上海市闵行区闵行中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）

上海市闵行区闵行中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.已知集合，集合，则 ；【答案】。【解析】交集就是由两个集合的公共元素组成的集合。2.已知集合，如果且，那么_【答案】或1或【解析】【分析】根据元素与集合的关系,可得关于的方程,解方程且满足且,即可求得的值。【详解】集合,且所以若,解得若,解得所以的值为或1或故答案为: 或1或【点睛】本题考查了元素与集合的关系,根据元素属于集合求参数,属于基础题.3.已知，则_【答案】【解析】【分析】根据分段函数的定义域,代入即可求得的值.【详解】因为所以故答案为:【点睛】本题考查了求分段函数的值,注意自变量的取值范围,属于基础题.4.若关于的不等式的解集是，则_【答案】【解析】【分析】根据不等式与方程的关系,将不等式转化为方程,求得的值,即可求得的值.【详解】因为不等式的解集是即是方程的解所以或则故答案为:5【点睛】本题考查了不等式与方程的关系,根据不等式的解集求参数,属于基础题.5.函数的定义域是_【答案】【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件,即可求得函数的定义域.【详解】函数所以满足解不等式可得所以函数的定义域为故答案为: 【点睛】本题考查了函数定义域的求法,注意二次根式有意义的条件,属于基础题.6.“”是“集合的子集恰有4个”的_条件（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要之一）【答案】充分不必要【解析】【分析】将代入函数解析式, 画出函数图像,根据交点个数即可判断是否有4个子集;根据有有4个子集,可知两个函数有2个交点,即可求得的取值范围,进而判断充分必要性.【详解】当时,集合为,画出两个函数图像如下图所示:由图像可知, 与有2个交点,所以有两个元素.则有4个子集,所以是充分性若集合的子集恰有4个,则两个函数必有2个交点,满足条件的得的取值范围为,所以是非必要性综上可知, “”是“集合的子集恰有4个”的充分不必要条件故答案为: 充分不必要【点睛】本题考查了充分必要条件的简单应用,注意问题最后不是求的交点个数,而是交集的子集个数,属于中档题.7.如果2属于关于的不等式的解集，则实数的取值范围是_【答案】【解析】分析】将不等式因式分解后,求得解集,由元素与集合的关系即可求得实数的取值范围.【详解】因为即所以不等式的解集为因为 所以解不等式组可得故答案为:【点睛】本题考查了含参数一元二次不等式的解法,元素与集合的关系,属于基础题.8.任意两个正整数、，定义某种运算：，则集合中元素的个数是_【答案】【解析】【分析】根据正整数的奇偶,讨论的不同取值情况:若一奇一偶,则取;若都是奇数或都是偶数,则取,列举出所有可能即可.【详解】集合若一奇一偶,则取,此时所有个数为,此时共有4个;若都是偶数,则取,此时所有个数为,此时共有2个;若都是奇数,则取,此时所有个数为, 此时共有3个;综上可知,满足条件的元素共有9个.故答案为:9【点睛】本题考查了新定义运算与集合的综合应用,注意分析题意并正确理解新定义是解决此类问题的关键,属于中档题.9.已知直角三角形的面积为2，则它的周长的最小值为_【答案】【解析】【分析】设出直角三角形的两条边长,根据面积用一条边表示出另外一条边长,即可表示出周长,结合基本不等式即可求得最小值.【详解】设直角三角形的两条边长分别为、,则,即,斜边长为所以周长为由基本不等式可知当且仅当时取等号所以周长的最小值为故答案为: 【点睛】本题考查了基本不等式的简单应用,积定求和的最小值,属于中档题.10.若函数的定义域为r，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】 对于 恒成立，当 时， 恒成立；当 时，综上 .11.若关于的不等式的解集不是，则实数的最大值是_【答案】【解析】【分析】将不等式变形,并构造函数,对分类讨论,求得不同取值范围内解析式.