MathStudio61-古籍里的京房六十律

MathStudioForiPad（61）中国古籍里的音律计算（2）京房六十律2017年9月2日,本辑主要内容1.什么是京房六十律？2.后汉书律历志里关于京房六十律的记载3.五经算术卷下，关于京房六十律的记载4.京房六十律的生成方法，生成顺序5.MathStudio生成京房六十律的计算单按律数排序与按生成顺序排列分别计算（起始值177147、9分别计算）,什么是京房六十律？人们在掌握了七声音阶、十二律后，在音乐的发展过程中，越来越觉到有“转调”的必要了。由于三分损益法生律十一次后,不能回复到起始律上,即产生了十二律不能圆满地实现“周而复始,旋相为宫”的结果。自此开始了中国律学向着“平均律”理想追求的漫长的探索历程。汉代律学家京房(BC77BC37)，由于用三分损益法生成十二律的最后一步仲吕(F)依原法回不到黄钟(C)，就又继续损益生至六十律，使生成顺序是第五十三个的音律-色育接近于黄钟，基本上实现了“周而复始”的旋宫转调理论。这种定律法在演奏实践和乐器制造方面都有困难，因而无实用价值；它的价值在于理论上给人们指出了一种可能性：可以通过增加一个八度音程范围内的音律数，以极微小的音差来变换音律，实现“周而复始,旋相为宫”的结果。,后汉书律历志京房六十律生成规则以上生下皆三生二，以下生上皆三生四；阳下生阴，阴上生阳，终于仲吕而十二律毕矣；仲吕上生执始，执始下生去灭，上下相生，终于南事，六十律毕矣。,正常交替色育“违例”夷汗99437依行132582色育88388因88388177147/2,改为依行132582色育176776蕤宾“重上”姑洗139968应钟93312蕤宾124416大吕82944177147/2,改为蕤宾124416大吕165888,五经算术卷下“以上生下皆三生二，以下生上皆三生四”“上生不得过黄钟之浊，下生不得不及黄钟之清”（司马彪志序）“上生不得过9寸，下生不得减四寸五分”（甄鸾按）“阳下生阴，阴上生阳，始于黄钟，终于仲吕而十二律毕矣；仲吕上生执始，执始下生去灭，上下相生，终于南事，六十律毕矣。”,这里指出十二律的生成顺序的规律“隔八相生”,01.黄钟17714736林钟02.色育17677637谦待03.执始17476238去灭04.丙盛17241039安度05.分动17008940归嘉06.质未16780041否与07.大吕16588842夷则08.分否16365443解形09.凌阴16145244去南10.少云15928045分积11.太簇15746446南吕12.未知15713447白吕13.时息15534448结躬14.屈齐15325349归期15.随期15119050未卯16.形晋14915651夷汗17.夹钟14745652无射18.开时14547053闭掩,19.族嘉14351354邻齐20.孚南14158255期保21.姑洗13996856应钟22.南授13967457分乌23.变虞13808458迟内24.路时13622559未育25.形始13439260迟时26.依形13258202色育27.仲吕13107203执始28.南中12930804丙盛29.内负12756705分动30.物应12585006质未31.蕤宾12441607大吕32.南事124154不生最后生成的第32律33.盛变12274108分否34.离宫12181909凌阴35.制时11946010少云36.林钟11809811太簇,京房六十律名称表以律数为序根据后汉书历律志记录,37.谦待11785112未知38.去灭11650813时息39.安度11494014屈齐40.归嘉11339315随期41.否与11186716形晋42.夷则11059217夹钟43.解形10910318开时44.去南10763519族嘉45.分积10618720孚南46.南吕10497621姑洗47.白吕10475622南授48.结躬10356323变虞,49.归期10216924路时50.未卯10079425形始51.夷汗9943726依形52.无射9830427仲吕53.闭掩9698028南中54.邻齐9567529内负55.期保9438830物应56.应钟9331231蕤宾57.