天津市五区县2016届高三上期末数学试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2015年天津市五区县高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知集合 A=x|x 2 0， B=x|1 x 3，则（ B=（ ） A A、（ 1， 2 B 1， 2 C（ 1， 3 D（ ， 1） （ 2， +） 2设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+y 的最小值为（ ） A 3 B 2 C D 1 3 “辗转相除法 ”的算法思路如右图所示记 R（ ab）为 a 除以 b 所得的余数（ a， b N*），执行程序框图，若输入 a， b 分别为 243， 45，则输出 b 的值为（ ） A 0 B 1 C 9 D 18 4设 x R，则 “x 1”是 “x|x| 1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5如图，圆 O 是 外接圆， C， 圆 O 的切线，若 ， ，则 ） A 5 B 4 C D 3 第 2 页（共 19 页） 6若双曲线 =1 的一条渐近线平行于直线 x+2y+5=0，一个焦点与抛物线 20双曲线的方程为（ ）（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 7已知定义在 R 上的函数 f（ x） =x m|（ m 为实数）是偶函数，记 a=f（ e），b=f（ c=f（ e 为自然对数的底数），则 a， b， c 的大小关系（ ） A a b c B a c b C c a b D c b a 8已知定义域为 R 的奇函数 f（ x）的周期为 4，且 x （ 0， 2）时 f（ x） =x+b），若函数 f（ x）在区间 2， 2上恰有 5 个零点，则实数 b 应满足的条件是（ ） A 1 b 1 B 1 b 1 或 b= C b D b 1 或 b= 二、填空题：本大题共有 5 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9若复数 是纯虚数，则实数 a 的值为 _ 10在（ x ） 8 的展开式中， 的系数为 _ 11某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 _ 12曲线 y= 它在点（ 2， 1）处的切线与 x 轴围成的封闭图形的面积为 _ 13如图，在 ， B= ， 平分线交 点 D， ， ，则 面积为 _ 第 3 页（共 19 页） 14如图，已知 平面内相邻两直线距离为 1 的一组平行线，点 O 到 距离为 2， A， B 是 上的不同两点，点 别在直线 若= n N*），则 x1+x5+y1+值为 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15已知函数 f（ x） =4x+ ） 1（ x R） （ 1）求函数 f（ x）的最小正周期； （ 2）求函数 f（ x）在区间 0， 上的最大值和最小值 16甲、乙、丙三支球队进行某种比赛，其中两队比赛，另 一队当裁判，每局比赛结束时，负方在下一局当裁判设各局比赛双方获胜的概率均为 ，各局比赛结果相互独立，且没有平局，根据抽签结果第一局甲队当裁判 （ ）求第四局甲队当裁判的概率； （ ）用 X 表示前四局中乙队当裁判的次数，求 X 的分布列和数学期望 17已知四棱柱 侧棱 底面 等腰梯形， C， ， ， 0， E 为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求证： （ ）若 B，求二面角 余弦值 18已知各项均为正数的数列 前 n 项和为 量 =（ ）， =（ ， 4）（ n N*），且 （ ）求 通项公式 （ ）设 f（ n） = bn=f（ 2n+4），求数列 前 n 项和 第 4 页（共 19 页） 19已知椭圆 C 的中心在原点，焦点 轴上，焦距为 2，离心率为 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若 P 是椭圆 C 上第一象限内的点， 内切圆的圆心为 I，半径为 求： （ i）点 P 的坐标； （ 线 方程 20已知函数 f（ x） =m R） （ ）当 m=1 时，求函数 f（ x）的单调区间； （ ）若 m 0，且曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线与直线 x+（ e+1） y=0 垂直 （ i）当 x 0 时，试比较 f（ x）与 f（ x）的大小； （ 对任意 且 f（ =f（ 证明： x1+0 第 5 页（共 19 页） 2015年天津市五区县高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知集合 A=x|x 2 0， B=x|1 x 3，则（ B=（ ） A A、（ 1， 2 B 1， 2 C（ 1， 3 D（ ， 1） （ 2， +） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 化简集合 A，求出 计算（ B 【解答】 解：集合 A=x|x 