2016年广东省潮州市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年广东省潮州市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A=x|y=， B=y|y=，则下列关系正确的是（ ） A AB= B AB=A C A=B D AB=B 2在复平面内，复数 z= （ i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知条件 p： |x+1| 2，条件 q： 3x 3，则 p 是 q 的（ ） A 充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4正态分布 N（ a， 32），且 P（ 2a 3） =P（ a+2），则 a 的值为（ ） A B C 1 D 4 5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 8+ B 8+4 C 16+4 D 16+ 6双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线与直线 x 2y+1=0 平行，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 7已知正数组成的等比数列 若 a200，那么 a8+最小 值为（ ） A 20 B 25 C 50 D不存在 8已知 f（ x）是定义在 R 上偶函数且连续，当 x 0 时， f（ x） 0，若 f（ f（ 1），则 x 的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ 0， ） （ 1， +） C（ ， e） D（ 0， 1） （ e， +） 9执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） 第 2 页（共 21 页） A 14 B 15 C 16 D 17 10已知 k Z， =（ k， 1）， =（ k 2， 3），若 | | ，则 直角三角形的概率是（ ） A B C D 11底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥如图，半球内有一内接正四棱锥 S 四棱锥的体积为 ，则该四棱锥的外接球的体积为（ ） A B C D 12已知 0 ， f（ ） =1+m+m（ ） + （ m 0），则使得 f（ ）有最大值时的 m 的取值范围是（ ） A（ ， 2） B（ ， 3） C 1， 3 D ， 1 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知变量 x， y 满足 ，则 u=2x+y）的最大值为 _ 14已知平面向量 ， 的夹角为 120， | |=2， | |=2，则 与 的夹角是 _ 15已知抛物线 p 0）的焦点为 F，若过点 F 且斜率为 1 的直线 l 与抛物线交于 P（ 2 ）， Q（ 点，则抛物线的准线方程为 _ 16已知数列 首项 ，且满足 2n， 3 2n，则 _ 第 3 页（共 21 页） 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17在 ， a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边， a=2 ， 4 S a2+ （ 1）求角 A； （ 2）求 面积 18为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对 100 名男生和 100 名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果： 表 1：男生上网时间与频数分布表 上网时间（分钟） 30， 40） 40， 50） 50， 60） 60， 70） 70， 80 人数 5 25 30 25 15 表 2：女生上网时间与频数分布表 上网时间（分钟） 30， 40） 40， 50） 50， 60） 60， 70） 70， 80 人数 10 20 40 20 10 （ 1）若该中学共有女生 600 人，试估计其中上网时间不少于 60 分钟的人数； （ 2）完成表 3 的 2 2 列联表， 并回答能否有 90%的把握认为 “学生周日上午时间与性别有关 ”； （ 3）从表 3 的男生中 “上网时间少于 60 分钟 ”和 “上网时间不少于 60 分钟 ”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为 10 的样本，再从中任取 2 人，记被抽取的 2 人中上午时间少于60 分钟的人数记为 X，求 X 的分布列和数学期望 表 3 上网时间少于 60 分钟 上网时间不少于 60分钟 合计 男生 女生 合计 附： ，其中 n=a+b+c+d P（ 9如图，已知三棱锥 O 三条侧棱 两垂直且 B= M 为 部一点，点 P 在 延长线上，且 B