2016年甘肃省高考数学二诊试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年甘肃省高考数学二诊试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 M=0， 2a， N=a， b，若 MN=2，则 M N=（ ） A 0， 2， 3 B 1， 2， 3 C 0， 1， 2 D 0， 1， 3 2复数 （ i 是虚数单位）的模等于（ ） A B 10 C D 5 3已知 等比数列， 关于 x 的方程 2 的两根，且（ a3+=2，则锐角 的值为（ ） A B C D 4已知 x， y 满足约束条 件 ，则 z= 2x+y 的最大值是（ ） A 1 B 2 C 5 D 1 5已知 = ，则 值为（ ） A B C D 6执行如图所示的程序框图，输出的 n 为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 7已知 外接圆半径为 1，圆心为 O，且 =0，则 面积为（ ） A 1+ B + C 1+ D 8已知数列 等差数列，公差 d= 2， 其前 n 项的和若 12，则 ） A 19 B 20 C 21 D 22 9若 0，且 P=3Q=（ 3， R= ，则 P， Q， R 的大小关系为（ ） 第 2 页（共 19 页） A R Q P B Q R P C P Q R D R P Q 10如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1图中粗线画出的是一几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A 64+24 64+36 48+36 48+241设函数 f（ x） = ，则使得 f（ 2x） f（ x 3）成立的 x 的取值范围是（ ） A（ 3， 1） B（ ， 3） （ 1， +） C（ 3， +） D（ ， 1） 12若函数 f（ x） = 4+x+2 在（ 0， 2上有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A B（ ， 2 C 1， 4） D 2， 8） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13甲、乙两名同学分 别报名参加足球、篮球、排球活动中的一项，则他们参加项目不同的概率是 _ 14在平面直角坐标系 ，以点（ 1， 0）为圆心，且与直线 x y 3=0 相切的圆的标准方程为 _ 15在直三棱柱 ， ， 0， ，则此三棱柱外接球的表面积为 _ 16已知点 A（ 4， 0），抛物线 C： 2y 的焦点为 F，射线 抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，则 | |_ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 17在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，向量 =（ 2）， =（ 21， 且 （ ）求锐角 A 的大小； （ ）如果 b=2， c=6， D，求 长 18 指大气中直径小于或等于 米的颗粒物，也可称为可入肺颗粒物，我国规定 数值在 0 50ug/空气质量一等，甲、乙两城市现参加全国 “空气质量优秀城市 ”评选，下表是 2011 至 2015 年甲乙两市空气质量一等天数的记录（单位：天）： 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 甲 86 77 92 72 78 乙 78 82 88 82 95 （ ）画出茎叶图表示这两组数据； 第 3 页（共 19 页） （ ）现要从中选出一个城市为 “空气质量优秀 城市 ”，你认为选谁更好？说明理由（不用计算）； （ ）若从甲、乙两市的 2013 至 2015 年这三年记录中各随机抽取一年的数据，求空气质量一等天数甲市比乙市多的概率 19如图，在四棱柱 ， ， ， ，侧棱 底面 E 是 一点，且 （ 1）求证： 平面 （ 2）求直线 平面 成角的正弦值 20以 2， 0）， 2， 0）为焦点的椭圆 C： + =1（ a b 0）经过点 A（ 2，3） （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过原点的直线 l 交椭圆 C 于 M、 N 两点， P 为椭圆 C 上的点，且与 M、 N 不关于坐标轴对称，设直线 斜率分别为 问： 乘积是否为定值？若是，求出该定值， 若不是，请说明理由 21已知函数 f（ x） =a R） （ ）求函数 f（ x）的图象在点（ 1， f（ 1）处的切线在 y 轴上的截距； （ ）对于任意的 0，记函数 f（ x）的图象在点（ f（ 处的切线在 y 轴上的截距为 g（ 求 g（ 最大值 请从下面所给的 22、 23、 24 三题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分 选修 4何证明选讲 22如图，在等边 ，点 D， E 分别在边 ，且 ： 2， ：3， 交于点 F （ ）证明： A， B， C， D 四点共圆； （ ）若 ，求 接圆的半径 第 4 页（共 19 页） 选修 4坐标与参数方程 23在直角坐标系 ，曲线 M 的参数方程为 ，（ 为参数）， 0， 若以该直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 