阅读与思考圆周率π

,圆周率,四川师范大学附属昆明实验学校（天娇校区）何梦柔,圆周率的定义：,圆周率：一般以来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数。它定义为圆形之周长与直径之比。它也等于圆形之面积与半径平方之比，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。在分析学上，可以严格地定义为满足sin(x)=0的最小正实数x。,历史发展：,一块产于公元前1900年的古巴比伦石匾清楚地记载了圆周率=25/8=3.125。同一时期的古埃及文物也表明圆周率等于分数16/9的平方，约等于3.16。埃及人似乎在更早的时候就知道圆周率了。,实验时期：,英国作家JohnTaylor(17811864)在其名著金字塔中指出，造于公元前2500年左右的金字塔和圆周率有关。例如，金字塔的周长和高度之比等于圆周率的两倍，正好等于圆的周长和半径之比。公元前800至600年成文的古印度宗教巨著百道梵书（SatapathaBrahmana）显示了圆周率等于分数339/108,约等于3.139。3,实验时期：,历史发展：,古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突出。古希腊大数学家阿基米德(公元前287212年)开创了人类历史上通过数学算法计算圆周率近似值的先河。阿基米德用到了迭代算法和两侧数值逼近的概念，称得上是“计算数学”的鼻祖。中国古算书周髀算经（约公元前2世纪）的中有“径一而周三”的记载，意即取=3。4汉朝时，张衡得出的平方除以16等于5/8，即等于10的开方（约为3.162）。这个值不太准确，但它简单易理解。,几何法时期：,历史发展：,公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，他先从圆内接正六边形，逐次分割一直算到圆内接正192边形。他说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”，包含了求极限的思想。后来发现3.14这个数值还是偏小。于是继续割圆到1536边形，求出3072边形的面积，得到令自己满意的圆周率3927/1250=3.1416。公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的值，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。在之后的800年里祖冲之计算出的值都是最准确的。,历史发展：,几何法时期：,分析法时期：,这一时期人们开始利用无穷级数或无穷连乘积求，摆脱可割圆术的繁复计算。无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值表达式纷纷出现，使得值计算精度迅速增加。鲁道夫范科伊伦（约1600年）计算出的小数点后首35位。斯洛文尼亚数学家JurijVega于1789年得出的小数点后首140位，其中只有137位是正确的。这个世界纪录维持了五十年。他利用了JohnMachin于1706年提出的数式。但是上述的方法都不能快速算出。第一个快速算法由英国数学家梅钦提出，1706年梅钦计算值突破100位小数大关，他利用了如下公式：6,历史发展：,计算机时代：,1949年，美国制造的世上首部电脑ENIAC（ElectronicNumericalInteratorandComputer）在亚伯丁试验场启用了。次年，里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑，计算出的2037个小数位。这部电脑只用了70小时就完成了这项工作，扣除插入打孔卡所花的时间，等于平均两分钟算出一位数。五年后，NORC（海军兵器研究计算机）只用了13分钟，就算出的3089个小数位。科技不断进步，电脑的运算速度也越来越快，在60年代至70年代，随着美、英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争，的值也越来越精确。在1973年，JeanGuilloud和M.Bouyer发现了的第一百万个小数位。,历史发展：,在各领域的用途：,几何圆柱底面积：r*r底面周长：2r、d侧面积：dh、2rh表面积：2r*r+dh、2rh体积：sh、r*rh（底面积高）圆锥底面积：r*r底面周长：2r、d体积：1/3sh、r*rh扇形面积公式：n/360*r（其中n表示该扇形对应的角度）弧长公式：n/180*r（其中n表示该扇形对应的角度）圆面积：r*r周长：2r、d圆环面积：（R*R-r*r）周长：2r、d,代数,是个无理数，即不可表达成两个整数之比，是由JohannHeinrichLambert于1761年证明的。1882年，FerdinandLindemann更证明了是超越数，即不可能是任何有理数多项式的根。圆周率的超越性否定了化圆为方这古老尺规作图问题的可能性，因所有尺规作图只能得出代数数，而超越数不是代数数。,数学分析特斯林近似公式：欧拉恒等式：的连分数表示：,概率论,设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板，现在随意抛一支长度比木纹之间距离小的针，求针和其中一条木纹相交的概率。这就是布丰投针问题。1777年，布丰自己解决了这个问题这个概率值是1/。,趣闻事件：,历史上最马拉松式的手工值计算，其一是德国的LudolphVanCeulen，他几乎耗尽了一生的时间，计算到圆的内接正262边形，于1609年得到了圆周率的35位精度值，以至于圆周率在德国被称为Ludolph数；,祖冲之和圆周率,祖冲之是中国古代伟大的数学家和天文学家。祖冲之于公元429年出生在建康（今江苏南京），他家历代都对天文历法有研究，他从小就接触数学和天文知识，公元464年，祖冲之35岁时，他开始计算圆周率。在中国古代，人们从实践中认识到，圆的周长是“圆径一而周三有余”，也就是圆的周长是圆直径的三倍多，但是多多少，意见不一。,祖冲之不但精通天文、历法，他在数学方面的贡献，特别对“圆周率”研究的杰出成就，更是超越前代，在世界数学史上放射着异彩。圆周率的应用很广泛。尤其是在天文、历法方面，凡牵涉到圆的一切问题，都要使用圆周率来推算。我国古代劳动人民在生产实践中求得的最早的圆周率值是“3”，后来，随着天文、数学等科学的发展，研究圆周率的人越来越多了。西汉末年的刘歆首先抛弃“3”这个不精确的圆周率值，他曾经采用过的圆周率是3.547。东汉的张衡也算出圆周率为=3.1622。这些数值比起=3当然有了很大的进步，但是还远远不够精密。到了三国末年，数学家刘徽创造了用割圆术来求圆周率的方法，圆周率的研究才获得了重大的进展。,祖冲之和圆周率,圆周率符号,一个是355/113（约等于3.1415927），这一个数比较精密，祖冲之称它为“密率”。另一个是22/7（约等于3.14），这一个数比较粗疏，所以祖冲之称它为“约率”。祖冲之求得“密率”，并且明确地用上、下两限来说明圆周率这个数值的范围。在一千五百年前，他有这样的成就和认识，真值得我们钦佩。,趣味记忆圆周率,趣味记忆圆周率100位先设想一个酒徒在山寺狂饮，醉死山沟的情景：山巅一寺一壶酒（3.14159），儿乐（26），我三壶不够吃（535897），酒撒了（932）！闪不死（384），遛了遛（626），死山扇把扇（43383），儿弃沟（279）。前30位接着设想“死”者父亲得知儿“死”后的心情：吾疼儿（502），白白死已够凄矣（8841971），留给山沟沟（69399）。15位再设想“死”者父亲到山沟寻找儿子的情景：山拐我腰痛（37510），我怕你冻久（58209），凄事久思思（74944）。15位然后是父亲在山沟里把儿子找到，并把他救活。儿子迷途知返的情景：吾救儿（592），山洞拐（307），不宜留（816）。四邻乐（406），儿不乐（286），儿疼爸久久（20899）。爸乐儿不懂（862