P= （ 1）证明： 平面 （ 2）求二面角 P B 的余弦值 第 4 页（共 21 页） 20已知曲线 =1（ a 0， b 0）和曲线 + =1 有相同的焦点，曲线 离心率是曲线 离心率的 倍 （ ）求曲线 方程； （ ）设点 A 是曲线 右支上一点， F 为右焦点，连 曲线 右支于点 B，作直于定直线 l： x= ，垂足为 C，求证：直线 过 x 轴上一定点 21已知函数 f（ x） =x（ a 0） （ 1）求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若 f（ x）有两个极值点 0 记过点 A（ f（ ， B（ f（ 的直线的斜率为 k，问是 否存在 a，使 k= 2a ，若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由 选修 4何证明选讲 22如图，已知 圆 O 相切于点 A，经过点 O 的割线 圆 O 于点 B、 C， B、 点 D、 E， P （ 1）证明： （ 2）证明 选修 4标系与参数方程 23在 直角坐标系 ，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线 x 3） 2+（ y 2） 2=1，曲线 （ 为参数），曲线 （ =7 （ 1）以 t 为参数将 方程写成含 t 的参数方程，化 方程为普通方程，化 方程为直角坐标方程； （ 2）若 Q 为 的动点，求点 Q 到曲线 距离的最大值 第 5 页（共 21 页） 选修 4等式证明选讲 24已知函数 f（ x） =|x 1|+|x+1| （ 1）求不等式 f（ x） 3 的解集； （ 2）若关于 x 的不等式 f（ x） a+2x R 上恒成立，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 21 页） 2016 年广东省潮州市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A=x|y=， B=y|y=，则下列关系正确的是（ ） A AB= B AB=A C A=B D AB=B 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【分析】 求解一元二次函数的定义域化简集合 A，求解值域化简集合 B，再逐一判断则答案可求 【解答】 解： 集合 A=x|y=R， B=y|y=1， +）， 则 AB=B，故 A， B 不正确，则 A B，故 C 不正确， 则 AB=B，故 D 正确 故选： D 2在复平面内，复数 z= （ i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 将复数 z= 的分母实数化，求得 z=1+i，即可求得 ，从而可知答案 【解答】 解： z= = = =1+i， =1 i 对应的点（ 1， 1）位于第四象限， 故选 D 3已知条件 p： |x+1| 2，条件 q： 3x 3，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 利用充分条件和必要条件的定义进行判断 【解答】 解： p： |x+1| 2， 3 x 1， q： 3x 3， x 1， pq， p 是 q 的充分不必要条件， 故选 A 4正态分布 N（ a， 32），且 P（ 2a 3） =P（ a+2），则 a 的值为（ ） A B C 1 D 4 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 由题意和正态分布曲线的对称性可得 2a 3+a+2=2a，解方程可得 第 7 页（共 21 页） 【解答】 解： 正态分布 N（ a， 32），且 P（ 2a 3） =P（ a+2）， 由图象的对称性可得 2a 3+a+2=2a，解得 a=1， 故选： C 5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 8+ B 8+4 C 16+4 D 16+ 【考点】 由三视图求面积 、体积 【分析】 由三视图知该几何体是：上圆柱、下长方体的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是：上圆柱、下长方体的组合体， 圆柱的底面圆半径是 1、母线长是 1， 长方体的长、宽、高分别是 4、 2、 2， 该几何体的体积 V= 12 1+4 2 2=16+， 故选： D 6双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线与直线 x 2y+1=0 平行，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据渐近线和直线平行，求出渐近线方程，得到 a， b 的关系，结合离心率的公式进行转化求解即可 【解答】 解：由双曲线的渐近线与直线 x 2y+1=0 平行知，双曲线的渐近线方程为 x 2y=0， 即 y= x， 双曲线的渐近线为 y= ， 即 = ， 离心率 