河北省张家口市2015-2016年高二下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2015年河北省张家口市高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A=0， 1， 2， 3， B=x|（ x+1）（ x 2） 0，则 AB=（ ） A 0， 2 B 1， 0 C 0， 1， 2， 3 D 1， 0， 1， 2， 3 2若复数 z 满足 2z+ =3 2i，其中， i 为虚数单位，则 |z|=（ ） A 2 B C 5 D 3命题 “存在 R， 0”的否定是（ ） A x R， 0 B不存在 R，使 0 C假命题 D真命题 4函数 f（ x） =ln|x|的部分图象为（ ） A B CD 5设 a R，则 “a 1”是 “1”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 6下列函数中，满足 “f（ =f（ m） +f（ n） ”的函数是（ ） A f（ x） =x B f（ x） = f（ x） =2x D f（ x） =已知 a= ， b= c=则（ ） A a b c B a c b C c a b D c b a 8已知函数 ，则该函数是（ ） A非奇非偶函数，且单调递增 B偶函数，且单调递减 C奇函数，且单调递增 D奇函数，且单调递减 9设定义在区间（ b， b）上的非常函数 f（ x） =奇函数，则 范围是（ ） A（ ， B（ 1， C ， D 1， 10函数 f（ x） = x 1）的零点所在的大致区间为（ ） A（ 1， 2） B（ 2， 3） C（ 3， 4） D（ 1， 2）与（ 2， 3） 11若函数 f（ x） = 无最大值，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 1， +） B（ ， 1） C（ 0， +） D（ ， 1） 第 2 页（共 20 页） 12已知函数 f（ x）（ x R）满足 f（ x） +f（ x） =2，若函数 y=x3+x+1 与 y=f（ x）的图象的交点从左到右依次为（ （ （ （ （ 则x1+x2+x3+x4+x5+y1+y2+y3+y4+ ） A 1 B 4 C 5 D 8 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13若 ， ，则 m= 14编号分别为 1 至 6 的六名歌手参加大赛，组委会只设一名特等奖，观众甲、乙、丙、丁四人对特等奖获得者进行预测，甲：不是 1 号就是 2 号；乙：不可能是 3 号；丙：不可能是4， 5， 6 号；丁：是 4， 5， 6 号中的一个若四人中只有一人预测正确，则获特等奖的是 号 15一边长为 a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，当 x 等于 时，方盒的容积最大 16若函数 f（ x） =（ 1 x）（ x2+ax+b）的图象关于点（ 2， 0）对称， 别是 f（ x）的极大值和极小值点，则 三、解答题（共 4 小题，满分 48 分 720 题为必考题； 2123 题， 2426 题为选考题。） 17设函数 f（ x） =x3+ x=1 和 x= 都取得极值 （ 1）求 a、 b 的值； （ 2）当 x 1， 2时，求函数 f（ x）的最大值 18为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度 t 满足： 27 t 30 ）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验现有关于该地区 10 月份历年 10 月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位： ）的记录如下： （ ）根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期 （ ）设该地区今年 10 月上旬（ 10 月 1 日至 10 月 10 日）的最高温度的方差和最低温度的方差分别为 计 大小？（直接写出结论即可） （ ）从 10 月份 31 天中随机选择连续三天，求所选 3 天每天日平均最高温度值都在 27，30之间的概率 19某城市随机抽取一年内 100 天的空气质量指数 监测数据，结果统计如表： 第 3 页（共 20 页） 0，50 （ 50，100 （ 100，150 （ 150，200 （ 200，250 （ 250，300 300 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天数 4 13 18 30 9 11 15 （ 1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失 S（单位：元）与空气质量指数 为 ）的关系式为： S= ，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失 S 大于 200元且不超过 600 元的概率； （ 2）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，其中有 8 天为重度污染，完成下面 2 2列联表，并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？ 