2016年山东省高考数学模拟试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年山东省高考数学模拟试卷（文科） 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知 A=1， 2， 4， 8， 16， B=y|y=x A，则 AB=（ ） A 1， 2 B 2， 4， 8 C 1， 2， 4 D 1， 2， 4， 8 2已知 z（ 2 i） =1+i，则 =（ ） A B C D 3已知，命题 p：已知 m 0，若 2a 2b，则 其否命题为（ ） A已知 m=0，若 2a 2b，则 已知 m 0，若 2a 2b，则 已知 m 0，若 2a 2b，则 已知 m 0，若 2a 2b，则 已知向量 ， | ，则 等于（ ） A B C D 5函数 f（ x） =x|的图象大致为（ ） A B CD 6如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（ ） A B C D 7已知变量 x， y 满足 ，则 z=2x y 的最大值为（ ） 第 2 页（共 19 页） A 2 B 10 C 1 D 12 8 2016 年 2 月，为保障春节期间的食品安全，某市质量监督局对超市进行食品检查，如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为 的最小值为（ ） A 9 B C 8 D 4 9过抛物线 a 0）的焦点 F 作斜率为 1 的直线，该直线与双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线的交点分别为 B， C，若 等比中项，则双曲线的离心率等于（ ） A B C D 10设函数 y=f（ x）是定义在 R 上的可导函数，当 x 0 时， f（ x） f（ x），则函数 g（ x） =f（ x） 的零点个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 0 或 2 二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上） 11函数 f（ x） = 的定义域为 _ 12 三内角 A、 B、 C 的对边边长分别为 a、 b、 c，若 a= b， A=2B，则 _ 13如图是某算法的程序框图，若实数 x （ 1， 4），则输出的数值不小于 30 的概率为_ 第 3 页（共 19 页） 14已知直线 y= 2x+a 与圆 C： x2+4x+4y+4=0 相交于 A， B 两点，且 面积 S=2，则实数 a=_ 15设互不相等的平面向量组 （ i=1， 2， ， n）满足： | |=2； =0（ 1 i， j n） 若 ，记 ， 则数列 前 n 项和 _ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分 明过程或演算步骤 .） 16已知函数 （ 0）的两条对称轴之间的最小距离为 （ ）求 的值以及 f（ x）的最大值； （ ）已知 ， 0，若 f（ A） m 恒成立，求实数 m 的取值范围 17 2015 年山东省东部地区土豆种植形成初步规模，出口商在各地设置了大量的代收点已知土豆收购按质量标准可分为四个等级，某代收点对等级的统计结果如下表所示： 等级 特级 一级 二级 三级 频率 m m 从该代售点随机抽取了 n 袋土豆，其中二级品为恰有 40 袋 （ ）求 m、 n 的值； （ ）利用分层抽样的方法从这 n 袋土豆中抽取 10 袋，剔除特级品后，再从剩余土豆中任意抽取两袋，求抽取的两袋都是一等品的概率 18如图几何体中，长方形 在平面与梯形 在平面垂直，且 M 为 中点 （ ）证明： 平面 （ ）证明： 平面 第 4 页（共 19 页） 19已知数列 前 n 项和为 一切正整数 n，点 n， 函数 f（ x） = 比数列 调递减，且 ， b1+b2+ （ ）求数列 通项公式； （ ）若 等比中项，求数列 前 n 项和 20已知 f（ x） =a+ g（ x） =f（ x） （ ）已知函数 h（ x） =f（ x） g（ x）在 1， +）上单调递减，求实数 a 的取值范围； （ ）（ ）求证：当 a=1 时， f（ x） x； （ ）当 a=2 时，若不等式 h（ x） x+1）（ x 1， +）恒成立，求实 数 t 的取值范围 21已知椭圆 C： =1（ a b 0）的离心率为 ， 在椭圆 C 上 （ ） 求椭圆 C 的方程； （ ）直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M、 N， O 为坐标原点，且 （ ）求证： 面积为定值； （ ）求 的最值 第 5 页（共 19 页） 2016 年山东省高考数学模拟试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知 A=1， 2， 4， 8， 16， B=y|y=x A，则 AB=（ ） A 1， 2 B 2， 4， 8 C 1， 2， 4 D 1， 2， 4， 8 【考点】 交集及其运算 【分析】 