福建省2020年3月28日高三毕业班质量检测测试文科数学试题含答案

M 文科数学试题 第 1 页（共 6 页） 学校: 准考证号: 姓名: （在此卷上答题无效）（在此卷上答题无效） 工作秘密启用前 2020 年福建省高三毕业班质量检查测试 文 科 数文 科 数 学学 本试卷共 6 页。满分 150 分。 注意事项：注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生 要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、 姓名”与考生本人准考证号、 姓 名是否一致。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中，只只 有一有一项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1已知集合 28 x Ax，1,2,3B ，则AB A 1 B1,2 C2,3 D1,2,3 2复数z的共轭复数z满足1 i2iz，则z A2 B2 C 2 2 D 1 2 3若 3 sin 5 ，则cos2 A 24 25 B 7 25 C 7 25 D 24 25 4设, x y满足约束条件 0, 20, 1 0, xy xy y 则2zxy的最大值为 A0 B3 C4 D5 5已知 0.6 0.3a ， 0.5 0.3b ， 0.5 0.4c ，则 Aabc Bacb Cbca Dcba 6首项为2，公比为3的等比数列 n a的前n项和为 n S，则 A322 nn aS B22 nn aS C22 nn aS D34 nn aS M 文科数学试题 第 2 页（共 6 页） 7函数 32 1 3 f xxxax的大致图象不可能是 82020 年初，我国突发新冠肺炎疫情面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗 队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中. 为 分担“逆行者”的后顾之忧，某校教师志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线 工作者子女在线辅导功课今欲随机安排甲、乙 2 位志愿者为 1 位小学生辅导功课共 4 次，每位志愿者至少辅导 1 次，每次由 1 位志愿者辅导，则甲恰好辅导 2 次的概率为 A 1 3 B 2 7 C 3 7 D. 4 7 9已知函数 2sinf xx和 2cosg xx0图象的交点中，任意连续三个交点 均可作为一个等腰直角三角形的顶点为了得到 yg x的图象，只需把 yf x的图 象 A向左平移1个单位 B向左平移 2 个单位 C向右平移1个单位 D向右平移 2 个单位 10. 设O是坐标原点，F是椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的一个焦点，点M在C外，且 3MOOF，P是过点M的直线l与C的一个交点，PMF是有一个内角为120的等腰 三角形，则C的离心率等于 A 3 4 B 3 3 C 31 4 D 3 2 M 文科数学试题 第 3 页（共 6 页） 11. 上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图 1） ，充分展示了我国古代高超 的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密 切联系. 图 2 为骨笛测量“春 （秋） 分”， “夏 （冬） 至”的示意图， 图 3 是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计） ，夏至（或冬 至） 日光 （当日正午太阳光线） 与春秋分日光 （当日正午太阳光线） 的夹角等于黄赤交角. 由历法理论知，黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 23 41 23 57 24 13 24 28 24 44 正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代 公元元年 公元前 2000 年 公元前 4000 年 公元前 6000 年 公元前 8000 年 根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是 A公元前 2000 年到公元元年 B公元前 4000 年到公元前 2000 年 C公元前 6000 年到公元前 4000 年 D早于公元前 6000 年 12.已知长方体 1111 ABCDABC D中，5AB ，3AD ， 1 4AA ，过点A且与直线CD平行 的平面将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面 变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值是 A 3 2 B2 C 21 10 D72 6 二、填空题：本二、填空题：本题共题共 4 小题小题，每小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13向量1,2AB ，2,3AC ，若向量,2xa与BC共线，则x 14若双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的一个焦点5,0F，一条渐近线的斜率为 3 4 ，则 a 15ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 2 3 A ，7a 若ABC的面积为 15 3 4 ， 则其周长是 16已知 f x是定义在R上的偶函数，其图象关于点1,0对称以下关于 f x的结论： f x是周期函数； f x在0,2单调递减； f x满足 4f xfx； cos 2 x f x 是满足条件的一个函数 其中正确的结论是 .