2016年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题含答案解析

1 2016 年福建省高中数学竞赛 暨 2016 年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案 （考试时间： 2016 年 5 月 22 日上午 9： 00 11： 30，满分 160 分） 一、填空题（共 10 小题，每小题 6 分，满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上） 1若函数 ( ) 3 c o s ( ) s i n ( )63f x x x （ 0 ）的最小正周期为 ，则 ()， 上的最大值为 。 【答案】 23 【解答】 ( ) 3 c o s ( ) s i n ( ) 3 c o s ( ) s i n ( )6 3 6 6 2f x x x x x 3 c o s ( ) c o s ( ) 4 c o s ( )6 6 6x x x ，且 () 。 2 ， ( ) 4 c o s ( 2 )6f x x 。 又 02x ，时， 726 6 6x ， 266x ，即 0x 时， ()2，上取最大值 23。 2已知集合 2 3 2 0A x x x ， 13B x ， 若 ，则实数 a 的取值范围为 。 【答案】 1()2 ，【解答】 12A x x 。由 13 ，得 3103ax 。 0a 时， 3B x x。满足 。 0a 时， 由 3103ax ，得 1(3 ) 03x ， 133B x x x a 或。满足 。 0a 时， 由 3103ax ，得 1(3 ) 03x ， 133B x 。由满足 ，得 131a， 1 02 a 。 2 综合得， 12a。 a 的取值范围为 1()2 ，。 3 函数 22( ) l n 2f x x x x 零点的个数为 。 【答案】 1 【解答】 ( ) 2 l n 2 ( 2 l n 3 )f x x x x x x x 。 320 时， ( ) 0 ； 32 时， ( ) 0 。 ()2(0 )e， 上为减函数，在区间 32()e ， 上为增函数。 又 320 时， 31l n 1 1 022x ， 2( ) ( l n 1 ) 2 0f x x x ； 3 32 3( ) ( 1 ) 2 02f e e ， 2( ) 2 2 0f e e 。 函数 ()。 或： 作图考 察函数 与22 1y x图像交点的个数。 4 如图， 在正方体1 1 1 1A B C D A B C D中，二面角1B A C D的 大小 为 。 【答案】 120 【解答】 设正方体棱长为 1。作1C于 E ，连结 由正方体的性质知，11A D C A B C 。 1C， 为二面角1B A C D的平面角，且 23B E D E， 2。 22 2133c o 。 二面角1B A C D的 大小为 120 。 或： 设 于点 O ， 由 60 ，得 120 。 C 1B 1D 1B 1D 1（第 4 题） 3 5 在 空 间 四 边 形 ， 已知 2， 3， 4， 5，则D 。 【答案】 7 【解答】 以 基底向量。则 A D A B B C C D 2 2()A D A B B C C D u u ur u u u 即 2 2 2 2 2 2 2A D A B B C C D A B B C A B C D B C C D u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u 2 5 4 9 1 6 2 ( )A B B C A B C D B C C D u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 2A B B C A B C D B C C D u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ( ) ( )A C B D A B B C B C C D u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u 9 7A B B C A B C D B C C D B C B C u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u 6已知直线 l 过椭圆 C ： 2 2 12x y的左焦点 F 且交椭圆 C 于 A 、 B 两点。 O 为坐标原点，若 B ，则点 O 到直线 距离为 。 【答案】 63【解答】 ( 1 0)F， 。显然 x 轴不符合要求。设直线 程为 1x 。 由 22112x y ，得 22( 2 ) 2 1 0t y 的判别式大于 0。设11()A x y，22()B x y，则12 2 2 2t，12 2 12yy t 。 由 B ，得 221 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 22( 1 ) 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) 1 1 022x y y t y t y y y t y y t y y 。 2 2 2( 1 ) 2 2 0t t t ， 2 12t 。 