附： P（ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 100 20已知函数 f（ x） =g（ x） = x2+3 （ 1）求函数 f（ x）的图象在点（ 1， 0）处的切线方程； （ 2）若对 x （ 0， +）有 2f（ x） g（ x）恒成立，求实数 a 的取值范围 请考生在 21、 22、 23 题中任选一题 作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 选修 4 1：几何证明明选讲 （共 1 小题，满分 10 分） 21如图，在锐角三角形 ， C，以 直径的圆 O 与边 外的交点分别为 D， E，且 F （ ）求证： O 的切线； （ ）若 ， ，求 长 选修 4 4：坐标系与参数方程 第 4 页（共 20 页） 22以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 P 的直 角坐标为（ 1， 2），点 M 的极坐标为 ，若直线 l 过点 P，且倾斜角为 ，圆 C 以 3 为半径 （ ）求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程； （ ）设直线 l 与圆 C 相交于 A， B 两点，求 | 选修 4 5：不等式选讲 23（选做题）已知 f（ x） =|x+1|+|x 1|，不等式 f（ x） 4 的解集为 M （ 1）求 M； （ 2）当 a， b M 时，证明： 2|a+b| |4+ 请考生 在 24、 25、 26 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 选修 4 1：几何证明明选讲 （共 1 小题，满分 12 分） 24如图，已知 圆 O 相切于点 A，经过点 O 的割线 圆 O 于点 B， C， B， 点 D， E （ ）证明： （ ）若 P，求 的值 选修 4 4：坐标系与参数方程 25在平面直角坐标系 ，曲线 参数方程 为 （ a b 0， 为参数），在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 圆心在极轴上，且经过极点的圆，已知曲线 的点 M（ 1， ）对应的参数 = ，射线 = 与曲线 于点 D（ 1， ） （ 1）求曲线 普通方程和曲线 直角坐标方程； （ 2）若点 A， B 的极坐标分别为（ 1， ），（ 2， + ），且两点均在曲线 ，求 +的值 选修 4 5：不等式选讲 26已知函数 f（ x） =|2x+1|+|2x a| （ 1）若 f（ x）的最小值为 2，求 a 的值； （ 2）若 f（ x） |2x 4|的解集包含 2， 1，求 a 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2015年河北 省张家口市高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A=0， 1， 2， 3， B=x|（ x+1）（ x 2） 0，则 AB=（ ） A 0， 2 B 1， 0 C 0， 1， 2， 3 D 1， 0， 1， 2， 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 化简集合 B，求出 AB 即可 【解答】 解：集合 A=0， 1， 2， 3， B=x|（ x+1）（ x 2） 0=x| 1 x 2， 所以 AB=0， 1 故选： B 2若复 数 z 满足 2z+ =3 2i，其中， i 为虚数单位，则 |z|=（ ） A 2 B C 5 D 【考点】 复数求模 【分析】 设出复数 z，利用复数方程复数相等求解复数，然后求解复数的模 【解答】 解：设 z=a+题意 2z+ =3 2i 可知： 3a+ 2i，可得 a=1， b= 2， 复 数 z=1 2i 的模： 故选： D 3命题 “存在 R， 0”的否定是（ ） A x R， 0 B不存在 R，使 0 C假命题 D真命题 【考点】 命题的否定 【分析】 根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可 【解答】 解：命题是特称命题，则命题的否定是 x R， 0，故 A， B 都不正确， 当 0 x 1 时， 0 不成立，即命题的否定是假命题， 故选： C 4函数 f（ x） =ln|x|的部分图象为（ ） A B CD 【考点】 函数的图象 【分析】 由已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性和 x （ 0， 1）时，函数 f（ x）的图象的位置，利用排除法可得答案 第 6 页（共 20 页） 【解答】 解： f（ x） = x） x|= ln|x|= f（ x） ， 故函数 f（ x）为奇函数，即函数 f（ x）的图象关于原点对称， 故排除 当 x （ 0， 1）时， 0， ln|x| 0，此时函数 f（ x）的图象位于第四象限， 故排除 B， 故选： A 5设 a R，则 “a 1”是 “1”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】 解：由 1 得 a 1 或 a 1， 即 “a 1”是 “1”的 充分不必要条件， 故选： A 6下列函数中，满足 “f（ =f（ m） +f（ n） ”的函数是（ ） A f（ x） =x B f（ x） = f（ x） =2x D f（ x） =考点】 函数的值 【分析】 根据对数函数的性质判断即可 【解答】 解： 满足 “f（ =f（ m） +f（ n） ”， 故选： D 7已知 a= ， b= c=则（ ） A a b c B a c b C c a b D c b a 【考点】 对数的运算性质 【分析】 利用指数式的运算性质得到 0 a 1，由对数的运算性质得到 b 0， c 1，则答案可求 【解答】 解： 0 a= 20=1， b= ， c=， c a b 故选： C 8已知函数 ，则该函数是（ ） 第 7 页（共 20 页） A非奇非偶函数，且单调递增 B偶函数，且单调递减 C奇函数，且单调递增 D奇函数，且单调递减 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 由题意，根据题设条件及选项可判断出，可先由定义判断函数的奇偶性，再由函数的单调性的判断方法判断出函数是一个增函数，由此可以判断出正确选项 【解答】 解：此函数的定义域是 R 当 x 0 时，有 f（ x） +f（ x） =1 2 x+2 x 1=0 当 x 0 时 ，有 f（ x） +f（ x） =1 2x+2x 1=0 由上证知，此函数是一个奇函数， 又 x 0 时，函数 1 2 x 是一个增函数，最小值是 0； x 0 时，函数 2x 1 是一个增函数，最大值为 0， 所以函数函数 在定义域上是增函数 综上，函数 在定义域上是增函数，且是奇函数 故选 C 9设定义在区间（ b， b）上的非常函数 f（ x） =奇函数，则 范 围是（ ） A（ ， B（ 1， C ， D 1， 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 根据题意， b 0，且 f（ x） = f（ x），求得 a=2，可得 f（ x） =故函数的定义域为（ ， ）， 0 b ，从而求得 范围 【解答】 解：根据定义在区间（ b， b）上的非常函数 f（ x） =奇函数， b 0，且 f（ x） = f（ x）， 即 ） =0， =1， a=2 或 a= 2（不合题意，舍去） 故 f（ x） =故函数的 定义域为（ ， ）， 0 b ， 1 ， 故选： B 10函数 f（ x） = x 1）的零点所在的大致区间为（ ） A（ 1， 2） B（ 2， 3） C（ 3， 4） D（ 1， 2）与（ 2， 3） 【考点】 二分法求方程的近似解 第 8 页（共 20 页） 【分析】 根据所给的几个区间看出不在定义域中的区间去掉，把所给的区间的两个端点的函数值求出，若一个区间对应的函数值符号相反，得到结果 【解答】 解：因为 x 0 时， x+1）和 都是减函数 所以 f（ x）在 x 1 是减函数，所有最多一个零点， f（ 2） =1 0， f（ 3） = = ， 因为 =2 所以 e， 故 即 1 所以 2 所以 f（ 2） f（ 3） 0 所以函数的零点在（ 2， 3）之间 故选： B 11 若函数 f（ x） = 无最大值，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 1， +） B（ ， 1） C（ 0， +） D（ ， 1） 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 求出函数 f（ x）的导数，可得极值点，讨论 a= 1， a 1， a 1，结合单调性和 f（ x）无最大值，可得 a 的不等式组，解不等式可得 a 的范围 【解答】 解：函数 f（ x） = 的导数为 f（ x） = ， 令 f（ x） =0，则 x= 1， 当 a= 1 时，可得 f（ x）在（ ， 1递增， 可得 f（ x）在 x= 1 处取得最大值 2，与题意不符，舍去； 则 ，或 ， 即为 或 ，即为 a 1 或 a 综上可得 a （ ， 1） 故选： D 第 9 页（共 20 页） 12已知函数 f（ x）（ x R）满足 f（ x） +f（ x） =2，若函数 y=x3+x+1 与 y=f（ x）的图象的交点从左到右依次为（ （ （ （ （ 则x1+x2+x3+x4+x5+y1+y2+y3+y4+ ） A 1 B 4 C 5 D 8 【考点】 函数的图象 【分析】 由题意可得 f（ x）的图象关于点（ 0， 1）对称，函数 