2 0=x|x 1 或 x 2=（ ， 1） （ 2， +）， 1， 2； 又 B=x|1 x 3=（ 1， 3， （ B=（ 1， 2 故选： A 2设变量 x， y 满足约束条件 ， 则目标函数 z=x+y 的最小值为（ ） A 3 B 2 C D 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 化目标函数 z=x+y 为 y= x+z， 由图可知，当直线 y= x+z 过 A（ 1， 0）时，直线 在 y 轴上的截距最小， z 有最小值为 1 故选： D 第 6 页（共 19 页） 3 “辗转相除法 ”的算法思路如右图所示记 R（ ab）为 a 除以 b 所得的余数（ a， b N*），执行程序框图，若输入 a， b 分别为 243， 45，则输出 b 的值为（ ） A 0 B 1 C 9 D 18 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 a， b， y 的值，当 y=0 时满足条件y=0，退出循环，输出 b 的值为 9 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 a=243， b=45 y=18， 不满足条件 y=0， a=45， b=18， y=9 不满足条件 y=0， a=18， b=9， y=0 满足条件 y=0，退出循环，输出 b 的值为 9 故选： C 4设 x R，则 “x 1”是 “x|x| 1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 x|x| 1，对 x 分类讨论，解出不等式的解集，即可判断出 【解答】 解： x|x| 1，当 x 0 时，化为 1，恒成立； 当 x 0 时，化为 1，解得 0 x 1 综上可得： x|x| 1 的解集为： x|x 1 “x 1”是 “x|x| 1”的充要条件 故选： C 5如图，圆 O 是 外接圆， C， 圆 O 的切线，若 ， ，则 ） 第 7 页（共 19 页） A 5 B 4 C D 3 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 由切割线定理求出 C=5，由弦切角定理得到 此能求出 【解答】 解： 圆 O 是 外接圆， C， 圆 O 的切线， ， ， D 36=4（ 4+ 解得 ， D= D， ， ，解得 故选： C 6若双曲线 =1 的一条渐近线平行于直线 x+2y+5=0，一个焦点与抛物线 20双曲线的方程为（ ）（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【考点】 双曲线的简单性质 第 8 页（共 19 页） 【分析】 利用双曲线 =1 的一条渐近线平行于直线 x+2y+5=0，一个焦点与抛物线 20x 的焦点重合，建立方程，求出 a， b，即可求出双曲线的方程 【解答】 解： 双曲 线 =1 的一条渐近线平行于直线 x+2y+5=0， = ， 一个焦点与抛物线 20x 的焦点重合， c=5， a=2 ， b= ， 双曲线的方程为 =1 故选： A 7已知定义在 R 上的函数 f（ x） =x m|（ m 为实数）是偶函数，记 a=f（ e），b=f（ c=f（ e 为自然对数的底数），则 a， b， c 的大小关系（ ） A a b c B a c b C c a b D c b a 【考点】 分段函数的应用 【分析】 利用 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，可得 m=0，化简 a， c，利用函数在（ 0， +）上是增函数，可得 a， b， c 的大小关系 【解答】 解：由 f（ x）为 R 上的偶函数，可得 f（ x） =f（ x），即为 x m|= x m|， 求得 m=0， 即 f（ x） =x|， 当 x 0 时， f（ x） =x2+x 递增， 由 a=f（ e） =f（ b=f（ c=f（ =f（ =f（ 1）， 又 1 可得 f（ f（ 1） f（ 即有 b c a 故选： B 8已知定义域为 R 的奇函数 f（ x）的周期为 4，且 x （ 0， 2）时 f（ x） =x+b），若函数 f（ x）在区间 2， 2上恰有 5 个零点，则实数 b 应满足的条件是（ ） A 1 b 1 B 1 b 1 或 b= C b D b 1 或 b= 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 由题意知 f（ 0） =f（ 2） =f（ 2） =0，从而化为 f（ x） =x+b）在（ 0， 2）上有且只有一个零点，从而解得 第 9 页（共 19 页） 【解答】 解： f（ x）是定义在 R 上的奇函数， f（ 0） =0， f（ 2） = f（ 2）， 又 f（ x）的周期为 4， f（ 2） =f（ 2）， f（ 2） =f（ 2） =0， f（ x） =x+b）在（ 0， 2）上有且只有一个零点， 方程 x+b=1 在（ 0， 2）上有且只有一个解， b= x2+x+1=（ x ） 2+ ， b= 或 1 b 1 时，有且只有一个解， 1 b 时，有两个解， 故选： B 二、填空题：本大题共有 5 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9若复数 