点 O 到直线 距离为21 1 6311 12t 。 B 7 已知 ，若关于 x 的方程 2 3204x zx i （ i 为虚数单位） 有 实数根，则复数 z 的模 z 的最小值为 。 【答案】 1 【解答】 设 z a （ a ， ），0方程 2 3204x zx i 的一个实数根。 则 200 32 ( ) 04x a b i x i 。 200032042 1 0x a 。 由得，0 12x b，代入，得21 1 3204 2 4 ， 23 4 1 0b ， 2314ba b 。 22 2 2 2 2 223 1 2 5 1 3 5 3( ) 14 1 6 1 6 8 8 8bz a b b ，当且仅当 55b 时等号成立。 z 的最小值为 1。 （ 255a， 55b或 255a ， 55b，即 2 5 5()55 ）。 8将 16 本相同的书 全部 分给 4 个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为 。（用数字作答） 【答案 】 216 【解答】 将 16 分解成 4 个互不相同的正整数的和有 9 种不同的方式 ： 1 6 1 2 3 1 0 ， 1 6 1 2 4 9 ， 1 6 1 2 5 8 ， 1 6 1 2 6 7 ， 1 6 1 3 4 8 ，1 6 1 3 5 7 ， 1 6 1 4 5 6 ， 1 6 2 3 4 7 ， 1 6 2 3 5 6 。 符合条件的不同分配方法有 449 216A 种。 5 9 () 的函数，若 (0) 1008f ，且对任意 ，满足 ( 4 ) ( ) 2 ( 1 )f x f x x ，( 1 2 ) ( ) 6 ( 5 )f x f x x ，则 (2016)2016f 。 【答案】 504 【解答】 对任意 ， ( 4 ) ( ) 2 ( 1 )f x f x x ， ( 1 2 ) ( ) ( 1 2 ) ( 8 ) ( 8 ) ( 4 ) ( 4 ) ( )f x f x f x f x f x f x f x f x 2 ( 8 ) 1 2 ( 4 ) 1 2 ( 1 ) 6 3 0 6 ( 5 )x x x x x 又 ( 1 2 ) ( ) 6 ( 5 )f x f x x ， ( 1 2 ) ( ) 6 ( 5 )f x f x x 。 ( 2 0 1 6 ) ( 2 0 1 6 ) ( 2 0 0 4 ) ( 2 0 0 4 ) ( 1 9 9 2 ) ( 1 2 ) ( 0 ) ( 0 )f f f f f f f f L ( 2 0 0 9 5 ) 1 6 86 2 0 0 9 6 1 9 9 7 6 5 1 0 0 8 6 1 0 0 8 1 0 0 8 1 0 0 82 L。 ( 2 0 1 6 ) 1 0 0 8 5042 0 1 6 2f 。 10当 x ， y ， z 为正数时，2 2 24xz y z的最大值为 。 【答案】 172【解答】 221 6 1 621 7 1 7x z x z，当且仅当 417等号成立， 221121 7 1 7y z y z ，当且仅当 117等号成立。 2 2 2 2 2 2 21 6 1 1 6 1 2( ) ( ) 2 2 ( 4 )1 7 1 6 1 7 1 7 17x y z x z y z x z y z x z y z 。 2 2 24 1 72x z y zx y z ，当且仅当 417 117即 4 1 1 7x y z ： ： ： ： 时等号成立。 2 2 24xz y z的最大值为 172 。 注： 本题利用待定系数法。将 2z 拆成两项 2z 和 2(1 )z 。由 222x z ，22(1 ) 2 1y z y z ，以及 24121 ，得 1617。由此得到本题的解法。 6 二、解答题（共 5 小题，每小题 20 分，满分 100 分。要求写出解题过程） 11已知数列 n 项和 22（ *）。 （ 1）求 （ 2）设 11( 1 )n nb a n n ， n 项和， 求 正整数 k ，使得对任 意 *均有 （ 3）设 11(1 )(1 ) ， 数列 前 n 项和 ， 若对 任意 *均有 成立，求 的最小值。 【解答】 （ 1）由 22，得1122。两式相减，得1122n n na a a。 1 2，数列 比 2q 。 由又1122，得1122，1 2a。 2 5 分 （ 2） 1 1 1 ( 1 ) 12 ( 1 ) ( 1 ) 2n nn n n n n 。 由计算可知，1 0b，2 0b ，3 0b，4 0b 。 当 5n 时，由11( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) 02 2 2n n nn n n n n n ， 得当 5n 时，数列 ( 1)2为递减数列。于是， 5n 时，5( 1 ) 5 ( 5 1 ) 122 。 5n 时， 1 ( 1 ) 10( 1 ) 2n 。 因此，1 2 3 4T T T T ，4 5 6T T T L。 对任意 *均有4 故 4k 。 10 分 （ 3） 111112 1 12 ( )( 1 ) ( 1 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) 2 1 2 1n n n 15 分 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 2 22 ( ) ( ) ( ) 2 ( )3 5 5 9 2 1 2 1 3 2 1 3 2 1n n n n L。 