e= = = = = = ， 故选： B 第 8 页（共 21 页） 7已知正数组成的等比数列 若 a200，那么 a8+最小值为（ ） A 20 B 25 C 50 D不存在 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 由正数组成的等比数列 可得 a200=用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解：正数组成的等比数列 a200， a200= a8+2 =20，当且仅当 a8=0 时， a8+最小值为 20， 故选： A 8已知 f（ x）是定义在 R 上偶函数且连续，当 x 0 时， f（ x） 0，若 f（ f（ 1），则 x 的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ 0， ） （ 1， +） C（ ， e） D （ 0， 1） （ e， +） 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质 【分析】 由已知中函数 f（ x）是定义在 R 上偶函数且连续，当 x 0 时， f（ x） 0，函数单调递减，可得，当 x 0 时， f（ x） 0，函数单调递增，进而将不等式 f（ x） f（ 1），转化为一个对数不等式，再根据对数的单调性，即可得到答案 【解答】 解： f（ x）是定义在 R 上偶函数， 当 x 0 时， f（ x） 0，此时函数为减函数，则 x 0 时，函数为增函数， 若 f（ f（ 1）， | 1， 1 1，即 x e， 故答案选： C 9执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A 14 B 15 C 16 D 17 【考点】 程序框图 【分析】 通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果 【解答】 解：第一次循环： ， n=2； 第 9 页（共 21 页） 第二次循环： ， n=3； 第三次循环： ， n=4； 第 n 次循环： = ， n=n+1 令 解得 n 15 输出的结果是 n+1=16 故选： C 10已知 k Z， =（ k， 1）， =（ k 2， 3），若 | | ，则 直角三角形的概率是（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 根据向量模长公式求出满足条件的 k 的个数 ，分类讨论，求得 k 的值，再根据古典概型的计算公式进行求解 【解答】 解： | | ， k Z，知知 k 4， 3， 2， 1， 0， 1， 2， 3， 4，由=（ k， 1）， =（ k 2， 3）垂直，求得 k= 1， 3； =（ k， 1）与 =（ 2， 4）， k= 2， 所以 直角三角形的概率是 ， 故答案选： B 11底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥如图，半球内有一内接正四棱锥 S 四棱锥的体积为 ，则该四棱锥的外接球的体积为（ ） A B C D 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 设出球的半径，利用棱锥的体积公式，求解半径，然后求解四棱锥的外接球的体积 【解答】 解：连结 点为 0，设球的半径为 r， 由题意可知 O=D=OB=r 则 r， 第 10 页（共 21 页） 四棱锥的体积为 = ， 解得 r= ， 四棱锥的外接球的体积为： V= = ， 故选： B 12已知 0 ， f（ ） =1+m+m（ ） + （ m 0），则使得 f（ ）有最大值时的 m 的取值范围是（ ） A（ ， 2） B（ ， 3） C 1， 3 D ， 1 【考点】 三角函数的最值 【分析】 利用三角函数的诱导公式把已知函数化成正切函数，令 （ 0 t 1），构造一个新函数 g（ t），再根据不等式的基本性质得到 g（ t）在（ 0， 1）上必有最大值，然后求出 m 的取值范围 【解答】 解： f（ ） =1+m+m（ ） + = ， 令 （ 0 t 1），则 = ， 当且仅当 时等号成立，即 g（ t）在（ 0， 1）上必有最大值， m 的范围为（ ， 2） 故选： A 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知变量 x， y 满足 ，则 u=2x+y）的最大值为 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面 区域，求出角点的坐标，结合图象先求出 2x+y 的最大值，从而求出 u 的最大值即可 第 11 页（共 21 页） 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： 易知可行域为一个三角形， 由 ，解得 A（ 1， 2）， 令 z=2x+y，得 y= 2x+z， 显然直线过 A（ 1， 2）时， z 最大， z 的最大值是 4， 此时 u= =2， 