N 的极坐标方程为 + ） = m（其中 m 为常数） （ ）求曲线 M 与曲线 N 的普通方程； （ ）若曲线 M 与曲线 N 有两个公共点，求 m 的取值范围 选修 4等式选讲 24（ ）求不等式 |2x 4|+|x+1| 5 解集； （ ）已知 a， b 为正数，若直线（ a 1） x+2y+6=0 与直线 2x+5=0 互相垂直，求证： 8 第 5 页（共 19 页） 2016 年甘肃省高考数学二诊试卷 （文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 M=0， 2a， N=a， b，若 MN=2，则 M N=（ ） A 0， 2， 3 B 1， 2， 3 C 0， 1， 2 D 0， 1， 3 【考点】 并集及其运算 【分析】 根据交集关系求出 a， b，即可得到结论 【解答】 解： M=0， 2a， N=a， b，若 MN=2， 2a=2，即 a=1， 则 N=1， b，则 b=2， 即 N=1， 2， 则 M N=0， 1， 2， 故选： C 2复数 （ i 是虚数单位）的模等于（ ） A B 10 C D 5 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 首先将复数化简为 a+形式，然后求模 【解答】 解： =1+ =3+i，故模为 ； 故选： A 3已知 等比数列， 关于 x 的方程 2 的两根，且（ a3+=2，则锐角 的值为（ ） A B C D 【考点】 数列与函数的综合；等比数列的性质 【分析】 由已知条件推导出 a3+a3a8= 2，由（ a3+2=2，能求出锐角 的值 【解答】 解： 等比数列， 关于 x 的方程 22=0 的两根， a3+a3a8= （ a3+2=2， 4 2 +6， 即 ，或 （舍）， 锐角 的值为 故选： C 第 6 页（共 19 页） 4已知 x， y 满足约束条件 ，则 z= 2x+y 的最大值是（ ） A 1 B 2 C 5 D 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 首先画出平面区域， z= 2x+y 的最大值就是 y=2x+z 在 y 轴的 截距的最大值 【解答】 解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分， 当直线 y=2x+z 经过 A 时使得 z 最大，由 得到 A（ 1， 1）， 所以 z 的最大值为 2 1+1= 1； 故选： A 5已知 = ，则 值为（ ） A B C D 【考点】 二倍角的正弦 【分析】 由条件利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得 值 【解答】 解： = ， +2） = 1 2 = 1 2 = ， 故选： C 6执行如图所示的程序框图，输出的 n 为（ ） 第 7 页（共 19 页） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序框图的运行过程，得出 S 2 时终止循环，写出输出 n 的值即可 【解答】 解：模拟程序框图的运行过程，如下； n=1， S=0， S 2， S=0+ ， n=2； S 2， S= + + ， n=3； S 2， S= + + + ， n=4； S 2，终止循环，输出 n=4 故选： C 7已知 外接圆半径为 1，圆心为 O，且 =0，则 面积为（ ） A 1+ B + C 1+ D 【考点】 向量在几何中的应用 【分析】 由条件得 两边平方计算 ，得出 而得出 别计算三个小三角形的面积即可 【解答】 解： 外接圆半径为 1，圆心为 O， B= = ， ，即 1+1+2 =2 ，即 0， 35， 第 8 页（共 19 页） S + = 故选 D 8已知数列 等差数列，公差 d= 2， 其前 n 项的和若 12，则 ） A 19 B 20 C 21 D 22 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解： 12， 10 （ 2） =12 （ 2），化为： 22， 则 1 故选： C 9若 0，且 P=3Q=（ 3， R= ，则 P， Q， R 的大小关系为（ ） A R Q P B Q R P C P Q R D R P Q 【考点】 三角函数线 【分析】 判断三个数的范围，即可比较大小 【解答】 解： 0， （ 0， 1）且 P=31， Q=（ 3 （ 0， 1）； R= （ 0， 1） （ 3 ， 可得： Q R P 故选： B 10如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1图中粗线画出的是一几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） 第 9 页（共 19 页） A 64+24 64+36 48+36 48+24考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是组合体：上面是圆锥、下面是正方体，由三视图求出几何元素的长度，由圆锥的表面积公式、矩形面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是圆锥、下面是正方体， 且圆锥的底面圆的半径是 4、高为 3，则母线长 =5， 正方体的棱长是 4， 该几何体的表面积 S=5 4 4+ 42 4 4+ 4 5 =64+36（ 故选： B 11设函数 f（ x） = ，则使得 f（ 2x） f（ x 3）成立的 