分乌9311632南事58.迟内9205633盛变59.未育9081734离宫60.迟时8959535制时,1黄钟25形始为下生；26依形60迟时为上生32南事停止生成34离宫应为121019：59未育908174/3=121019,后汉书历律志、五经算术记为121819,京房六十律生成顺序表根据后汉书历律志记录因为五音的生成顺序是：宫徵商羽角，后汉书历律志-京房六十律表里指明：“黄钟下生林钟，黄钟为宫太簇商林钟徵”，可知从黄钟始可依次生成林钟、太簇，即“a宫b商c徵”可顺次生成a-c-b，依此类推即得生成京房六十律的完整顺序链1黄钟36林钟11太簇46南吕21姑洗56应钟31蕤宾7大吕42夷则17夹钟52无射27仲吕3执始38去灭13时息48结躬23变虞58迟内33盛变8分否43解形18开时53闭掩28南中4丙盛39安度14屈齐49归期24路时59未育34离宫9凌阴44去南19族嘉54邻齐29内负5分动40归嘉15随期50未卯25形始60迟时35制时10少云45分积20孚南55期保30物应6质未41否与16形晋51夷汗26依形2色育37谦待12未知47白吕22南授57分乌32南事京房六十律的计算很有特色：1.把黄钟起始值由过去习用的81扩展到177147，大大提高了计算精确度2.六十律全部数据在同一个八度音程范围内3.在以筹算为计算工具的年代，完成如此大量多位、高精度的计算是难以想像的；如果没有坚定的意志、清晰的思维、高超的计算能力是不可能做到的。,京房六十律从名称表和生成顺序表能看出什么？1.连续5次生成5组十二律，嵌套组成六十律2.第组是基础十二律，名称和顺序与古十二律完全相同；第组是继生律，京房新创3.第组十二律，都由每组内按律数排序的第6律生成下一组首律，如仲吕上生执始，南中上生丙盛，内负上生分动，物应上生质未组略有变化，因为最后生成的南事律按律数排在第32位，生律中断，改变了后续的排序4.执始律是由仲吕生成的，相当于前述“清黄钟”，律数亦同为174762.675.黄钟/执始=执始/丙盛=丙盛/分动=分动/质未=1.01364邻组首律误差=(1-1.01364)/1.01364=-0.01346；邻组首律与黄钟渐行渐远6.色育与黄钟误差=(176776-177147)/177147=-0.002097.怎么把最接近黄钟177147的（色育）律找出来？继生的组多了，数据群密集了，总会找到更接近177147的数来；可以先找出近似132*或88*的律数；如找到26依形132582，则1325824/3=176776即色育律，符合“旋相为宫”的要求8.生成顺序的规律：若n是按律数排列的序数，由n1生成n2,则有下列关系：n132时n2=n1+352560时n2=n2-60,MathStudio京房六十律计算单按生成顺序排列黄钟起始值177147黄钟始十二律执始始十二律丙盛始十二律分动始十二律质未始十二律第53个生成的色育律176777,后汉书历律志和五经算术都只取整数，舍弃小数,“南事不生”，删除南事124156生成的165542,最后生成的南事，不生,MathStudio京房六十律计算单按律数顺序排列黄钟起始值177147第53个生成的色育律176777(176777-177147)/177147=-0.2%实现“周而复始,旋相为宫”,最后生成的南事，不生,京房六十律生成规则后汉书律历志三分损益法“其相生也皆三分而损益之”“上生不得过黄钟之清浊，下生不得及黄钟之数实”五经算术里说得更具体“以上生下皆三生二，以下生上皆三生四”“上生不得过黄钟之浊，下生不得不及黄钟之清”（司马彪志序）“上生不得过9寸，下生不得减四寸五分”（甄鸾按）,MathStudio京房六十律计算单按生成顺序排列黄钟起始值9（管长）,程序中的ifelseifend是按“上生不得过9寸，下生不得减四寸五分”的规则限定取值范围可一气呵成获得60律,“南事不生”，删除南事6.31生成的8.41,第53个生成的色育律8.98(8.98-9)/9=-0.2%,最后生成的南事，不生,MathStudio京房六十律计算单按律数顺序排列黄钟起始值9（管长）,第53个生成的色育律8.98(8.98-9)/9=-0.2%,最后生成的南事