故答案为： 2 14已知平面向量 ， 的夹角为 120， | |=2， | |=2，则 与 的夹角是 60 【考点】 数量积表示两个向量的夹角 【分析】 由题意求得 和 的值，可得 | |的值，再求出 （ ） =2设除 与 的夹角是 ， 则由两个向量的数量积得定义 求得（ ） =22而得到 22，解得 值，可得 的值 【解答】 解：由题意可得 =2 2 2，又 = + +2 =4， | |=2， （ ） = + =2 设 与 的夹角是 ，则（ ） =| | |=22 22，解得 再由 0 ，可得 =60， 故答案为 60 15已知抛物线 p 0）的焦点为 F，若过点 F 且斜率为 1 的直线 l 与抛物线交于 P（ 2 ）， Q（ 点，则抛物线的准线方程为 x= 2 【考点】 抛物线的简单性质 第 12 页（共 21 页） 【分析】 求得 P 的坐标为（ ， 2 ），抛物线的焦点为 F（ ， 0），运用直线的斜率公式，可得 p 的方程，解得 p=4 2 ， 即可得到抛物线的准线方程 【解答】 解：将 y=2 ，代入抛物线的方程可得 = ， 即有 P（ ， 2 ）， 抛物线 焦点 F（ ， 0）， 由斜率为 1 的直线 l，可得 =1， 化为 p 8=0，解得 p=4 2 ， 则抛物线的准线方程为 x= = 2 故答案为： x= 2 16已知 数列 首项 ，且满足 2n， 3 2n，则 22016 1 【考点】 数列递推式 【分析】 2n，可得 2n+1，又 3 2n，可得 2n，于是 n，再利用 “累加求和 ”方法即可得出 【解答】 解： 2n， 2n+1，又 3 2n， 2n， 2n 2n， n， 1） +（ 1 2） +（ +2n 1+2n 1+2+1 = =2n 1 2016 1 故答案为： 22016 1 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17在 ， a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边， a=2 ， 4 S a2+ （ 1）求角 A； （ 2）求 面积 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由条件利用二倍角的余弦公式，求得 值，可得 A 的值 第 13 页（共 21 页） （ 2）由条件利用余弦定理求得 值，可得 C 的值，利用正弦定理求得 c 的值，再根据 面积 S= ac算求得结果 【解答】 解：（ 1） ，由 21=0，所以， ，或 因为 0 A ，所以， ， A= （ 2）由 a=2 ， 4 S aba2+得 2 aba2+ 即 ， C= 又由正弦定理有 = ，可得 c=2， 又 ） = ， 面积 S= ac 18为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对 100 名男生和 100 名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果： 表 1：男生上网时间与频数分布表 上网时间（分钟） 30， 40） 40， 50） 50， 60） 60， 70） 70， 80 人数 5 25 30 25 15 表 2：女生上网时间与频数分布表 上网时间（分钟） 30， 40） 40， 50） 50， 60） 60， 70） 70， 80 人数 10 20 40 20 10 （ 1）若该中学共有女生 600 人，试估计其中上网时间不少于 60 分钟的人数； （ 2）完成表 3 的 2 2 列联表，并回答能否有 90%的把握认为 “学生周日上午时间与性别有关 ”； （ 3）从表 3 的男生中 “上网时间少于 60 分钟 ”和 “上网时间不少于 60 分钟 ”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为 10 的样本，再从中任取 2 人，记被抽取的 2 人中上午时间少于60 分钟的人数记为 X，求 X 的分布列和 数学期望 表 3 上网时间少于 60 分钟 上网时间不少于 60分钟 合计 男生 女生 合计 附： ，其中 n=a+b+c+d P（ 14 页（共 21 页） 考点】 独立性 检验的应用 【分析】 （ 1）设估计上网时间不少于 60 分钟的人数为 x，依据题意有 ，求解即可得出结论； （ 2）根据所给数据完成表 3 的 2 2 列联表，利用公式求出 临界值比较，可得结论； （ 3）因男生中上网时间少于 60 分钟与上网时间不少于 60 分钟的人数之比为 3： 2，得到 10人中上网时间少于 60 分钟的有 6 人， X 的所有可能取值为 0， 1， 2，代入公式即可求出 【解答】 解（ 1）设估计上网时间不少于 60 分钟的人数为 x，依据题意有 ，解得 x=180， 估计其中上网时间不少于 60 分钟的有 180 人； （ 2）根据题目所给数据得到如下列联表： 上网时间少于 60 分钟 上网时间不少于 60 分钟 合计 男生 60 40 100 女生 70 30 100 合计 130 70 200 其中 = 故不能有 