基本图形-一线三等角

基本图形：一线三等角，相似两边找“一线三等角”这个基本图形性质虽然不同，就是可以得到一组相似三角形而已，但因为这组相似三角形的对应关系较难看出，因此根据这个基本图形先判断存在着一组相似三角形，就有其价值了。例1：在等腰ABC中，AB=AC,D是BC上的一点，作ADE=B,问：ABD与DCE相似吗？如果相似，请写出这组相似三角形顶点和边的对应关系。讲评：从这个例子，我们可以提炼出如下基本图形：“三个相等的顶点在一直线上，就有两个三角形相似”这个结论。这就成为一个基本图形，简称“一线三等角”。如图，当A=B=EDC时，就有ADECDB；其证明只要用到外角知识。“一线三等角”不能作为定理直接引用，因此在书写证明时，还得用外角知识重新证明。数学上特别注意的是，这对相似三角形的对应关系不太“顺眼”，要把其中一个三角形转过一个角度后，才比较容易看出顶点的对应关系和对应边。比较好的记忆方法“逆时针比例法”：从图中的点E出发，沿逆时针沿外周绕，得比例EA:AD=DB:BC.例2：在等边ABC中，将角A翻折，使点A落在BC边的D点上，EF为折痕，求证：BEDCDF.并写出对应线段比例式。例3.在矩形ABCD中，AD=4，CD=5，点F在AD上，将角D沿CF翻折,使点D落在AB边的点E处，求的值。例4：如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=5，AD=2，BC=8，MEN=B. MEN的顶点E在边BC上移动，一条边始终经过点A，另一边与CD交于点F,连接AF。设BE=，DF=，试建立关于的函数关系式，并写出函数定义域。例5：如图，在RtABC中，C=90，BC=6，AC=8，O是AB上一点，AO=4，P是AC上动点，过点P做OP的垂线交边BC于点Q,设AP=,CQ=,试求关于的函数解析式，并写出定义域。例6：如图， 若B=EDC=A，且点D是BC的中点,请问：图中是否产生新的相似三角形？请证明:并写出哪些角相等，哪些线段比相等。讲评：本题反映的是一个基本图形“一线三等角+中点”。上图中，若B=EDC=A，且D是BC中点，那么有三个三角形相似：EADDECDBC.同样地，其同样地，其对应关系值得重视。不过，这个对应关系比较“顺”，只要假想把AB的中点D沿AB“滑”向A点（或B点），夹A（或B）两边与夹EDC的两边对应关系呈现左对左、右对右的格局。例7：如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=BC=6，AD=3.M为边BC的中点，以M为顶点作EMF=B,射线MF交腰CD于点F，连接EF.（1）求证：MEFBEM；（2）若BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EFCD，求BE的长。1.基本图形“一线三等角”：三个相等的角的顶点在一条直线上，就有两个三个三角形相似。2.基本图形“一线三等角+中点”。三个相等的角的顶点A、D、B在一条直线上，位于中间的那个顶点D，如果线段AB的中点，那么就有三个三角形相似。3.一线三等角这个基本图形常出现在等腰三角形底边，等腰梯形的底边，矩形的一边等场合。4.有时可以利用一线三等角这个基本图形添辅助线。练习：1.如图，在梯形ABCD中，ABCD，CD=8，BC=6，ABD=C,P是CD上的一个动点（P不与点C点D重合），且满足条件：BPE=C,交BD于点E，求证：BCPPDE;2.如图，在正方形ABCD中，AB=5，E是直线BC上的一点，连接AE，过点E作EFAE,交直线CD于点F,当E点在BC边上运动时，设线段BE的长为，线段CF的长为，求关于的函数解析式及其定义域。3.在梯形ABCD中，ADBC，ADBC,且AD=5，AB=CD=2.（1）如图，P为AD上一点，满足.求证：ABPDPC;求AP的长。（2）如果点P在AD边上移动（点P不与点A、D重合），且满足,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设,求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE=1时，写出AP的长（不必写出解答过程）4.如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=4，BC=6，,点E、F分别在BC、AC上（点E与B、C不重合），设BC=，AF=.（1