（写出所有正确结论的序号） 图 1 图 3 图 2 M 文科数学试题 第 4 页（共 6 页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。 17 （12 分） 在数列 n a中， 1 2a ， 2 6a ，且 2+1 2+2 nnn aaa ，设 1nnn baa （1）证明数列 n b是等差数列，并求 n b； （2）设 n S为数列 1 n a 的前n项和，求 n S 18 （12 分） 如图 1，直角梯形ABCD中，ADBC，90D，3BC ，1ADDC把 ACD沿着AC翻折至 1 ACD的位置，点 1 D 平面ABC，连结 1 BD，如图 2 （1）当 1 2 2BD 时，证明：平面 1 ACD 平面 1 ABD； （2）当三棱锥 1 DABC的体积最大时，求点B到平面 1 ACD的距离 图 1 图 2 M 文科数学试题 第 5 页（共 6 页） 频率频率 组距组距 家庭人均年纯收入家庭人均年纯收入（千元千元） 0.32 0.28 0.16 0.12 0.08 87 6534O2 0.04 19. (12 分) 为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战略部署， 某贫困地区的广大党员干部深入农村 积极开展“精准扶贫”工作经过多年的精心帮扶，截至 2018 年底，按照农村家庭人均年 纯收入 8000 元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康. 现从这些尚未实现小康的 家庭中随机抽取 50 户，得到这 50 户家庭 2018 年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图， 如图. 注：在频率分布直方图中，同一组数据用该区间的中点值作代表 （1）估计该地区尚未实现小康的家庭 2018 年家庭人均年纯收入的平均值； （2）2019 年 7 月，为估计该地能否在 2020 年全面实现小康，收集了当地最贫困 的一户家庭 2019 年 1 至 6 月的人均月纯收入的数据，作出散点图如下. 根据相关性分析， 发现其家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相 关关系（记 2019 年 1 月、2 月分别为 1x ， 2x ，依此类推） 试预测该家 庭能否在 2020 年实现小康生活 参考数据： 6 1 7602 ii i x y ，67182x y 参考公式：线性回归方程 ybxa中， 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx M 文科数学试题 第 6 页（共 6 页） 20(12 分) 已知抛物线 2 :206C ypxp的焦点为F，A为C上一动点，点4,0Q，以线段 QA为直径作M当M过F时，QAF的面积为3. （1）求C的方程； （2）是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被圆M所截得的弦长为定值？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由 21 (12 分) 已知函数 ln2lnf xxaxx，2a （1）若2a ，求 f x的零点个数； （2）证明： 12 ,3,9x x， 12 2ln3f xf x （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答。如果多做，则按所做如果多做，则按所做 的第一题计分。的第一题计分。 22选修44：坐标系与参数方程 (10 分) 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 cos , sin x y 为参数以原点O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 12 3sin （1）求 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）若直线l与 1 C相切于第二象限的一点P，与 2 C交于, A B两点，且 7 | | 3 PAPB， 求直线l的倾斜角 23选修45：不等式选讲 (10 分) 已知函数 2f xxaxb，a，bR （1）若1a ，1b ，求不等式 5f x 的解集； （2）若0ab ，且 f x的最小值为2，求 21 ab 的最小值 文科数学参考答案及评分细则 第 1 页（共 9 页） 2020 年福建省高三毕业班质量检查测试 文科数学参考答案及评分细则 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数 的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。 1B 2B 3C 4D 5D 6A 7C 8C 9A 10B 11D 12C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 20 分。 