90%的把握认为 “学生周日上网时间与性别有关 ”； （ 3）因男生中上网时 间少于 60 分钟与上网时间不少于 60 分钟的人数之比为 3： 2， 10 人中上网时间少于 60 分钟的有 6 人， X 的所有可能取值为 0， 1， 2， 则 ， ， ， 所求分布列为 X 0 1 2 P 数学期望为 第 15 页（共 21 页） 19如图，已知三棱锥 O 三条侧棱 两垂直且 B= M 为 部一点，点 P 在 延长线上，且 B P= （ 1）证明： 平面 （ 2）求二面角 P B 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）推导出 平面 而 点 D，连结 而 此能证明 平面 （ 2）过点 P 作 平面 交 延长线于点 H，连接 二面角 P B 的平面角，由此能求出二面角 P B 的余弦值 【解答】 证明：（ 1） 三棱锥 O 三条侧棱 两垂直且 B= B=O， 平 面 又 面 取 点 D，连结 D=D， 平面 面 O=O， 平面 解：（ 2）由（ 1）知 平面 平面 平面 且平面 面 D， 过点 P 作 平面 交 延长线于点 H，连接 ， ，由 B= 在 ， 又 平面 二面角 P B 的平面角， 在直角 ， 由（ 1）知 5， 等腰直角三角形， A= ， 二面角 P B 的余弦值为 第 16 页（共 21 页） 20已知曲线 =1（ a 0， b 0）和曲线 + =1 有相同的焦点，曲线 离心率是曲线 离心率的 倍 （ ）求曲线 方程； （ ）设点 A 是曲线 右支上一点， F 为右焦点，连 曲线 右支于点 B，作直于定直线 l： x= ，垂足为 C，求证：直线 过 x 轴上一定点 【考点】 双曲线的简单性质；椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由题知： a2+，曲线 离心率为 ，利用曲线 离心率是曲线 ，求出 a， b，即 可求曲线 方程； （ ）由于研究直线恒过定点，求出 方程，令 y=0，求出 x 可得（ x 与直线 率k 无关），可证直线 过定点就可解决 【解答】 （ ）解：由题知： a2+，曲线 离心率为 曲线 离心率是曲线 离心率的 倍， = 即 a2= a=b=1， 曲线 方程为 ； （ ）证明：由直线 斜率不能为零知可设直线 方程为： x= 与双曲线方程 联立，可得（ 1） =0 设 A（ B（ 则 y1+ ， ， 由题可设点 C（ ， 由点斜式得直线 方程： y （ x ） 第 17 页（共 21 页） 令 y=0，可得 x= = = 直线 定点（ ， 0） 21已知函数 f（ x） =x（ a 0） （ 1）求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若 f（ x）有两个极值点 0 记过点 A（ f（ ， B（ f（ 的直线的斜率为 k，问是否存在 a，使 k= 2a ，若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由 【考点】 利用导 数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1） f（ x） =2x 1，分情况讨论，即可求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）求出 k= =（ x2+ 1= 2a ，进而 ，可得 =0， a= 与 a 矛盾，即可得出结论 【解答】 解：（ 1）依题意知函数的定义域为（ 0， +）， f（ x） =2x 1= ， t=2x a， =1+8a 0， a ， f（ x） 0， f（ x）的单调递增区间为（ 0， +）； 当 a 时，令 f（ x） 0，得 0 x 或 x ，故函数 f（ x）的单调递增区间为（ 0， ），（ ， +）； 令 f（ x） 0，得 0 x ，故函数 f（ x）的单调递减区间为（ ， ） （ 2） f（ x）有两个极值点 x2+， ， ， k= =（ x2+ 1= 2a ， =2， 第 18 页（共 21 页） ， 设 t= ，则 y= t， y= 1= 0， 函数在（ 1， 1）上单调递增， =0， a= 与 a 矛盾， 故不存在 选修 4何证明选讲 22如图，已知 圆 O 相切于点 A，经过点 O 的割线 圆 O 于点 B、 C， B、 点 D、 E， P （ 1）证明： （ 2）证明 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）根据弦切角定理，得到 C，结合 分 得 C+ 后用三角形的外角可得 （ 2）通过内角相等证明出 据 P 得到 C，结合（ I）中的结论可得 C= 在 根据直径 到 0+ 用三角形内角和定理可得 C= 0利用直角三角形中正切的定义，得到= ，即可证明结论 【解答】 证明：（ 1） 切线， 弦， C 又 C+ C+ （ 2）由（ 1） 知 C，又 ， P， C= 由三角形的内角和定理知： C+ 80， 圆 O 的直径， 0 C+ 0， C= 0， 在 ， = ， = ， 第 19 页（共 21