高二秋季物理竞赛班第02讲_电势和电势能.教师版

讲述高端的， 真正的物理学 1 高高二二物理物理竞赛竞赛第第 1 讲讲学生版学生版 电容的定义是：找到两块金属板（等势面） ，令其中一块带上Q，一块带Q，这时候两极板电 势差为U，电容 Q C U 。如果只说某个物体的电容，一般把大地当作另一个极板。这也就形成了我们 求电容的一般思路：给定电势求电荷；给定电荷求电势。注意：讲电容的时候，我们总要求一个极板 上发出的电场线回到另一个极板，这也就保证了两个极板上电荷大小相等。 常见的几种电容例如平行板电容、球型电容、同心圆柱电容、同心球电容等是基本知识点，应当 熟练掌握。 【例1】 两块正方形的极板，边长为L，相对放置，间距为d构成电容器，dL。各充电Q之后保 持绝缘。求做如下操作之后两个极板之间的电势差。 a) 将极板沿着一条边错动小距离L b) 将一个极板绕着一条边转动一个小角度，并使得Ld c) 一个小金属球，半径为rd，质量为m（重力可以忽略） 。开始位于一个极板负极内侧，由 于静电感应作用，带上负电，然后受到电场力作用飞向正极板，发生非完全弹性碰撞并重新 达到经典平衡。经过时间t之后，求两极板之间的电势差。 电容电容电压电压电荷电荷 知识点睛知识点睛 高二物理竞赛高二物理竞赛 第第 2 2 讲讲 电容、电介质、电能电容、电介质、电能 讲述高端的， 真正的物理学 2 高高二二物理物理竞赛竞赛第第 1 讲讲学生版学生版 两个极板间的被放上其他电荷，电荷的受力为FEq。如果考虑极板自己的受力，则 2 E Fq。 我们知道，在考虑一个电荷受力时，不能算自己的电场，所以在考虑某极板的受力时，只能算另一极 板产生的电场， 刚好为两极板间电场的一半。 同时由高斯定理易得， 无穷大板产生的电场为2Ek 。 通过电流做功的定义，很容易得出，电容器储存能量的公式为： 2 2 11 22 Q ECU C 还有另一种理解电容器储存能量的方式：电荷之间并不是直接相互作用，而是通过电场相互作用； 这样也就理所当然不存在电荷间相互作用能，作用能包含在空间的电场中。在这样的观点中，我们可 以得到相互作用能在空间中分布的密度： 2 0 1 2 E，即能量由电场携带。这也就为计算电容提供了 一种新的思路：摆上电荷或者加上电势，然后计算储能。以平行板电容器为例，可以看出来二者完全 等价。 【例2】 平行板电容器面积为S，厚度为d。充电点为Q，求两极板之间的作用力。已知真空中电场 的能量密度为 2 0 1 2 E 【例3】 还是那个电容器，两极板接电源 0 Qd S ，求两极板之间的作用力。 【例4】 平行板电容器两极板均为正方形，其面积均为 S=1.010-2m2。相距为 d=1.010-3m，将这个 电容器与电源相连接，电源的电动势=100V，再把厚度为 d，长度等于电容器极板长的电介质板 （相对介电常数r=2） ，以匀速=2.310-2m/s 引入两极板间。问： （1）电路中电流强度为多少？ （2）介质板插入过程中电源输出的能量为多少？ （3） 电容器中电介质板引入前后所储存的能量有何变化？比较电源输出的能量与电容器中能量的变化 量是否相同？并说明原因。 解析 90 (1) 6.39 10 r Sv tQC IA ttd t 电源做功 6 2.78 10 s WI tJ 储能变化 226 00 11 1.39 10 22 cr WCCJ 此过程中保持静止有外力，外力做负功。 电容里的受力与能量电容里的受力与能量 讲述高端的， 真正的物理学 3 高高二二物理物理竞赛竞赛第第 1 讲讲学生版学生版 【例5】 如图所示，空气平行板电容器水平放置，下极板固定，上极板与一竖直弹簧相连于极板的中 点，弹簧原长为 L0，挂上金属板后伸长了 x0，与下方另一固定金属板相距为 d0，两板面积都是 S， 突然加上电压 U，使上极板带正电，下极板带负电，结果上极板振动起来，在其振动的平衡位置， 两板距离为 d1。求弹簧的劲度系数 k 及上极板做微小振动的频率。如果在平衡位置去掉电源，保 持两极板上电荷不变，则微小振动的频率为多少？ 