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文档简介

基本不等式的证明,无锡辅仁高中魏民,1,问题情境1,对任意实数x、y，有恒成立，即.,探究：1.分别用代替上面不等式中的x、y，会得到什么式子？,2.对上述实数a、b，须有何限制条件？,3.上述不等关系中，何时取到“=”？,2,问题情境2,如图,AB为半圆的直径,C为圆周上一动点,H为垂足.设AH=a,HB=b,半弦CH不大于半径CO,把称为a,b的算术平均数，,把称为a,b的几何平均数.,探究：1试指出图中哪些线段的长度分别等于a,b的算术平均数和几何平均数？,2能否比较出两者的大小关系？,3,（二）发现基本不等式,数：,形：半弦不大于半径,4,（三）构建基本不等式,如果，那么（当且仅当a=b时取“=”）.,这个不等式称为基本不等式.,刚才，我们从数和形两个角度找到也证明了基本不等式.那么,这个基本不等式还有其他哪些证明方法呢?,5,（四）基本不等式的证明（比较法）,证明不等式本质上就是比较大小，那么比较大小最常用的方法是什么呢？,比较法，作差(或作商),6,（三）基本不等式的证明（比较法）,说明：比较法证明不等式的步骤：作差（或作商），变形：通分、因式分解、配方等，判断差式的符号，结论.,(当且仅当a=b时取“=”).,7,基本不等式的证明（分析法）,求证:,刚才在做差后的配方变形是不少同学没有想到的，确实有些不等式的证明用比较法还是很困难的例如,请看,8,基本不等式的证明（分析法）,要证，,只要证，,只要证，,只要证，,因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立,只要证.,当且仅当a=b时取“=”.,9,基本不等式的证明（分析法）,要证,只要证,只要证,只要证.,因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立,当且仅当a=b时取“=”.,10,基本不等式的证明（分析法）,11,基本不等式的证明（分析法）,不过，有的同学觉得还是习惯于传统的从已知条件出发推导出要证的结论.,12,基本不等式的证明（综合法）,(当且仅当a=b时取“=”).,证明：,综合法：从已知或事实出发，根据不等式的性质推导出要证的不等式.,13,基本不等式的证明（综合法）,分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，易于发现思路.综合法的优点是易于表述，条理清楚，形式简洁.证明不等式时常常用分析法寻找解题思路，再用综合法写出证明过程,14,（五）基本不等式的简单应用,如果，那么（当且仅当a=b时取“=”）.,这个不等式称为基本不等式.,基本不等式的变式：,15,（五）基本不等式的简单应用,例证明下列不等式（1）(a0)；,思考1：第（1）题若将a0改为a0)；,(a1).,思考2：第（2）题若将a1改为a1，求的取值范围.,18,课堂小结,在应用基本不等式时，要注意哪些问题?,不等式的证明有哪几种常用的方法呢？,基本不等式成立的条件是a0，b0，及当且仅当a=b时等号成立,比较法，分析法，综合法,19,课
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