天津市南开区2020届高三数学下学期4月模拟考试试题（一）（PDF）

南开区南开区高三年级模拟考试高三年级模拟考试( (一一) )参考答案参考答案 第第 1 页（共页（共 7 页）页） 20192020 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试学年度第二学期南开区高三年级模拟考试( (一一) )参考答案参考答案 数学数学学科学科 一、一、选择题：选择题： （本题共 9 小题，每题 5 分，共 45 分） 题题 号号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 答答 案案 c a b d b d c a b 二、填空题：二、填空题： （本题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分） （10）2； （11） 5 2 ； （12）23； （13） 12 5 ， 63 64 ； （第一个空第一个空 2 分，第二个空分，第二个空 3 分分） （14）(12，1)； （15） 13 2 ， 5 7 14 （第一个空第一个空 2 分，第二个空分，第二个空 3 分分） 三、解答题：三、解答题： （其他正确解法请比照给分）（其他正确解法请比照给分） （16）解解： （）由3acosccsina=0得3sinacoscsincsina=0， 1 分 sina0，3coscsinc=0，即tanc=3， 2 分 0c，c= 3 3 分 sabc= 3 4 ab= 3 3 2 ，即ab=6， 又ab=1，解得a=3，b=2 6 分 由余弦定理得c2=a2+b22abcosc=7，解得c=7， 7 分 从而cosa= 222 2 bca bc = 7 14 8 分 （）由（）得sina= 3 21 14 ， 南开区南开区高三年级模拟考试高三年级模拟考试( (一一) )参考答案参考答案 第第 2 页（共页（共 7 页）页） sin2a=2sinacosa= 3 3 14 ，cos2a=2cos2a1= 13 14 ， 11 分 cos(2ac)=cos2acosc+sin2asinc =( 13 14 ) 2 1 + 3 3 14 2 3 = 1 7 14 分 （17）解：解： （）解法解法 1：在三棱柱 abc-a1b1c1中，aa1cc1， pcc1即为pc与aa1所成角 cc1底面abc，cc1bc， bp=pc1，pcc1=bc1c， 不妨设ab=1， ab=ac=aa1，bc1=3， cospcc1=pcc1= 3 3 4 分 （）解法解法 2：如图，以a为原点，建立空间直角坐标系d-xyz，不妨设ab=1， 则b(1，0，0)，c(0，1，0)，a1(0，0，1)，c1(0，1，1) bp=pc1，p( 1 2 ， 1 2 ， 1 2 )， cp=( 1 2 ， 1 2 ， 1 2 )，又 1 aa=(0，0，1)， cos= 1 1 | cp aa cp aa = 3 3 ， pc与aa1所成角的余弦值为 3 3 5 分 p a c b a1 c1 b1 z x y 南开区南开区高三年级模拟考试高三年级模拟考试( (一一) )参考答案参考答案 第第 3 页（共页（共 7 页）页） （）设p(a，b，c)，由bp=2 1 pc，得(a1，b，c)=2(a，1b，1c)， 解得p(21，22，22)， cp=(21，12，22)， 设pc与平面abb1a1所成角为， 平面abb1a1的法向量为n1=(0，1，0)， 所以sin=|cos|= 1 1 | | | cp cp n n = |12 | 2 22 = 1 2 ， =30 10 分 （）设bp= 1 bc=(，)， 则cp=cb+bp=(1，1，0)+(，)=(1，1，) 设平面acp的法向量为n2=( a，b，c)， 则 2 2 0 100 11110 acxyzy cpxyzxyz () () () () ()() ， ， ， ， ， n n 取 z=1，得x=，即n2=(，0，1) 又平面a1ac的法向量为n3=(1，0，0)， cos45= 23 23 | | | nn n n = 22 | | 1() ，解得= 1 2 ， 1 bp pc =1 15 分 （18）解：解： （）n2时，an=snsn1= 2 2 nn 2 1 2 1nn()()=n， n=1时，a1=s1=1，满足上式，an=n 3 分 南开区南开区高三年级模拟考试高三年级模拟考试( (一一) )参考答案参考答案 