先求出集合 B，再由交集的定义求 AB 【解答】 解： A=1， 2， 4， 8， 16， B=y|y=x A=0， 1， 2， 3， 4， AB=1， 2， 4 故选： C 2已知 z（ 2 i） =1+i，则 =（ ） A B C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除 运算化简得答案 【解答】 解：由 z（ 2 i） =1+i， 得 ， 故选： D 3已知，命题 p：已知 m 0，若 2a 2b，则 其否命题为（ ） A已知 m=0，若 2a 2b，则 已知 m 0，若 2a 2b，则 已知 m 0，若 2a 2b，则 已知 m 0，若 2a 2b，则 考点】 四种命题间的逆否关系 【分析】 由否命题的定义直接写出结果盆选项即可 【解答】 解：命题 p：已知 m 0，若 2a 2b，则 则其否命题为：已知 m 0，若 2a 2b，则 选： D 4已知向量 ， | ，则 等于（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 第 6 页（共 19 页） 【分析】 求出 ，代入向量的夹角公式计算 【解答】 解： | |= ， =2， （ ）（ ） =1， = 1 = = 故选 D 5函数 f（ x） =x|的图象大致为（ ） A B CD 【考点】 函数的图象 【分析】 由条件判断函数为偶函数，且在（ 0， 1）上单调递增，从而得出结论 【解答】 解：由函数 f（ x） =x|为偶函数，可得它的图象关于 y 轴对称， 故排除 A、 D 在区间（ 0， 1）上， f（ x） =f（ x） = 0， 故函数 f（ x）在（ 0， 1）上单调递增， 故排除 C， 故选： B 6如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（ ） 第 7 页（共 19 页） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 几何体为长方体和两个半球的组合体 【解答】 解：由三视图可知几何体为长方体和两个半球的组合体， 长方体的棱长分别为 2， 2， 1，半球的半径为 1 几何体的体积 V=2 2 1+ =4+ 故选： C 7已知变量 x， y 满足 ，则 z=2x y 的最大值为（ ） A 2 B 10 C 1 D 12 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可 【解答】 解：由 z=2x y 得 y=2x z 作出不等式组 ，对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线 y=2x z 由图象可知当直线 y=2x z 过点 A 时，直线 y=2x z 的截距最小，此时 z 最大， 由 ，解得 ，即 A（ 4， 2） 代入目标函数 z=2x y， 得 z=2 4+2=10， 目标函数 z=2x y 的最大值是 10 故选： B 第 8 页（共 19 页） 8 2016 年 2 月，为保障春节期间的食品安全，某市质量监督局对超市进行食品检查，如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为 的最小值为（ ） A 9 B C 8 D 4 【考点】 众数、中位数、平均数；茎叶图 【分析】 根据平均数的定义求出 a+b=2，再利用基本不等式求出 的最小值即可 【解答】 解：根据茎叶图中的数据，该组数据的平均数为 = （ a+11+13+20+b） = a+b=2； = + =2+ + + 2 + = ， 当且仅当 a=2b，即 a= ， b= 时取 “=”； + 的最小值为 故选： B 9过抛物线 a 0）的焦点 F 作斜率为 1 的直线，该直线与双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线的交点分别为 B， C，若 等比中项，则双曲线的 离心率等于（ ） A B C D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求出直线的方程和双曲线的渐近线方程，通过解方程组得出 据等比中项的性质列方程化简得出 a， b 的关系代入离心率公式计算 【解答】 解：抛物线的焦点为 F（ a， 0）， 直线方程为 y= x+a 双曲 线 =1 的渐近线为 y= ， 直线 y= x+a 与渐近线的交点横坐标分别为 ， 第 9 页（共 19 页） 等比中项， （ ） 2=a 或（ ） 2=a ， 3ab+（舍）或 3， b=3a c= = ， 双曲线的离心率 e= = 故选： D 10设函数 y=f（ x）是定义在 R 上的可导函数，当 x 0 时， f（ x） f（ x），则函数 g（ x） =f（ x） 的零点个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 0 或 2 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 令 m（ x） =x），根据当 x 0 时， f（ x） f（ x），求出 m（ x）的单调性，令 h（ x） =x） =x） 1，求出 h（ x）的单调性，从而求出函数的零点的个数 【解答】 解： 满足当 x 0 时， f（ x） f（ x）， 2f（ x） + x） 0， 令 m（ x） =x），则 g（ x） =x2f（ x） + x） ， 当 x 0 时， g（ x） 0；当 x 0 时， g（ x） 0， g（ x）在（ 0， +）递减，在（ ， 0）递增， 令 h（ x） =x） =x） 1， 则 h（ x） =m（ x）， 当 x 0 时，函数 h（ x）单调递减；当 x 0 时，函数 h（ x）单调递增， h（ x）的最大值是 h（ 0） =0， 显然 g（ x）的定义域是 x 0， 关于 x 的函数 g（ x） =f（ x） 的零点个数是 0 个 故选： A 二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上） 11函数 f（ x） = 的定义域为 x|0 x 2 且 x 1 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 根据函数 f（ x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可 【解答】 解：函数 f（ x） = ， 第 10 页（共 19 页） ， 解得 ， f（ x）的定义域为 x|0 x 2 且 x 1 故答案为： x|0 x 2 且 x 1 12 三内角 A、 B、 C 的对边边长分别为 a、 b、 c，若 a= b， A=2B，则 【考点】 正弦定理 【分析】 a= b，利用正弦定理可得： A=2B，利用倍角公式可得：为 ，再利用同角三角函数基本关系式即可得出 【解答】 解： a= b， A=2B， ， B （ 0， ）， = 故答案为： 13如图是某算法的程序框图，若实数 x （ 1， 4），则输出的数值不小于 30 的概率为 【考点】 程序框图 第 11 页（共 19 页） 【分析】 由程序框图的流程，写出前三次循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于 30 得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的 x 不小于 30的概率 【解答】 解：设实数 x （ 1， 4）， 经过第一次循环得到 x=2x+2， n=3， 经过第二循环得到 x=2（ 2x+2） +2， n=5， 经过第三循环得到 x=22（ 2x+2） +2+2， n=7， 此时输出 x， 输出的值为 8x+14， 令 8x+14 30，得 x 2， 由几何概型得到输出的 x 不小 于 30 的概率为 P= = 故答案为： 14已知直线 y= 2x+a 与圆 C： x2+4x+4y+4=0 相交于 A， B 两点，且 面积 S=2，则实数 a=2 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 根据圆的标准方程，求出圆心和半径，利用 面积 S=2，可得圆心 C 到直线 距离 d= ，根据点到直线的距离公式即可得到结论 【解答】 解：圆 C： x2+4x+4y+4=0 可化为（ x 2） 2+（ y+2） 2=4 圆心 C（ 2， 2），半径 r=2， 面积 S=2 圆心 C 到直线 距离 d= ， 即 d= = ， 解得 a=2 ， 故答案为： 2 15设互不相等的平面向量组 （ i=1， 2， ， n）满足： | |=2； =0（ 1 i， j n） 若 ，记 ， 则数列 前 n 项和 n（ n=1， 2） 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量两两垂直可知平面向量组只有两个向量，代入计算即可 【解答】 解： =0， ， ， ， 第 12 页（共 19 页） = ，与 矛盾 n 最大值为 2 = ， ， |2= =8 ， 2 n 故答案为 2n 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分 明过程或演算步骤 .） 16已知函数 （ 0）的两条对称轴之间的最小距离为 （ ）求 的值以及 f（ x）的最大值； （ ）已知 ， 0，若 f（ A） m 恒成立，求 实数 m 的取值范围 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ ）由三角函数公式化简可得 f（ x） =2x ） ，由函数图象和周期公式可得 =1，易得最大值； （ ）可得 A ，由三角函数最终可得 2A ） 的最小值，由恒成立可得 【解答】 解：（ ）由三角函数公式化简可得 f（ x） = =2x ） ， 函数 f（ x）图象两条对称轴之间的最小距离为 ， 周期 T= =2 ，解得 =1， f（ x） =2x ） ， f（ x）的最大值为 1 = ； （ ） ， 0， A ， 2A ， 1 2A ） ， 2A ） 0， 要使 f（ A） m 恒成立，则 m f（ A） =2A ） 的最小值， 故实数 m 的取值范围为（ ， 第 13 页（共 19 页） 17 2015 