x 的取值范围是（ ） A（ 3， 1） B（ ， 3） （ 1， +） C（ 3， +） D（ ， 1） 【考点】 函数单调性的性质 【分析】 求出 x 0 时 f（ x）的表达式，结合函数的单调性以及奇偶性，得到 |2x| |x 3|，解出即可 【解答】 解：当 x 0 时， f（ x） = =1+ ， x+时， f（ x） 1， f（ x）在（ 0， +）上是减函数， 又 f（ x）是偶函数， f（ x）在（ ， 0）上是增函数 f（ 2x） f（ x 3）， |2x| |x 3|， 即 46x+9， 解得： 3 x 1， 故选： A 12若函数 f（ x） = 4+x+2 在（ 0， 2上有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A B（ ， 2 C 1， 4） D 2， 8） 第 10 页（共 19 页） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 根据函数零点的定义，分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可求出a 的范围 【解答】 解： 函数 f（ x） = 4+x+2 在（ 0， 2上有两个零点， 4 在（ 0， 2上有两解， 设 g（ x） = 4， 则 g（ x） =2x ，得 x （ 0， 1）时， g（ x） 0， g（ x）单调递减， x （ 1， 2）时， g（ x） 0， g（ x）单调递增， 又 g（ 1） = 1， g（ 2） =1， 1 1， a 2， 故选： B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13甲、乙两名同学分别报名参加足球、篮球、排球活动中的一项，则他们参加项目不同的概率是 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 先求出基本事件总数，再求出他们参加项目不同包含的基本事件个数，由此能求出他们参加项目不同的概率 【解答】 解：甲、乙两名同学分别报名参加足球、篮球、排球活动中的一项， 基本事件总数 n=3 3=9， 他们参加项目不同包含的基本事件个数 m=3 2=6， 他们参加项目不同的概率 p= = 故答案为： 14 在平面直角坐标系 ，以点（ 1， 0）为圆心，且与直线 x y 3=0 相切的圆的标准方程为 （ x 1） 2+ 【考点】 圆的标准方程 【分析】 由条件利用点到直线的距离公式求得半径，可得 要求的圆的标准方程 【解答】 解：由题意可得圆心为点（ 1， 0），半径为 r= = ， 要求的圆的标准方程为 （ x 1） 2+， 故答案为：（ x 1） 2+ 15在直三棱柱 ， ， 0， ，则此三棱柱外接球的表面积为 20 第 11 页（共 19 页） 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 根据题意，可将棱柱 成长方体，长方体的对角线即为球的直径，从而可求球的表面积 【解答】 解： 三棱柱 侧棱垂直于底面， ， 0， ， 可将棱柱 成长方体，长方体的对角线 =2 ，即为球的直径， 球的半径为 ， 球的表面积为 4 （ ） 2=20， 故答案为： 20 16已知点 A（ 4， 0），抛物线 C： 2y 的焦点为 F，射线 抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，则 | | 3： 5 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 如图所示，过点 M 作准线的垂线，设垂足为 P，准线 斜率为 利用 | |可得出 【解答】 解：如图所示，抛物线 C： 2y 的焦点为 F（ 3， 0）， 过点 M 作准线的垂线，设垂足为 P，准线 斜率为 利用抛物线的定义可得： | | | |3： 5 故答案为： 3： 5 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，向量 =（ 2）， =（ 21， 且 （ ）求锐角 A 的大小； （ ）如果 b=2， c=6， D，求 长 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；平面向量 数量积的运算 【分析】 （ ）由两向量垂直得到 ，由此得到 A （ ）由余弦定理得到 a，再由三角形面积公式得到 长 【解答】 解：（ ） 向量 =（ 2）， =（ 2 1， 且 ， 且 =221） + ， ， A 为锐角， A= 第 12 页（共 19 页） （ ）在 ，由余弦定理得： a2=b2+28， a=2 ， 面积为 S= a 18 指大气中直径小于或等于 米的颗粒物，也可称为可入肺颗粒物，我国 规定 数值在 0 50ug/空气质量一等，甲、乙两城市现参加全国 “空气质量优秀城市 ”评选，下表是 2011 至 2015 年甲乙两市空气质量一等天数的记录（单位：天）： 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 甲 86 77 92 72 78 乙 78 82 88 82 95 （ ）画出茎叶图表示这两组数据； （ ）现要从中选出一个城市为 “空气质量优秀城市 ”，你认为选谁更好？