第第 4 页（共页（共 7 页）页） bn+1bn=2n+1，bnbn1=2n（n2） ， bn+1=2bn1（n2） ， bn的奇数项和偶数项分别是2为首项，2为公比的等比数列， bn= 1 2 2 2 2 n n n n ， 为奇数， ， 为偶数. 7 分 （） 21 1 2 1 n ii i i a b b ()= 1 1 2 2 n i i i i ( )= 1 2 n i i i 12 n i i i ， 8 分 设mn=1x+2x2+3x3+(n1)x n1+nx n（x0，1） ， xmn= 1x2+2x3+3x4+(n1)xn+nxn+1 得(1x)mn=x+x2+x3+xnnxn+1= 1 1 n xx x ()nxn+1， mn= 1 2 1 1 n xnxnx x () () 12 分 1 2 n i i i = 1 2 221 2 12 n nn () () =(n1)2n+1+2， 12 n i i i = 1 2 11 1 222 1 1 2 n n n () () =2 2 2n n ， 14 分 从而 21 1 2 1 n ii i i a b b ()=(n1)2n+1+ 2 2n n 15 分 （19）解：解： （）由题设：3 b c ， 2 3 2 b c a ，解得a=2，b=3， 椭圆c的方程为 22 1 43 xy 4 分 南开区南开区高三年级模拟考试高三年级模拟考试( (一一) )参考答案参考答案 第第 5 页（共页（共 7 页）页） （）当直线l与x轴重合时，|mf|=3|fn|，不合题意； 当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=ty+1，m(x1，y1)，n(x2，y2)， 联立 22 1 3412 xty xy ，消去x整理得(3t2+4)y2+6ty9=0， 有y1+y2= 26 34 t t ， y1y2= 2 9 34t ， 7 分 由|mf| =2|fn|，得y1=2y2， 联立得， 2 222 729 3434 t tt () ，解得t= 2 5 5 直线方程为5250 xy 10 分 （）设p(x0，y0)， 当直线l与x轴重合时，点p在椭圆外，x02，x0+2同号， 由|pm| |pn|=|pf|2，得(x02)(x0+2)=(x01)2，解得x0= 5 2 11 分 当直线l与x轴不重合时，由（）知，y1+y2= 26 34 t t ，y1y2= 2 9 34t ， |pm|= 2 1t|y1y0|，|pn|= 2 1t|y2y0|，|pf|= 2 1t|y0|， 点p在椭圆外，y1y0，y2y0同号， 由|pm| |pn|=|pf|2，得(y1y0)( y2y0)=y0 2， 整理得y1y2y0(y1+y2)=0，即 2 9 34t y0 26 34 t t =0， 解得y0= 3 2t ，代入直线l的方程x=ty+1，得x0= 5 2 14 分 点p在定直线x= 5 2 上 15 分 （20）解：解： （）f(x)=a(lnx+1)axa1， 1 分 由曲线y=f(x)在点(e，f(e)处的切线方程为xye=0， 南开区南开区高三年级模拟考试高三年级模拟考试( (一一) )参考答案参考答案 第第 6 页（共页（共 7 页）页） 知ef(e)e=0，即f(e)=aeea=0，f(e)=2aaea1=1， 解得a=1 5 分 （）若函数f(x)是(1，+)内的减函数， 则f(x)=a(lnx+1)axa10在(1，+)恒成立 a0，lnx+1xa10在(1，+)恒成立 6 分 令g(x)=lnx+1xa1，g(x)= 1 x (a1)xa2， 若0a1，g(x)0，g(x)在(1，+)单调递增，g(x)g(1)=0 若1a2，当x(1， 1 1 1 1 a a )时，g(x)0，g(x)单调递增， g(x)g(1)=0 若a2，当x(1，+)时，g(x)0，g(x)单调递减， g(x)g(1)=0 综上，a2时，f(x)是(1，+)内的减函数 10 分 （）方程f(x)=0方程alnxxa1=0 若a=1，则x=1是方程alnxxa1=0的解，a1 令t=xa1，则x= 1 1a t ， 方程alnxxa1=0方程 1 a a lnt=t 若a=0，方程 1 a a lnt=t无实数根 若a0，a1，方程 1 a a lnt=t方程 1a a = lnt t 令h(t)= lnt t ，h(t)= 2 1lnt t ， 当t(0，e)时，h(t)0，当t(