132 144 1515 16 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17本小题主要考查递推数列、等差数列、数列求和等基础知识，考查推理论证能力、运 算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核 心素养，体现基础性、综合性满分 12 分 解： （1）因为 +12+1+12+1 2 nnnnnnnnn bbaaaaaaa ， 2 分 由题意知 2+1 22 nnn aaa ，可得 2+1 22 nnn aaa ， 3 分 即 +1 2 nn bb，所以 n b是等差数列 4 分 又 121 4baa， 5 分 所以4+212 +2 n bnn，n N 6 分 （2）由（1）知22 n bn， 当2n时， 121121nnnnn aaaaaaaa ， 8 分 即 1121nn aabbb ， 即24621 n ann n （） 9 分 又当1n 时， 1 2a ，满足（） ，所以+1 n an n，n N 10 分 所以 1111 = 11 n an nnn ， 11 分 文科数学参考答案及评分细则 第 2 页（共 9 页） 所以 12 111 n n S aaa 11111 1 223+1nn = 1 n n 12 分 18本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，三棱锥的体积及 空间点面距离等基础知识； 考查空间想象能力、 推理论证能力； 考查化归与转化思想、 函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综 合性满分 12 分 解法一： （1）因为ADBC，90D，3BC ，1ADDC， 依题意得， 1 90ADCD， 1 1DC ， 1 分 因为 1 2 2D B ，所以 222 11 BCDCDB，故 1 90BDC，即 11 CDBD， 3 分 又因为 11 CDAD， 111 ADBDD，所以 1 CD 平面 1 ABD 5 分 又因为 1 CD 平面 1 ACD，所以平面 1 ACD 平面 1 ABD 6 分 （2）因为ADBC，90D，3BC ，1ADDC，所以ABC的面积为 3 2 ， 设 1 D到面ABC的距离h，则三棱锥 1 DABC的体积为 1 13 32 DABC Vh ， 故要使 1 DABC V 取到最大值，需且仅需h取到最大值 7 分 取AC的中点M，连结 1 D M，依题意知 11 1ADDC， 1 90ADC， 所以 1 DMAC， 1 2 2 D M ，且 1 hD M 因为平面 1 ACD平面ABCAC， 1 DMAC， 1 D M 平面 1 ACD， 所以当平面 1 ACD 平面ABC时， 1 D M 平面ABC， 1 D Mh， 故当且仅当平面 1 ACD 平面ABC时， 1 DABC V 取得最大值 8 分 此时 1 1322 3224 DABC V ， 9 分 设B到平面 1 ACD的距离为d，可得 11 11 = 326 DABCB ACD d VVd ， 11 分 故 2 64 d ，解得 3 2 2 d ， 故B到平面 1 ACD的距离为 3 2 2 12 分 文科数学参考答案及评分细则 第 3 页（共 9 页） 解法二： （1）同解法一. （2）因为ADBC，90D，3BC ，1ADDC，所以ABC的面积为 3 2 ， 设 1 D到面ABC的距离h，则三棱锥 1 DABC的体积为 1 13 32 DABC Vh ， 故要使 1 DABC V 取到最大值，须且仅需h取到最大值 7 分 取AC的中点M，连结 1 D M，依题意知 11 1ADDC， 1 90ADC， 所以 1 DMAC， 1 2 2 D M ，且 1 hD M 因为平面 1 ACD平面ABCAC， 1 DMAC， 1 D M 平面 1 ACD， 所以当平面 1 ACD 平面ABC时， 1 D M 平面ABC， 1 D Mh， 故当且仅当平面 1 ACD 平面ABC时， 1 DABC V 取得最大值 8 分 过点B作BNAC，垂足为N, 因为平面 1 ACD 平面ABC，平面 1 ACD平面ABCAC，BN 平面ABC， 所以BN 平面 1 ACD，所以B到平面 1 ACD的距离为BN 9 分 在ACD中，90D，1ADDC，所以2AC ， 10 分 在ABC中， 1 2 ABC SAC BN ，所以 13 2 22 BN， 所以 3 2 2 BN ，即B到平面 1 ACD的距离为 3 2 2 12 分 19.本小题主要考查频率分布直方图、回归分析等基础知识，考查数据处理能力、运算求解 能力、应用意识，考查统计与概率思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运 算、数据分析等核心素养，体现综合性、应用性满分 12 分 解： （1）由频率分布直方图可得 2018 年这 50 户家庭人均年纯收入的平均值为 25000.0435000.1245000.3255000.2865000.1675000.08 =5140（元） 6 分 （2）依题意，可得： 123456 3.5 6 x ， 7 分 故 67182 342 66 3.5 x y y x ， 8 分 所以 66 11 662 222 11 ()()6 76027182420 24517.5 ()6 iiii ii ii ii xxyyx yxy b xxxx ， 9 分 文科数学参考答案及评分细则 第 4 页（共 9 页） 34224 3.5258aybx， 所以y关于x的线性回归方程为24258yx 10 分 令13x ，得 2020 年 1 月该家庭人均月纯收入为 13 24 13258570y（元） ， 令24x ，得 2020 年 12 月该家庭人均月纯收入为 24 2424258834y（元） ， 11 分 由题意知，该家庭的人均月纯收入的估计值成等差数列， 所以，2020 年该家庭人均年纯收入的估计值为 (570834) 12 84248000 2 S ， 综上，预测该家庭能在 2020 年实现小康生活. 12 分 20本小题主要考查抛物线的标准方程、圆的几何性质、直线与圆的位置关系、直线与抛 物线的位置关系等基础知识， 考查推理论证能力、 运算求解能力， 考查数形结合思想、 函数与方程思想、特殊与一般思想，考查数学运算，逻辑推理等核心素养，体现综合 性、创新性满分 12 分 解法一： （1）由题意得，,0 2 p F 1 分 依题意，当圆M过F时，因为QA为直径，所以90QFA，即FAx轴 设 11 ,A x y，所以 1 2 p x ，又 2 11 2ypx，解得 1 yp，故不妨设, 2 p Ap ， 2 分 因为 1 4 222 QAF pp SFQFA ，又06p，得 2 2 4 QAF p Sp ， 3 分 由题意得， 2 1 23 4 pp，即 2 8120pp，解得2p 或6p （舍去）. 