画出函数图像,并根据图像求得的取值范围.【详解】不等式变形为构造函数当时, 当时, 当时, 即,画出函数图像如下图所示:因为不是空集,即有解所以从图像可知, 即实数的最大值是3故答案为:3【点睛】本题考查了分类讨论绝对值不等式相关问题,将不等式转化为函数,结合图像来分析参数取值是常用方法,属于基础题.12.已知有限集，如果中元素满足，就称为“完美集”.集合不是“完美集”；若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2；二元“完美集”有无穷多个；若，则“完美集”有且只有一个，且；其中正确的结论是_(填上你认为正确的所有结论的序号)【答案】【解析】【分析】对于,根据定义检验与是否相等即可.对于根据韦达定理即可判断是否正确.对于根据可知,二元完美集可以看成一元二次方程对应的两个根,所以有无数组.对于,检验当时,求得完美集的个数;同时检验当时不存在完美集即可.【详解】对于, 根据定义.则,则,所以集合是“完美集”,则错误;对于,设,由韦达定理可知可以看成一元二次方程则,解得或(舍)即,所以至少有一个大于2,所以正确;对于,根据可知一元二次方程当取不同值时, 的值是不同的.而有无穷多个值,因而二元“完美集”有无穷多个,所以正确;对于,设 ,则所以所以当时, 因为所以只能是,由代入解得,所以此时完美集只有一个为,所以正确;故答案为: 【点睛】本题考查了元素与集合的关系,正确理解题意解决问题的关键,对理解能能力和分析解决问题能力要求较高,属于难题.二.选择题13.“”是“”的（ ）条件a. 充分不必要b. 必要不充分c. 充要d. 既不充分也不必要【答案】a【解析】【分析】根据不等式及运算即可判断充分性,由特殊值即可判断非必要性.【详解】若,则不等式左右两边分别相加,可得两边分别相乘可得,所以充分条件若,满足不等式组成立,但不成立,所以不是必要条件综上可知, “”是“”的充分不必要条件故选:a【点睛】本题考查了不等式的基本性质,注意特殊值法在判断中的应用,属于基础题.14.下列四个图象中，是函数图象的是()a. (1)b. (1)(3)(4)c. (1)(2)(3)d. (3)(4)【答案】b【解析】【详解】试题分析：根据函数定义，对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，所以(1)(2)不对故选：b考点：函数的概念15.下列结论正确的是（ ）a. 命题“若，则”为假命题b. 命题“若，则”的否命题为假命题c. 命题“若，则方程有实根”的逆命题为真命题d. 命题“若，则”的逆否命题为真命题【答案】d【解析】【分析】根据不等式性质,可判断a;根据集合关系及否命题定义,可判断b;根据方程有实数根的条件,即可判断c;逆否命题与原命题真假一致,所以判断原命题的真假即可判断d.【详解】对于a,由不等式性质”不等式两边同时加上或减去同一个数,不等号方向不变”可知a为真命题,所以a错误;对于b,命题的否命题为 “若,则”,根据集合关系可知命题为真命题,所以b错误;对于c,逆命题为 “若方程有实根,则”,根据方程有实数根,可得,所以为假命题,c错误;对于d,当时,不等式成立所以命题为真命题.而逆否命题与原命题真假一致,所以逆否命题也为真命题,所以d正确.故选:d【点睛】本题考查了原命题、逆命题、否命题及逆否命题间的关系,命题真假的判断,属于基础题。16.设、是正实数，且，则的最小值是（ ）a. 4b. c. d. 1【答案】d【解析】【分析】先将整式化简,再根据“1”的代换,结合基本不等式即可求得最小值。【详解】先将整式化简,即因为,即则所以原式当且仅当时取等号,即时取等号所以的最小值为1故选：d【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用,对不等式的化简变形至关重要,注意对“1”的变形应用,属于中档题。三.解答题17.设实数集，集合，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解不等式求得集合b,根据交集和补集运算即可求得。