y=x3+x+1 的图象也关于点（ 0，1）对称，可得 x1+x5=x2+x4=， y1+y5=y2+，由此可得结论 【解答】 解： 函数 f（ x）（ x R）满足 f（ x） +f（ x） =2， f（ x）的图象关于点（ 0， 1）对称， 而函数 y=x3+x+1 的图象也关于点（ 0， 1）对称， x1+x5=x2+x4=， y1+y5=y2+， x1+x2+x3+x4+x5+y1+y2+y3+y4+， 故选： C 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13若 ， ，则 m= 5 【考点】 对数 的运算性质 【分析】 利用指数与对数的互化，直接求解 m 的值即可 【解答】 解： ， = ， 可得 = 2m=10，解得 m=5 故答案为： 5 14编号分别为 1 至 6 的六名歌手参加大赛，组委会只设一名特等奖，观众甲、乙、丙、丁四人对特等奖获得者进行预测，甲：不是 1 号就是 2 号；乙：不可能是 3 号；丙：不可能是4， 5， 6 号；丁：是 4， 5， 6 号中的一个若四人中只有一人预测正确，则获特等奖的是 3 号 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 因为只有一个人猜对，而丙和丁互相否定，所以丙和丁中有一人猜对由此能求出结果 【解答】 解：丙对，获特等奖的是 3 号 原因如下： 若甲对，则甲 乙丙三人都预测正确，与题意只有一人预测正确相矛盾，故甲 错误； 若乙对，则甲丙丁三人都可能预测正确，与题意只有一人预测正确相矛盾，故乙错误； 因为只有一个人猜对，而丙和丁互相否定，所以丙和丁中有一人猜对 假设丁对，则推出乙也对，与题设矛盾，所以丁猜错了， 所以猜对者一定是丙，于是乙猜错了， 所以获特等奖的是 3 号， 若丁对，则乙 丁矛盾所以丙对故甲 乙 丁错 故 1 2 4 5 6 不能获得获特等奖，因此只有 3 获得获特等奖 故答案为： 3 第 10 页（共 20 页） 15一边长为 a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，当 x 等于 时，方盒的容积最大 【考点】 利用导数 求闭区间上函数的最值 【分析】 根据条件求出容积的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的最值，由导数可得在 x= 时函数 V（ x）有最大值 【解答】 解：由于在边长为 a 的正方形铁片的四角截去四个边长为 x 的小正方形，做成一个无盖方盒， 所以无盖方盒的底面是正方形，且边长为 a 2x，高为 x， 则无盖方盒的容积 V（ x） =（ a 2x） 2x， 0 x ； 即 V（ x） =（ a 2x） 2x=440 x ； V（ x） =128ax+ 6x a）（ 2x a）， 当 x （ 0， ）时， V（ x） 0； 当 x （ ， ）时， V（ x） 0； 故 x= 是函数 V（ x）的最大值点， 即当 x= 时，方盒的容积 V 最大 故答案为： 16若函数 f（ x） =（ 1 x）（ x2+ax+b）的图象关于点（ 2， 0）对称， 别是 f（ x）的极大值和极小值点，则 2 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 函数 f（ x） =（ 1 x）（ x2+ax+b）的图象关于点（ 2， 0）对称，可得 f（ 2） =0，f（ 2） =0，可得 a， b，进而得出极值点，即可得出 【解答】 解：函数 f（ x） =（ 1 x）（ x2+ax+b） = 1 a） a b） x+b f（ x） = 3（ 1 a） x+（ a b）， f（ x） = 6x+2（ 1 a）， 函数 f（ x） =（ 1 x）（ x2+ax+b）的图象关于点（ 2， 0）对称， f（ 2） =0， f（ 2） =0， 第 11 页（共 20 页） 12+2 2a=0， 3（ 4 2a+b） =0， 解得 a=7， b=10 f（ x） = 63x+10 令 f（ x） = 312x 3= 3（ x+1） =0， 解得 ， 令 f（ x） 0，解得 ，此时函数 f（ x）单调递增；令 f（ x） 0，解得 x ，或 x ，此时函数 f（ x）单调递减 f（ x）的极大值和极小值点分别为 = = 故答案为： 2 三、解答题（共 4 小题，满分 48 分 720 题为必考题； 2123 题， 2426 题为选考题。） 