是纯虚数，则实数 a 的值为 1 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 【分析】 首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以 分母的共轭复数，整理成复数的标准形式，根据复数是一个纯虚数，得的复数的实部等于 0，而虚部不等于 0，得的 a 的值 【解答】 解： 复数 = = ， 复数是一个纯虚数， 1 a=0， 1+a 0， a=1， 故答案为： 1 10在（ x ） 8 的展开式中， 的系数为 56 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 2，求出 r 的值，即可求得展开式中 的系数 【解答】 解：（ x ） 8 的展开式的通项公式为 = （ 1） r2r，令 8 2r= 2，求得 r=5， 故展开式中， 的系数 为 = 56， 故答案为： 56 11某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 第 10 页（共 19 页） 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由题意作图，从而可得其由三棱柱截去三棱锥得到，从而解得 【解答】 解：由题意作图如下， 其由三棱柱截去三棱锥可得， 其中三棱柱的体积 V= 1 1 2=1， 被截去的三棱锥的体积 V= 1 1 1= ， 故该几何体的体积为 1 = ， 故答案为： 12曲线 y= 它在点（ 2， 1）处的切线与 x 轴围成的封闭图形的面积为 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 先求出导数和切线的斜率，可得切线的方程，根据题意画出区域，然后依据图形，利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可 【解答】 解： y= （ 2， 1）点处的切线 l， 则 y= x， 直线 l 的斜率 k=y|x=2=1， 直线 l 的方程为 y 1=x 2，即 y=x 1， 当 y=0 时， x 1=0，即 x=1， 第 11 页（共 19 页） 所围成的面积如图所示： S= 1 1 = = = 故答案为： 13如图，在 ， B= ， 平分线交 点 D， ， ，则 面积为 【考点】 相似三角形的性质 【分析】 设 AB=a， ，则 ，由此求出 进而求出 C，从而能求出 面积 【解答】 解：设 AB=a， ， 在 ， B= ， 平分线交 点 D， ， ， ，整理，得 = =2= ， 设 x，解方程 2x = ，解 x= ，或 x= ， 0 90， x 0， AB=a= = ， 面积为 S= = 第 12 页（共 19 页） 故答案为： 14如图，已知 平面内相邻两直线距离为 1 的一组平行线，点 O 到 距离为 2， A， B 是 上的不同两点，点 别在直线 若= n N*），则 x1+x5+y1+值为 10 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 由题意作图，从而由三点共线的性质解得 x1+， x2+， ，从而解得 【解答】 解：由题意作图象如下， ， =且 A， B， 点共线， x1+， 点共线， 存在 x+y=1，使 =x +y ， = ， = ， 又 = 第 13 页（共 19 页） x2+， 同理可得， x3+， x4+， x5+， 故 x1+x5+y1+ +2+ +3=10； 故答案为： 10 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15已知函数 f（ x） =4x+ ） 1（ x R） （ 1）求函数 f（ x）的最小正周期； （ 2）求函数 f（ x）在区间 0， 上的最大值和最小值 【考点】 三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值 【分析】 （ 1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f（ x） =22x ），利用周期公式即可得解 （ 2）由 x 0， ，可求 2x ， ，利用正弦函数的图象和性质即可得解 【解答】 （本题满分为 13 分） 解：（ 1） f（ x） =4x+ ） 1=2 1 =2 1 = 22x ）， 4 分 函数 f（ x）的最小正周期 T= =7 分 （ 2） x 0， ， 2x ， ， 当 x= 时， f（ x） ， 9 分 当 x=0 时， f（ x） 1， 13 分 16甲、乙、丙三支球队进行某种比赛，其中两队比赛，另一队当裁判，每局比赛结束时，负方在下一局当裁判设各局比赛双方获胜的概率均为 ，各局比赛结果相互独立，且没有平局，根据抽签结果第一局甲队当 裁判 （ ）求第四局甲队当裁判的概率； 第 14 页（共 19 页） （ ）用 X 表示前四局中乙队当裁判的次数，求 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （ ）第一局无论谁输，第二局都由甲队上场，第四局甲队当裁判（记为事件 A），第三局甲队参加比赛（不能当裁判）且输掉（记为事件 