（2）由可知集合a为集合c的子集,根据集合间的关系即可求得实数的取值范围。【详解】（1）因为,化简可得则或由交集运算可得故答案为：（2）化简集合c可得因为,即集合a为集合c的子集所以满足,解不等式组可得故实数的取值范围为【点睛】本题考查了集合间的基本运算,集合与集合间的关系,属于基础题。18.设函数.（1）若函数的图像与轴无公共点，求实数的取值范围；（2）若方程有两个不相等的正根，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）二次函数与轴无公共点,则,即可求得实数的取值范围；（2）根据方程根的分布及韦达定理,即可求得方程有两个正根时实数的取值范围。【详解】（1）因为函数的图像与轴无公共点所以满足即解不等式可得故实数的取值范围为（2）若方程有两个不相等的正根,设两个正根分别为 则满足,解不等式组可得故实数的取值范围为【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系,二次函数与轴的交点、一元二次方程根的分布,属于基础题.19.阅读下面材料：在计算时，我们发现，从第一个数开始，后面每个数与它的前面个数的差都是一个相等的常数，具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用下面的公式来计算它们的和，（其中：表示数的个数，表示第一个数，表示最后一个数)），那么，利用或不利用上面的知识解答下面的问题：某集团总公司决定将下属的一个分公司对外招商承包，有符合条件的两家企业a、b分别拟定上缴利润，方案如下：a：每年结算一次上缴利润，第一年上缴利润100万元，以后每年比前一年增加100万元；b：每半年结算一次上缴利润，第一个半年上缴利润30万元，以后每半年比前半年增加30万元；（1）如果承包4年，你认为应该承包给哪家企业，总公司获利多？（2）如果承包年，请用含的代数式分别表示两家企业上缴利润的总金额，请问总公司应该如何在承包企业a、b中选择？【答案】（1）应承包给b企业（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）根据所给条件,依次列举出两个公司4年分别上缴利润,求和后比较两个公司上缴总的利润,即可判断.（2）根据利润递增情况,列出两个公司分别所交利润总和.比较大小,即可做出选择.【详解】（1）由题意可知,a公司第一年上缴利润100万元,以后每年比钱一年增加100万元,则4年上缴利润分别为则a公司4年上缴利润共万元b公司第一个半年上缴利润30万元,以后每半年比前半年增加30万元,4年上缴的利润分别为则b公司4年上缴利润共万元因为应承包给b企业（2）a公司年上缴总利润为；b公司年上缴总利润为当时, 所以当时,选a或b企业都可以当,所以选a企业;当,所以选b企业;【点睛】本题考查了等差数列求和在实际问题中的应用,注意项数与通项公式,属于基础题.20.已知函数.（1）求，的值；（2）设，试比较、的大小，并说明理由；（3）若不等式对一切恒成立，求实数的最大值.【答案】（1），；（2）；详见解析（3）.【解析】【分析】（1）根据函数解析式,代入即可求值.（2）根据函数解析式,利用作差法即可比较、的大小.（3）将解析式代入,化简不等式,转化为关于二次函数的恒成立问题,即可求得实数的最大值.【详解】（1）因为函数所以（2）,理由如下:因为则因为,则，,所以,即,所以即（3）因为函数则代入不等式可化为化简可得,即因为对于一切恒成立所以当时,二次函数取得最小值,即所以实数的最大值为【点睛】本题考查了函数的求值,单调性的证明及不等式恒成立问题的综合应用,属于基础题.21.已知集合，且.（1）证明：若，则是偶数；（2）设，且，求实数的值；（3）设，求证：；并求满足的的值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析，.【解析】【分析】（1）根据,将代入化简,结合即可证明.（2）根据题意,设,结合（1）并分类讨论即可求得的值, 代入求得的值,讨论并舍去不符合要求的的值,即可得实数的值;（3）根据题意,设代入化简,并结合即可证明