17设函数 f（ x） =x3+ x=1 和 x= 都取得极值 （ 1）求 a、 b 的值； （ 2）当 x 1， 2时，求函数 f（ x）的最大值 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数求 闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）利用导数与极值之间的关系建立方程求解； （ 2）利用导数通过表格求函数的最大值 【解答】 解：（ 1） f（ x） =3ax+b 1 因为函数 f（ x）在 x=1 和 x= 取到极值，即 f（ ） =0， f（ 1） =0 所以， f（ ） = ， f（ 1） =3+2a+b=0 解得 a= ， b= 2 3 （ 2）由（ 1）可得 f（ x） =2x x 1 （ 1， ） （ ， 1） 1 （ 1， 2） 2 f（ x） + 0 0 + f（ x） 递增 递减 递增 2 所以，在 1， 2上， x） =f（ 2） =2 18为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度 t 满足： 27 t 30 ）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验现有关于该地区 10 月份历年 10 月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位： ）的记录如下： 第 12 页（共 20 页） （ ）根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期 （ ）设该地区今年 10 月上旬（ 10 月 1 日至 10 月 10 日）的最高温度的方差和最低温度的方差分别为 计 大小？（直接写出结论即可） （ ）从 10 月份 31 天中随机选择连续三天，求所选 3 天每天日平均最高温度值都在 27，30之间的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；收集数据的方法 【分析】 （ ）由关于该地区 10月份历年 10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位： ）的记录， 得到农学家观察试验的起始日期为 7 日或 8 日 （ ）由图表得到 （ ）基本事件空间可以设为 =（ 1， 2， 3），（ 2， 3， 4），（ 3， 4， 5）， ，（ 29， 20， 31） ，共计 29 个基本事件，由图表可以看出，事件 A 中包含 10 个基本事件，由此能求出所选 3天每天日平均最高温度值都在 27， 30之间的概率 【解答】 解：（ ）研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度 t 满足： 27 t 30 ）的生长状况， 由关于该地区 10 月份历年 10 月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位： ）的记录， 得到农学家观 察试验的起始日期为 7 日或 8 日 （少写一个扣 1 分） （ ）最高温度的方差大，即 （ ）设 “连续三天平均最高温度值都在 27， 30之间 ”为事件 A， 则基本事件空间可以设为 =（ 1， 2， 3），（ 2， 3， 4），（ 3， 4， 5）， ，（ 29， 20， 31） ，共计 29 个基本事件 由图表可以看出，事件 A 中包含 10 个基本事件， 所以 ， 所选 3 天每天日平均最高温度值都在 27， 30之间的概率为 19某城市随机抽取一年内 100 天的空气质量指数 监测数据，结果统计如表： 0，50 （ 50，100 （ 100，150 （ 150，200 （ 200，250 （ 250，300 300 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 第 13 页（共 20 页） 天数 4 13 18 30 9 11 15 （ 1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失 S（单位：元）与空气质量指数 为 ）的关系式为： S= ，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失 S 大于 200元且不超过 600 元的概率； （ 2）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，其中有 8 天为重度污染，完成下面 2 2列联表，并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？ 附： P（ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计 85 15 100 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 （ 1）由 200 S 600，得 150 250，频数为 39，即可求出概率； （ 2）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论 【解答】 解：（ 1）设 “在本年内随机抽取一天，该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元 ”为事件 A 由 200 S 600，得 150 250，频数为 39， P（ A） = （ 2）根据以上数据得到如表： 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计 