年山东省东部地区土豆种植形成初步规模，出口商在各地设置了大量的代收点已知土豆收购按质量标准可分为四个等级，某代收点对等级的统计结果如下表所示： 等级 特级 一级 二级 三级 频率 m m 从该代售点随机抽取了 n 袋土豆，其中二级品为恰有 40 袋 （ ）求 m、 n 的值； （ ）利用分层抽样的方法从这 n 袋土豆中抽取 10 袋，剔除特级品后，再从剩余土豆中任意抽取两袋，求抽取的两袋都是一等品的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法 【分析】 （ ）由已知得 m+m+，由此能求出 m， n （ ）由（ ）知利用分层抽样方法从这 n 袋土豆中抽取 10 袋土豆，由特级品有 3 袋，一等品有 4 袋，二等品有 2 袋 ，三等品有 1 袋，由此利用等可能事件概率计算公式能求出抽取的两袋都是一等品的概率 【解答】 解：（ ）由已知得 m+m+， 解得 m= n= = =200 （ ）由（ ）知利用分层抽样方法从这 n 袋土豆中抽取 10 袋土豆，由特级品有 3 袋， 一等品有 4 袋，二等品有 2 袋，三等品有 1 袋， 记一等品的四袋分别为 A、 B、 C、 D，二等品的两袋为 a， b，三等品的一袋为 c， 则从中抽取两袋 ，不同的结果为： n= =21， 抽取的两袋都是一等品包含的基本事件个数 m= =6， 抽取的两袋都是一等品的概率 p= = 18如图几何体中，长方形 在平面与梯形 在平面垂直，且 M 为 中点 （ ）证明： 平面 （ ）证明： 平面 【考点】 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）取 点 N，连结 导出平面 平面 此能证明平面 （ 2）由已知 平面 而 由 D=A，能证明 面 第 14 页（共 19 页） 【解答】 证明：（ ）取 点 N，连结 长方形 在平面与梯形 在平面垂直，且 为 中点， N=N， C=C， 面 面 平面 平面 面 平面 （ 2） 长方形 ， 方形 在平面与梯形 在平面垂直， 平面 面 D=A， 平面 19已知数列 前 n 项和为 一切正整数 n，点 n， 函数 f（ x） =比数列 调递减，且 ， b1+b2+ （ ）求数列 通项公式； （ ）若 等比中项，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ I）点 n， 函数 f（ x） =x 的图象上，可得 Sn=n，利用递推关系即可得出 等比数列 公比为 q，由 ， b1+b2+可得 =8， +，解出即可得出 （ 用等比数列的通项公式、 “错位相减法 ”与等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ I）点 n， 函数 f（ x） =x 的图象上， Sn=n， 当 n=1 时， ；当 n 2 时， n 1=（ n） （ n 1） 2（ n 1） =2n 2 当 n=1 时上式也成立， n 2 设等比数列 公比为 q， ， b1+b2+ =8， +， 解得 ， q= 或 3， 第 15 页（共 19 页） 数列 调递减 ， q= ， =2 （ 等比中项， = 2n 2） = 数列 前 n 项和 + ， =4 + ， = =4=4 ， 解得 20已知 f（ x） =a+ g（ x） =f（ x） （ ）已知函数 h（ x） =f（ x） g（ x）在 1， +）上单调递减，求实数 a 的取值范围； （ ）（ ）求证：当 a=1 时， f（ x） x； （ ）当 a=2 时，若不等式 h（ x） x+1）（ x 1， +）恒成立，求实数 t 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出导数，由题意可得 h（ x） 0 恒成立即有 1 a x 1 恒成立，求得右边函数的最小值即可； （ ）（ i）令函数 y=1+x，求出导数，判断单调性，即可得证； （ a=2 时，不等式 h（ x） x+1）（ x 1， +）恒成立即为 t （ 1+ ）（ 2+ x 1， +）恒成立令函数 y=（ 1+ ）（ 2+求得导数，判断单调性，可得最小值，即可得到所求范围 【解答】 解：（ ） g（ x） =f（ x） = ， h（ x） =f（ x） g（ x） =（ a+ ， h（ x） = （ a+ ， 第 16 页（共 19 页） 由题意可得 h（ x） 0 恒成立 即有 1 a x 1 恒成立，由 0， 则 1 a 0，即为 a 1； （ （ i）证明：令函数 y=1+x， y= 1= ， 当 x 1 时， y 0，函数 y 递减；当 0 x 1 时， y 0，函数 y 递增 即有 x=1 处取得极大值，也为最大值，且为 0， 则 1+x 0， 则 f（ x） x； （ a=2 时，不等式 h（ x） x+1）（ x 1， +）恒成立即为 t （ 1+ ）（ 2+ x 1， +）恒成立 令函数 y=（ 1+ ）（ 2+则 y= ， 由 x 1 时， x 1 立，可得 y 0，函数 y 递增 则函数 y 的最小值为 4 则 t 4 21已知椭圆 C： =1（ a b 0）的离心率为 ， 在椭圆 C 上 （ ） 求椭圆 C 的方程； （ ）