说明理由（不用计算）； （ ）若从甲、乙两市的 2013 至 2015 年这三年记录中各随机抽取一年的数据， 求空气质量一等天数甲市比乙市多的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图 【分析】 （ ）十位为茎，个位数为叶，完成茎叶图， （ ）由茎叶图可以直接判断， （ ）甲乙抽取的数据共有 9 种情况，其中其中空气质量一等天数甲市比乙市多的有 2 种情况，根据概率公式计算即可 【解答】 解：（ ）茎叶图如图所示； （ ）选乙好，因为乙空气质量一等天数的平均值高， （ ）甲乙抽取的数据共有 9 种情况，（ 92， 88），（ 92， 82），（ 92， 95），（ 72， 88），（ 72，82）， （ 72， 95），（ 78， 88），（ 78， 82），（ 78， 95）， 其中空气质量一等天数甲市比乙市多的有 2 种情况：（ 92， 85），（ 92， 82）， 故空气质量一等天数甲市比乙市多的概率 P= 第 13 页（共 19 页） 19如图，在四棱柱 ， ， ， ，侧 棱 底面 E 是 一点，且 （ 1）求证： 平面 （ 2）求直线 平面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）连结 用 出 ，又 ，故而 是 平面 （ 2）过 F，连结 可证明 平面 是 直线 平面 成的角，求出 可求出线面角的正弦值 【解答】 证明：（ 1）连结 ， ， 又 面 面 平面 （ 2）过 G，则四边形 矩形， 1D=2 ， 1， ， 过 F，连结 平面 面 11， 面 面 平面 直线 平面 成的角 第 14 页（共 19 页） S = = ， = =2 = 20以 2， 0）， 2， 0）为焦点的椭圆 C： + =1（ a b 0）经过点 A（ 2，3） （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过原点的直线 l 交椭圆 C 于 M、 N 两点， P 为椭圆 C 上的点，且与 M、 N 不关于坐标轴对称，设直线 斜率分别为 问： 乘积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由题意可得 c=2，即 ，将 A（ 2， 3）代入椭圆方程，解方程可得 a， b，进而得到椭圆方程； （ 2）由题意可设 M（ m， n）， N（ m， n）， P（ s， t），代入椭圆方程，作差，再由直线的斜率公式计算即可得到所求定值 【解答】 解：（ 1）由题意可得 c=2，即 ， 将 A（ 2， 3）代入椭圆方程，可得 + =1， 解得 a=4， b=2 ， 即有椭圆的方程为 + =1； （ 2）由题意可设 M（ m， n）， N（ m， n）， P（ s， t）， 可得 + =1， + =1， 相减可得 = ， 第 15 页（共 19 页） 则 k1 = = 即有 乘积为定值 21已知函数 f（ x） =a R） （ ）求函数 f（ x）的图象在点（ 1， f（ 1）处的切线在 y 轴上的截距； （ ）对于任意的 0，记函数 f（ x）的图象在点（ f（ 处的切线在 y 轴上的截距为 g（ 求 g（ 最大值 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出 f（ x）的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，可得所求切线的方程，令 x=0，即可得到所求 y 轴上的截距； （ ）求出 f（ x）的导 数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程，可令x=0，可得 y 轴上的截距，求得 g（ 导数和单调区间，即可得到所求最大值 【解答】 解：（ ）函数 f（ x） =导数为 f（ x） =2x+a， 可得函数 f（ x）的图象在点（ 1， f（ 1）处的切线斜率为 1+a， 切点为（ 1， a），即有切线的方程为 y a=（ 1+a）（ x 1）， 令 x=0，可得 y=a 1 a= 1， 在点（ 1， f（ 1）处的切线在 y 轴上的截距为 1； （ ） f（ x）的导数为 f（ x） =2x+a， 可得函 数 f（ x）的图象在点（ f（ 处的切线斜率为 2x0+a， 即有切线的方程为 y（ =（ 2x0+a）（ x 令 x=0，可得 y=2x0+a） = 设 g（ = g（ =（ 2 2 2）， 当 （ 0， e ）时， g（ 0， g（ 增； 当 （ e ， +）时， g（ 0， g（ 减 可得 g（ g（ e ） = e 3 请从下面所给的 22、 23、 24 三题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分 选修 4何证明选讲 22如图，在等边 ，点 D， E 分别在边 ，且 ： 2， ：3， 交于点 F （ ）证明： A， B， C， D 四点共圆； （ ）若 ，求 接圆的半径 第 16 页（共 19 页） 【考点】 圆內接多边形的性质与判定 【分析】 （ ）证明： 得 ，即可证明A， B， C， D 四点共圆； （ ）取 中点 G，连接 明点 G 是 接圆的圆心，且圆 G 的半径为 ，利用 A， E， F， D 四点共圆，即可求 接圆的半径 【解答】 （ ）证明： B 又 C， E 又 C， ， A， E， F， D 四点共圆 （ ）解：如图所示，取 中点 G，连接 E= E= ， 0， 正三角形， G=，即 E=， 所以点 G 是 接圆的圆心，且圆 G 的半径为 由于 A， E， F， D 四点共圆，即 A， E， F， D 四点共圆 G，其半径为 选修 4坐标与参数方程 第 17 页（共 19 页） 23在直角坐标系 ，曲线 M 的参数方程为 ，（ 为参数）， 0， 若以该直角坐标系的原点 O