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.,1,第八节,一般周期的函数的傅里叶级数(14),一.以2l为周期的函数的,傅里叶展开式,机动目录上页下页返回结束,第十二章,二.定义在任意有限区间上,函数的傅里叶展开式,.,2,一.以2l为周期的函数的傅里叶展开,周期为2l函数f(x),周期为2函数F(z),变量代换,将F(z)作傅里叶展开,f(x)的傅里叶展开式,机动目录上页下页返回结束,.,3,设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理条件,则在函数的连续点处其傅里叶展开式为:,其中,定理.,机动目录上页下页返回结束,.,4,证明:令,则,令,则,所以,且它满足收敛,定理条件,将它展成傅里叶级数:,(在F(z)的连续点处),变成,是以2为周期的周期函数,机动目录上页下页返回结束,.,5,其中,令,(在f(x)的连续点处),证毕.,机动目录上页下页返回结束,.,6,说明:,其中,(在f(x)的连续点处),如果f(x)为偶函数,则有,(在f(x)的连续点处),其中,注:无论哪种情况,在f(x)的间断点x处,傅里叶级数,收敛于,如果f(x)为奇函数,则有,机动目录上页下页返回结束,.,7,例1.把,展开成,(1)正弦级数;(2)余弦级数.,解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有,机动目录上页下页返回结束,.,8,(2)将,作偶周期延拓,则有,机动目录上页下页返回结束,.,9,说明:此式对,也成立,由此还可导出,据此有,机动目录上页下页返回结束,.,10,二.定义在任意有限区间上的函数的傅里叶展开法,方法1,令,即,在,上展成傅里叶级数,周期延拓,将,在,代入展开式,上的傅里叶级数,机动目录上页下页返回结束,.,11,方法2,令,在,上展成正弦或余弦级数,奇或偶式周期延拓,将代入展开式,在,即,上的正弦或余弦级数,机动目录上页下页返回结束,.,12,例3.将函数,展成傅里叶级数.,解:令,设,将F(z)延拓成周期为10的周期函数,理条件.,由于F(z)是奇函数,故,则它满足收敛定,机动目录上页下页返回结束,.,13,为正弦级数.,内容小结,周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式,(x间断点),其中,当f(x)为奇函数时,(偶),(余弦),2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法,变换,延拓,机动目录上页下页返回结束,.,14,思考与练习,1.将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?,答:易看出奇偶性及间断点,2.计算傅里叶系数时哪些系数要单独算?,答:用系数公式计算,如分母中出现因子nk,作业:11.81;2.本章已
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