85 15 100 观测值 所以有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关 20已知函数 f（ x） =g（ x） = x2+3 （ 1）求函数 f（ x）的图象在点 （ 1， 0）处的切线方程； （ 2）若对 x （ 0， +）有 2f（ x） g（ x）恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 第 14 页（共 20 页） 【分析】 （ 1）先求导数，计算 f（ 1），从而求出切线方程即可； （ 2）分离参数，转化为函数的最值问题求解 【解答】 解：（ 1） f（ x） =1+ f（ 1） =1=k， 故切线方程是： y=x 1； （ 2）由题意，不等式化为 2，因为 x 0， 所以 a 2x+ ，当 x 0 时恒成立 令 h（ x） =2x+ ，则 h（ x） = +1= ， 当 0 x 1 时， h（ x） 0， x 1 时， h（ x） 0， 所以 h（ x）在（ 0， 1）上递减，在（ 1， +）上递增 故 h（ x） h（ 1） =2+3=4所以 a 4 故所求 a 的范围是 （ ， 4 请考生在 21、 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 选修 4 1：几何证明明选讲 （共 1 小题，满分 10 分） 21如图，在锐角三角形 ， C，以 直径的圆 O 与边 外的交点分别为 D， E，且 F （ ）求证： O 的切线； （ ）若 ， ，求 长 【考点】 与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明 【分 析】 （ ）连结 明 过 半径，说明 O 的切线 （ ）连 明 及切割线定理得： E解 C 【解答】 解：（ ）连结 C， D 为 中点，而 O 为 点， 半径， O 的切线 （ ）连 B= C，则 E，设 E=x，则 由切割线定理得： E 即 ，解得： （舍）， C=5 第 15 页（共 20 页） 选修 4 4：坐标系与参数方程 22以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 P 的直角坐标为（ 1， 2），点 M 的极坐标为 ，若直线 l 过点 P，且倾斜角为 ，圆 C 以 3 为半径 （ ）求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程； （ ）设直线 l 与圆 C 相交于 A， B 两点，求 | 【考点】 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 【分析】 （ I）根据题意直接求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程 （ 代入 y 3） 2=9，利用参数的几何意义，即可得出结论 【解答】 解：（ ）直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），（答案不唯一，可酌情给分） 圆的极坐 标方程为 =6 （ ）把 代入 y 3） 2=9，得 ， 设点 A， B 对应的参数分别为 7，则 | | |7 选修 4 5：不等式选讲 23（选做题）已知 f（ x） =|x+1|+|x 1|，不等式 f（ x） 4 的解集为 M （ 1）求 M； （ 2）当 a， b M 时，证明： 2|a+b| |4+ 【考点】 不等式 的证明；带绝对值的函数 【分析】 （ ）将函数写成分段函数，再利用 f（ x） 4，即可求得 M； （ ）利用作差法，证明 4（ a+b） 2（ 4+2 0，即可得到结论 【解答】 （ ）解： f（ x） =|x+1|+|x 1|= 第 16 页（共 20 页） 当 x 1 时，由 2x 4，得 2 x 1； 当 1 x 1 时， f（ x） =2 4； 当 x 1 时，由 2x 4，得 1 x 2 所以 M=（ 2， 2） （ ）证明：当 a， b M，即 2 a， b 2， 4（ a+b） 2（ 4+2=4（ ab+（ 16+8ab+=（ 4）（ 4 0， 4（ a+b） 2 （ 4+2， 2|a+b| |4+ 请考生在 24、 25、 26 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 选修 4 1：几何证明明选讲 （共 1 小题，满分 12 分） 24如图，已知 圆 O 相切于点 A，经过点 O 的割线 圆 O 于点 B， C， B， 点 D， E （ ）证明： （ ）若 P，求 的值 【考点】 弦切角；相似三角形的性质 【分析】 （ ）根据弦切角定理，得到 C，结合 分 得 C+ 后用三角形的外角可得 （ ）根据 P 得到 C，结合（ I）中的结论可得 C= 在 根据直径 到 0+ 用三角形内角和定理可得利用直角三角形 中正切的定义，得到 ，最后通过内角相等证明出 而 【解答】 解：（ ） 切线， 弦， C 又 C+ C+ （ ） 由（