有一套面积为 100 平方米住房 ”， 第 12 页（共 18 页） 则 A 中所含基本事件有 共 9 个 P（ A） = ， 至少有一套面积为 100 平方米的概率为 17在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 2a=2b （ ）求角 C 的值； （ ）若 c=2，且 面积为 ，求 a， b 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ ）利用两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形内角和定理化简已知等式可得 于 0，解得 ，又 C 是三角形的内角，即可得解 C 的值 （ ）利用三角形面积公式可求 ，又由余弦定理可解得 a+b=4，联立即可解得 a， b 的值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ ） 2a=2b， 2 2A+C）， 即 2 ， 又 C 是三角形的内角， （ ） ， ， ， 又 c2=a2+2 4=（ a+b） 2 2 a+b=4， a=b=2 18如图，四棱锥 P 底面为正方形，侧面 底面 E， E，H 分别 为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求证：平面 平面 第 13 页（共 18 页） 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）取 点 N，连接 而平面 平面以 平面 （ ）由侧面 底面 得 平面 正方形的性质可得 平面 是平面 平面 【解答】 证明：（ ）取 点 N，连接 在 ， F， N 为中点， 正方形 ， E， N 为中点， 面 平面 N=N， 面 平面 D=D， 平面 平面 平面 平面 （ ） 侧面 底面 面 面 D， 底面 底面 E， H 分别为正方形 点， 0，则 面 面 H=A， 平面 平面 平面 平面 19已知数列 公差不为零的等差数列，其前 n 项和为 足 25，且 a1，为等比数列 前三项 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 数列 的前 n 项和，是否存在 k N*，使得等式 1 2成立，若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出； （ 用 “裂项求和 ”与数列的单调性即可得出 第 14 页（共 18 页） 【解答】 解：（ ）设等差数列 公差为 d（ d 0）， ， 解得 ， d=2， b1=， b2=， （ ）由（ I）可知： +2（ n 1） =2n+1 ， = ， ， 单调递减，得 ， 而 ， 所以不存在 k N*，使得等式 成立 20设椭圆 C： + =1（ a b 0），定义椭圆 C 的 “相关圆 ”方程为 x2+若抛物线 x 的焦点与椭圆 C 的一个焦点重合，且椭圆 C 短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形 （ ）求椭圆 C 的方程和 “相关圆 ”E 的方程； （ ）过 “相关圆 ”E 上任意一点 P 的直线 l： y=kx+m 与椭圆交于 A， B 两点， O 为坐标原点，若 明原点 O 到直线 距离为定值，并求 m 的取值范围 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由抛物线 x 的焦点为（ 1， 0）与椭圆 C 的一个焦点重合，椭圆 C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，得到 b=c=1，由此能求出椭圆 C 的方程和 “相关圆 ” （ ）联立方程组 得（ 1+22=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式，结合已知条件能证明原点 O 到直线 距离为定值，并能求出 m 的取值范围 【解答】 解：（ ）因为若抛物线 x 的焦点为（ 1， 0）与椭圆 C 的一个焦点重合，所以c=1 又因为椭圆 C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以 b=c=1 故椭圆 C 的方程为 ， “相关圆 ”E 的方程为 第 15 页（共 18 页） 证明：（ ）设 A（ B（ 联立方程组 得（ 1+22=0 =164（ 1+2 22） =8（ 2） 0，即 2 0 ， 由条件 322=0 所以原点 O 到直线 l 的距离是 由 322=0 得 为定值 此时要满足 0，即 2 0，又 ， 即 ，所以 ，即 或 21设函数 f（ x） =b（ x）， g（ x） = 2+（ 1 b） x，已知曲线 y=f（ x）在点（ 1，f（ 1）处的切线与直线 x y+1=0 垂直 （ ）求 a 的值； （ ）求函数 f（ x）的极值点； （ ）若对于任意 b （ 1， +），总存在 1， b，使得 f（ f（ 1 g（ g（ +m 成立，求实数 m 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数的导数，得到 f（ 1） =2a= 1，求出 a 的值即可； （ ）求出 f（ x）的导数，结合二次函数的性质，通过讨论 b 的范围，确定函数的 单调区间，求出函数的极值点即可； （ ）令 F（ x） =f（ x） g（ x）， x 1， b，求出 F（ x）的导数，得到 F（ x） F（ x）（ b） F（ 1） =b+1，问题转化为即 b m 对任意 b （ 1， +）成立构造函数： t（ b） =b， b 1， +），通过讨论函数 t（ b）的单调性