对 任意 *均有成立， 23。 的最小值为 23。 20 分 7 12已知 2( ) l n ( )f x a x b x （ 0a ）。 （ 1）若曲线 ()y f x 在点 (1 (1)f， 处的切线方程为 ，求 a ， b 的值； （ 2）若 2()f x x x恒成立，求 最大值。 【解答】 （ 1） ( ) 2af x xa x b 。 依题意，有 (1 ) 2 1(1 ) l n ( ) 1 1a b 。解得， 1a ， 2b 。 1a ， 2b 。 5 分 （ 2）设 2( ) ( ) ( )g x f x x x ，则 ( ) l n ( )g x a x b x ， ( ) 0。 0a 时， () ， 取0n ( ) 1ba x b a ，得 10b 。 则0 0 0 0( ) l n ( ) l n ( ) ( ) ( 1 ) 1 0b b bg x a x b x a x b a a a 与 ( ) 0矛盾。 0a 时， ( ) 0不恒成立，即 0a 不符合要求。 10 分 0a 时， ()( ) 1 x b a x b （ 0ax b ）。 当 b a 时， ( ) 0 ；当 时， ( ) 0 。 ()b a ，上为增函数，在区间 ()，上为减函数。 ()，上有最大值，最大值为 () 由 ( ) 0，得 ( ) l n 0a b a 。 a a a 。 15 分 22a a a 。 设 22( ) l nh a a a a ，则 ( ) 2 ( 2 l n ) ( 1 2 l n )h a a a a a a a 。 0 时， ( ) 0 ； 时， ( ) 0 。 ()区间 (0 )e， 上为增函数，在区间 ()e ， 上为减函数。 8 () 最大值 为 ()22e e 。 当 ，2， 最大值为2e。 综合，得， 最大值为2e。 20 分 9 13如图， O 为 的外接圆， O 的切线，且 D ， E 是直线 的另一交点。点 F 在 O 上，且 C ， G 是 延长线与切线 交点。求证：D 。 【解答】 在 和 中，由 O 的切线知， C A 。又 D 。 A D B C A B 。 5 分 A 、 B 、 E 、 C 四点共圆， 180C A B C E B 。 180A D E D E C 。 A 。 10 分 又 C ， F 。 由 O 的两条平行弦知 B 。 E ， B 。 15 分 又 2G A G F G C， 2D A D B D E。 22A ， D 。 20 分 13题） 10 14 如图，1F、2 ： 2 2 14x y的 左、右焦点 ， 动点00()P x y，（0 1y ） 在 双曲线 C 上 的 右支上 。 设12角平分线交 x 轴 于点 ( 0)，交 y 轴于点 N 。 （ 1） 求 m 的取值范围； （ 2） 设 过1F， N 的直线 l 交双曲线 C 于点 D ， 求2积的最 大 值。 【解答】 （ 1） 依题意 ，1( 5 0)F ，2( 5 0)F ，。 直线1 5 )5；直线2 5 )5。 即直线1 0( 5 ) 5 0y x x y y ； 直线2 0( 5 ) 5 0y x x y y 。 由点 ( 0)在12平分线上，得 0 0 0 02 2 2 20 0 0 055( 5 ) ( 5 )y m y y m yy x y x 。 由 55m ，0 1y ， 以及 22001 14， 得0 22x 。 2 2 2 20 0 0 0 055( 5 ) 2 5 4 ( 2 )42y x x x x ， 2 2 20 0 05( 5 ) ( 2 )2y x x 。 0055552222。04m x 。 5 分 结合0 22x ， 得0402x 。 m 的取值范围为 02， 。 10 分 （ 2） 由（ 1）知，直线 程为00000 4()4。 令 0x ，得02004 14yy 。故，点 N 坐标为01(0 )y， 。 0010 ( )15 0 5 。 （第 14题） 11 直线 l 方程为01 ( 5 )5 。 由 0221 ( 5 )514y ， 消 x 得 2200( 5 4 ) 1 0 1 0y y y y 的判别式 2 2 20 0 01 0 0 4 ( 5 4 ) 8 0 1 6 0y y y 。 设11()D x y，22()E x y，则012 201054y ，12 20154yy y 。 15 分 2022 01 2 1 2 1 2 22 200 04 5 110 1( ) 4 ( ) 45 4 5 4 54y y y y y 。 由0 1y ，得012 2010 054y ，12 201 054yy y 。 1 0y，2 0y ， 2201 2 1 2 204 5 111 252 2 5 4F D F y 。 设 2054，则 1t ， 2225 5 1 1 1 14 5 4 5 4 5 5 ( )1 0 2 0F D E tS t t t t 。 1t ，即点 P 为 (2 2 1)P ， 时，2积取最大值 4 30 。 2积 的 最大值为 4 30 。 20 分 12 15 求满足下列条件的最小正整数 n ：若将集合 1 2 3L， ， ， ，任意 划分为 63 个两两不相交的子集（它们 非空且 并集为集合