4 分 故 2 :4C yx. 5 分 （2）设直线: l xa，l被圆M所截得的弦长为t 因为4,0Q，所以点M到: l xa的距离为 1 4 2 x da ， 6 分 又圆M的半径 2 2 11 4 22 xyAQ r ，7 分 根据垂径定理有 2 22 2 t rd ， 8 分 得 2 22 2 11 1 44 242 xyxt a ， 文科数学参考答案及评分细则 第 5 页（共 9 页） 化简得， 222 111 16444txya xa ， 9 分 把 2 11 4yx代入上式得， 22 1 43164tx aaa，其中 1 0 x ， 10 分 故当且仅当3a 时，无论 1 x取何值，恒有2 3t 11 分 所以存在直线:3l x 被圆M所截得的弦长恒为2 3 12 分 解法二： （1）同解法一. （2）假设存在满足条件的直线: l xa，因为4,0Q， 取0,0A时，则圆M为 2 2 24xy，直线: l xa被圆M截得的弦长为 2 2 2 22a； 取4,4A时，则圆M为 22 424xy，直线: l xa被圆M截得的弦长为 2 2 2 24a； 则 22 22 2 22=2 24aa，解得3a ， 所以，如果满足条件的直线l存在，只能是:3l x ，且被动圆M截得的弦长为2 3 8 分 下面证明直线:3l x 被动圆M截得的弦长恒为2 3 因为点M到:3l x 的距离为 1 4 3 2 x d 9 分 1 2 2 x ， 圆M的半径 2 2 11 4 22 xyAQ r ， 10 分 又因为 2 11 4yx，所以 2 2 11 11 44416 = 22 xxxx r ， 所以直线:3l x 被动圆M截得的弦长等于 2 2 22111 4162 22=2 3 42 xxx rd 综上，存在直线:3l x 被圆M所截得的弦长恒为2 3 12 分 21本小题主要考查函数的零点、函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识，考 查推理论证能力、 运算求解能力、 创新意识等， 考查分类与整合思想、 数形结合思想， 考查数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性满 文科数学参考答案及评分细则 第 6 页（共 9 页） 分 12 分 解法一：（1）因为2a ， ln2lnf xxaxx， 当 2 0ex时，ln20 x ， 3ln+2f xxx， 3 ( )1fx x ， 1 分 当0,3x时， 0fx， f x单调递减；当 2 3,ex时， 0fx ， f x单调递 增；所以当=3x时， f x取得最小值， 所以 3 =3ln3+50f xf. 2 分 当 2 xe时，ln20 x ， ln2f xxx， 1 ( )10fx x ， f x单调递增； 所以 22 e=4+e0f xf. 4 分 综上， 0f x ，因此， f x没有零点，即 f x的零点个数为 0 5 分 （2）要证 12 ,3,9x x， 12 2ln3f xf x， 只要证3,9x， maxmin 2ln3f xf x即可 6 分 因为当 3,9x 时， lnln3,ln9xaaa 当2ln9a 时， 3ln +,3,e, ln,e ,9 . a a x xa x f x xxa x 7 分 因为当 3,eax ， =3ln +f xx xa ， 3 =+1 0fx x ， f x单调递增， 当 e ,9 a x ， =ln +f xx xa ， 1 =+10fx x ， f x单调递增， 又 3lneelnee aaaa aa ， 所以 f x在3,9上单调递增， 8 分 所以 min 33ln33f xfa ， max 92ln39f xfa ， 所以 maxmin =ln3+622+ln3f xf xa 9 分 当 ln9a 时， 3lnf xxxa， 3 =+1 0fx x ， f x在3,9上单调递增， 所以 min 33ln33f xfa ， max 96ln39f xfa ， 所以 maxmin =63ln3f xf x 又因为2+ln363ln34ln340， 所以 maxmin =63ln32+ln3f xf x 11 分 因此， 12 ,3,9x x时， 12 2+ln3f xf x. 12 分 文科数学参考答案及评分细则 第 7 页（共 9 页） 解法二：（1）设 2lng xxx，则 2 1gx x 1 分 所以当0,2x时， 0g x， g x单调递减； 当2 +x，时， 0g x， g x单调递增 所以当2x 时， g x取得最小值，所以 2ln220g xg. 3 分 又ln20 x，所以 ln22ln0f xxxx， 4 分 因此， f x没有零点，即 f x的零点个数为 0 5 分 （2）要证 12 ,3,9x x， 12 2ln3f xf x， 只要证3,9x， maxmin 2ln3f xf x即可 6 分 因为 ln2lnf xxaxx， 当ln0 xa，即eax 时， lnf xxxa， 1 ( )10fx x ， 所以 f x在e , a 上单调递增； 当ln0 xa，即0eax时， 3ln+f xxx a， 3 ( )1fx x ， 当3eax，时， 0fx， f x在3ea ，上单调递增； 又当eax 时，3lneelnee aaaa aa ， 所以 f x在3 ，上单调递增 因此 ln2lnf xxaxx在3,9上单调递增， 所以 min 3ln32ln33f xfa， max 9ln92ln99f xfa， maxmin = 2ln3ln362ln3f xf xaa， 8 分 当2ln9a 时， maxmin =2ln3ln362ln3ln3+622+ln3f xf xaaa 9 分 当ln9a时， maxmin =2ln3ln362ln363ln3f xf xaa 又因为2+ln363ln34ln340， 所以 maxmin =63ln32+ln3f xf x 11 分