解析 质量 0 /mx k g 加电压后平衡， 1 /EU d，电量 0 0 1 US QSE d ，受力平衡有： 01 () 2 QE k dd 于是 2 0 2 101 2() U S k ddd 设移动x，回复力为 222 00001 222 11111 (1 2) 2()2 U SU SU Sddx Fkxkxkx dxdddd 于是频率 01 10 /(1 2) ddg k m dx 第二问 略 【例6】 如图所示， 一个长为 l 的圆筒形电容器由一半径为 a 的内层导线和一半径为 b 的外部薄导体壳 构成，内外层之间的空间填以介电常数为的绝缘材料，假定电容器上连着一个电压为 U 的蓄电 池，那么电介质将部分地被拉出电容器，如果保持电介质处于原位置不动需要多大的力？略去边 缘效应，力必须作用在什么方向？（baa） 解析原始电容 0 0 2aL C ba 讲述高端的， 真正的物理学 4 高高二二物理物理竞赛竞赛第第 1 讲讲学生版学生版 插入高度一定高度之后电容 0 2() ( ) r a xLx C x ba 虚功原理，假设移动了x， 新增电荷 0( 1) r x QCUCU L 储能增加 2 0 11 (1) 22 cr x WCUCU L ，由虚功原理 sc WWW 外力 ，所以 2 0 1 (1) 2 r x WCU L 外力 ，所以外力为 2 0 1 (1) 2 r U C L ，方向向上 【例7】 如图所示，一个铁皮制的球形电容器，通过带有两个阀门的玻璃管从水银池中往里面灌水银， 玻璃管的内径 a=21mm，它的壁厚 d=1mm。在两个阀门之间绕着和电池负极相接的薄金属片。电 池的另一极接到池里的水银中，往铁皮容器中灌水银是这样进行的：把下面的阀门关上，打开上 面的阀门，等玻璃管充满水银后，再把上阀门关闭，撤除金属片，打开下阀门，把水银放到球形 容器中去，多次重复上述动作，直到球形容器充满水银。假若电池电动势=120V，球形容器的 半径 R=10cm，玻璃的相对介电常数r=6，那最后球形容器和地之间的电压会是多少（近似值） 解析 柱形电容 0r aL C d 所里漏出的水银带电密度为 00 2 4 ( / 2) rr aLC VdaLda 最后电压为 232 6 00 44 1.37 10 3 4 rR RR UV Rda 1、孤岛效应：形成孤岛的部分电荷守恒。 2、电容充放电里的能量问题：电容在充放电时，如果电阻无穷小，则电流无穷大，此时无穷小电阻上 的电压降不可忽略，无穷小的电阻上的电功不可忽略。有些模型在考虑电容充放电问题时，直接令电 阻为零，这样的模型是不完善的，能量是不守恒的。如果要考虑其能量问题，必须加上电阻上的能量 消耗或是向外辐射的能量。 【例8】 如图 1 C， 2 C， 3 C是三个电容都是 0 C的完全相同的平行板电容器，其电源电势差为U 接通电源，三个电容器的能量比 接通电源后，在 23 CC，中充满介电常数为的电介质，求三个电容器的能量比 在操作足够长时间后，再断开电源，然后将 2 C， 3 C中的电介质取走，求总能量的改变 电路中的电容电路中的电容 讲述高端的， 真正的物理学 5 高高二二物理物理竞赛竞赛第第 1 讲讲学生版学生版 解析 1、 123 :1:1:2UUU ， 123 :1:1:4EEE 2、 1122 CUC U于是 1 ; 1 UU 2 1 ; 1 UU 3 ;UU 2 123 2 :() : 1(1) EEE 3、断开后 213 , 1 QQCUQCU （顺时针为正） 设拿走介质后顺时针流过电荷q，则有一圈电势差为 0： 321 0 QqQqQq CCC ，解得： (1) 1 qCU 于是 22 22133 2 ; 11 QQqCUQQQq 整体能量改变 222222422 2331212 2 16(1) 2222222(1) QQQQQQ ECU CCCCCC 【例9】 正六面体网络中，四个电阻都相同，1 = 4V，2 = 8V，3 = 12V，4 = 16V，四个电源均 不计内阻，C1 = C2 = C3 = C4 = 1F 。试求：四电容器积聚的总能； 答案拍扁，断路电容，得到简单电路，有 1232 2 ;=8V=5V=1VUV UUU； 能量为 6 49 10 J 变化若将 a、b 两点短接，C2上将具有多少电荷？ 【例10】 如图所示，有无穷多个边长依次减半的系列正方体容器，容器壁用理想绝热材料制成，每个 容器的中部均有一块面积与该容器底面积相等的薄电阻合金板，两端可与外界通电，每个容器中均 装满 0的纯水， 若将最大容器的电阻板接通恒定输出电