可知第二局甲队参加比赛且获胜（记为事件 发生， A 才发生，由此能求出第四局甲队当裁判的概率 （ ）由题意 S 的所有可能取值为 0， 1， 2，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（ X） 【解答】 解：（ ）第一局无论谁输，第二局都由甲队上场，第四局甲队当裁判（记为事件A）， 第三局甲队参加比赛（不能当裁判）且输掉（记为事件 可知第二局甲队参加比赛且获胜（记为事件 发生， A 才发生，即 P（ A） =P（ =P（ P（ = （ ）由题意 S 的所有可能取值为 0， 1， 2， 记 “第三局乙丙比赛，乙胜丙 ”为事件 “第一局比赛，乙胜丙 ”为事件 “第二局乙甲比赛，乙胜甲 ”为事件 “第三局比赛乙参加比 赛，乙负 ”为事件 P（ X=0） =P（ =P（ P（ P（ = ， P（ X=2） =P（ ） =P（ ） P（ = ， P（ X=1） =1 P（ X=0） P（ X=2） = ， X 的分布列为： X 0 1 2 P E（ X） = = 17已知四棱柱 侧棱 底面 等腰梯形， C， ， ， 0， E 为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求证： （ ）若 B，求二面角 余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质 第 15 页（共 19 页） 【分析】 （ ）取 点 F，连结 中位线定理，得 而得到四边形 平行四边形，进而平面 平面 此能证明 平面 （ ）以 A 为坐标原点，直线 别为 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量 法能证明 （ ）求出平面 法向量和平面 法向量，利用向量法能求出二面角 余弦值 【解答】 证明：（ ）取 点 F，连结 中位线， 又 ， ， 0， ， 四边形 平行四边形， 又 1F=F， 11， 平面 平面 又 面 平面 （ ）以 A 为坐标原点，直线 别为 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 a，则 B（ 0， 2， 0）， C（ ， ， 0）， 0， 0， a）， =（ ）， =（ ）， = ， 解：（ ） B=2， A（ 0， 0， 0）， 0， 2， 2）， C（ ， 0）， 0， 0， 2）， =（ ， 0）， =（ 0， 0， 2）， =（ 0， 2， 2）， 设 =（ x， y， z）是平面 法向量， 则 ，取 y=1，得 =（ ， 1， 0）， 设 是平面 法向量， 则 ，取 c=1，得 =（ ）， 设二面角 平面角为 ， 则 |= = = ， 第 16 页（共 19 页） 二面角 余弦值为 18已知各项均为正数的数列 前 n 项和为 量 =（ ）， =（ ， 4）（ n N*），且 （ ）求 通项公式 （ ）设 f（ n） = bn=f（ 2n+4），求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；平面向量数量积的运算 【分析】 （ ）通过 可知 + ，进而与 1= + 1+ （ n 2）作差、整理可知数列 公差为 2 的等差数列，进而计算可得结论； （ ）通过（ I）可知 b1=、 b2=，当 n 3 时 n 1+1，整理即得结论 【解答】 解：（ ） 向量 =（ ）， =（ ， 4）（ n N*），且 ， + ， 当 n 2 时， 1= + 1+ ， 两式相减得：（ an+1）（ 1 2） =0， 数列 各项均为正数， 当 n 2 时， 1=2，即数列 公差为 2 的等差数列， 又 1= + ，解得： ， +2（ n 1） =2n 1； （ ）依题意， b1=f（ 6） =f（ 3） =， b2=f（ 8） =f（ 4） =f（ 2） =f（ 1） =， 当 n 3 时， bn=f（ 2n+4） =f（ 2n 2+1） =2（ 2n 2+1） 1=2n 1+1， 故 n 3 时， +1+（ 22+1） +f（ 2n 1+1） =6+ +（ n 2） =2n+n， 综上可知 第 17 页（共 19 页） 19已知椭圆 C 的中心在原点，焦点 轴上，焦距为 2，离心率为 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若 P 是椭圆 C 上第一象限内的点， 内切圆的圆心为 I，半径为 求： （ i）点 P 的坐标； （ 线 方程 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简 单性质 【分析】 （ ）设椭圆 C 的方程为 + =1，（ a b 0），由焦距为 2，离心率为 ，列方程组解得 ， ，由此能求出椭圆 C 的方程 （ ）（ i）由 |4，得 |6，利用 面积能求出 P 点坐标 （ 求出直线 方程，设 I（ ），由点到直线的距离公式能求出直线 方程 【解答】 解：（ ）设椭圆 C 的方程为 + =1，（ a b 0）， 由题意得 ， 解得 ， ， 椭圆 C 的方程为 （ ）（ i） |4， 在 ， |6， 面积 = （ | r= ， 又 = ， ，由 ，得 ， P（ 1， ） （ P（ 1， ）， 1， 0）， 直线 方程为 = ， 3x 4y+3=0， 内切圆的半径为 ， 设