江苏省2020高考数学一轮复习 突破140必备 专题04 函数极值点与极值问题学案

专题04 函数极值点与极值问题1、 函数极值及极值点的定义一般的，函数在点处及附近有定义，若果对于附近所有点都满足，则是函数的极大值，叫做函数的极大值点；若果对于附近所有点都满足，则是函数的极小值，叫做函数的极小值点；2、 函数极值及极值点的求解求函数的导函数，令解得，判断导函数在处两侧的符号，若是异号，则是函数的极值点，也就是函数的极值。若在两侧的符号满足先正后负，则是函数的极大值点，是极大值；若在两侧的符号满足先负后正，则是函数的极小值点，是极小值；总结：通过极值点的定义我们可以知道其实极值点也是零点的一种，它只不过是导函数的零点。但极值点与导函数的零点又有区别，导函数解得的是零点，但不一定是极值点，因为极值点还要满足第二个条件即处两侧的符号要改变。例如，解得，但是左右两侧，符号不改变，故不是极值点，积是单调增的。因此，我们在求解与极值点有关的试题时，可以先将极值点简单的看成导函数等于零的点，但是求出的导函数的零点要检验是不是极值点还要看导函数的符号有没有改变，有两种情况下导函数的零点不是极值点，一是函数区间的端点，因为区间的左端点只有右侧没有左侧，区间的右端点没有右侧只有左侧，就不可能满足左右两侧导函数的符号改变，二是满足导函数等于零的点，但是该点左右两侧导函数符号相同，比如刚刚举例的，我们把这样的点称为重根。即极值点可以看成导函数等于零的点，但这个点不能是端点，不能是重根，端点很容易看得出来，重根只能通过验证该点左右两侧导函数的符号去说明。 3、 例题讲解例1、（2020淮安高三一模20）已知函数，其中，为自然对数的底数（3）讨论函数极值点的个数解：由题意，可得,所以只有一个极值点或有三个极值点 令，（为什么只有一个极值点或有三个极值点？。令的解有可能是一个、两个、三个，一个零点说明是单调增的，三个零点说明是先增后减，的极大值大于零，极小值小于零，三个零点都是的极值点。两个零点说明是先增后减，若极大值大于零，则极小值就要等于零，那么极小值点也是的零点，但它不是的极值点，因为左右两侧都是大于零。若极大值等于零，则极小值就要小于零，那么极大值点也是的零点，但它不是的极值点，因为左右两侧都是小于零。不管是哪一种情况，的极大值极小值之积大于等于零）同理， 所以，化简得，所以，即，所以所以，当时，有且仅有一个极值点； 若有三个极值点，所以函数的图象必穿过x轴且穿过三次，即上述中的，同理可得；综上所述，当时，有且仅有一个极值点，当时，有三个极值点 例2、（2020苏锡常镇一模19）设函数（为实常数，是自然对数的底数）.（2）若函数在区间内存在三个极值点，求的取值范围.设在内的两个交点横坐标分别为，则有240200000递减极小值递增极大值递减极小值递增当时，则单调递减当时，则单调递增当时，则单调递减当时，则单调递增在区间内存在三个极值点，为极小值，为极大值即函数在区间内存在三个极值点的的取值范围为注：若将此题改为讨论在区间内极值点的个数，答案是什么？当时，在区间内有一个极值点； 当时，在区间内有三个极值点；当时，在区间内有两个极值点；若将区间右端点改为闭区间，答案不变（因为端点不可能是极值点）例3、（扬州市2020届高三上学期期中）已知函数。（2）是否存在负整数，使函数的极大值为正值？若存在，求出所有负整数的值；若不存在，请说明理由；（3）设0，求证：函数既有极大值，又有极小值。解：（2）若，当时，恒成立，函数在上无极值；当时，恒成立，函数在上无极值； 方法（一）在上，若在处取得符合条件的极大值，则，即，由（3）得：，代入（2）得： 结合（1）可解得：，再由得，设，则，当时，即是增函数，所以，又，故当极大值为正数时，从而不存在负整数满足条件 （3）设，则，因为，所以，当时，单调递增；当时，单调递减；故至多两个零点又，所以存在，使又在上单调递增，所以当时，故，单调递减；当时，故，单调递增；所以函数在处取得极小值 当时，且，所，函数是关于的二次函数，必存在负实数，使，又，故在上存在，使，又在上单调递减，当时，故，单调递增；当时，故，单调递减；所以函数在处取得极大值 综上，函数既有极大值，又有极小值 例4、（2020扬州高三模拟19）已知函数，其中为参数.（2）讨论函数极值点的个数，并说明理由；解:定义域为，令当时，故，在是单调增函数，无极值点；当时，若时，故，在是单调增函数，无极值点；若时，有两个不相等的实根，设，且，又，故当时，单调递增当时，单调递减当时，单调递增有两个极值点；例5、（2020江苏高考20）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：;（3）若， 这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围。解：（1）由，得.当时，有极小值.因为的极值点是的零点.所以，又，故.因为有极值，故有实根，从而，即.时，故在R上是增函数，没有极值；时，有两个相异的实根，. 列表如下x+00+极大值极小值故的极值点是.从而，因此，定义域为.注：定义域就是由题目中有极值产生的，例1已经详细解释过三次函数有极值要满足的条件，三次函数是个重点，对于其单调性、零点、极值点以及图像的所有可能性都要了如指掌，请同学们一定要把三次函数研究透彻。（2）由（1）知，.设，则.当时，从而在上单调递增.因为，所以，故，即.因此.（3）由（1）知，的极值点是，且，.从而记，所有极值之和为，因为的极值为，所以，.因为，于是在上单调递减.因为，于是，故.因此的取值范围为. 四、巩固练习：1、（2020常州期末20）已知函数，其中为常数（3）若，设函数在上的极值点为，求证：2、（2020南京高三四模19）设函数，（2）若，试判断函数在区间内的极值点的个数，并说明理由；3、（2020南通高三三模20）已知函数，记的导函数为（2）若在处取得极小值，求的取值范围； 4、(2020南京三模)已知，函数的导函数为（2）若函数存在极值，求的取值范围；巩固练习答案解析：1、解：当时，令，则，令解得当时，单调递减，恒成立，单调递减，且， 2、解：，由得，令解得当时，单调递减当时，单调递增，当，恒成立，故在区间内无极值点；（虽然时，有一个解，即有一解，但这个解不是极值点，因为它不满足该点左右两侧的导函数符号改变这个条件）当时，有一个交点，设横坐标为，则在上单调递减，则在上单调递增故在处取得极小值，即在区间有一个极值点；当时，有两个交点，设横坐标分别为，则在上单调递增，则在上单调递减，则在上单调递增故在处取得极大值，在处取得极小值，即在区间有两个极值点；综上所述：当时，在区间内无极值点；当时，在区间有一个极值点；当时，在区间有两个极值点； 注：此题的区间是，如将区间改为闭区间，答案还是一样的，请同学们可以思考一下为什么？区间的端点无论开闭都不可能成为极值点。若此题没有这个条件，改为答案会是什么？当或时，在区间内无极值点当时，在区间有一个极值点当时，在区间有两个极值点；若，区间改为闭区间，答案又是什么？当或时，在区间内无极值点当时，在区间有一个极值点当时，在区间有两个极值点； 4、解：（2）， 当时，恒成