材力第9章习题解

68 习题 9-2 图 习题 9-3 图 P F P F P F P F0 P F P -F P 2 F P 2 F P 2 F P 2 F 00 00 0 0 0 P F P F P F P -F P -F P -F P F P F P F P F0 P F P -F P 2 F P 2 F P 2 F P 2 F 0 0 0 0 P F P F P F P -F P -F P -F 00 0 习题 9-2 解图 第第 9 章章 压杆的弹性稳定分析与稳定性设计压杆的弹性稳定分析与稳定性设计 9-1 关于钢制细长压杆受力达到分叉载荷之后，还能不能继续承载，有如下四种答案，试判断哪一种 是正确的。 （A）不能，因为载荷达到临界值时，屈曲位移将无限制地增加； （B）能，压杆一直到折断时为止都有承载能力； （C）能，只要横截面上的最大应力不超过一定限度； （D）不能，因为超过分叉载荷后变形不再是弹性的。 正确答案是 C 。 9-2 图示 a、b、c、d 四桁架的几何尺寸、杆的横截面直径、材料、加力点及加力方向均相同。关于四 桁架所能承受的最大外力 FPmax有如下四种结论，试判断哪一种是正确的。 （A）)d()b() c ()a ( maxPmaxPmaxPmaxP FFFF； （B）)d()b() c ()a ( maxPmaxPmaxPmaxP FFFF； （C）) c ()b()d()a ( maxPmaxPmaxPmaxP FFFF； （D）)d() c ()()a ( maxPmaxPmaxPmaxP FFbFF。 正确答案是 A 。 解：解：各杆内力如解图所示，由各受杆内力情况可知，应选答案（A） 。 9-3 图示四压杆均为圆截面直杆，杆长相同，且均为轴向加载。关于四者分叉载荷大小有四种解答， 试判断哪一种是正确的（其中弹簧的刚度较大） 。 （A）)d() c ()b()a ( PcrPcrPcrPcr FFFF； （B）)d() c ()b()a ( PcrPcrPcrPcr FFFF； （C）)a ()d() c ()b( PcrPcrPcrPcr FFFF； （D）)d() c ()a ()b( PcrPcrPcrPcr FFFF。 正确答案是 D 。 解：解：图（b）上端有弹性支承，故其临界力比图(a)大； 图(c)下端不如图(a)刚性好，故图(c)临界力比图(a)小； 图(d)下端弹簧不如图(c)下端刚性好，故图(d)临界力比图(c)小. 9-4 一端固定、另一端弹簧侧向支承的压杆。若可采用欧拉公式 22 Pcr )/(lEIF，试确定其中长度 系数的取值范围为 （A）0 . 2； （B）0 . 27 . 0； （C）5 . 0； （D）7 . 05 . 0。 正确答案是 B 。 解：解：因为弹性支座比自由端刚性好，比铰支刚性差。 9-5 图示正三角形截面压杆，两端球铰约束，加载方向通过压杆轴线。当载 荷超过临界值时，试问压杆将绕着截面上哪一根轴发生屈曲，表述有四种。 习题 9-5 图 69 习题 9-8 图 A B a l Pcr F 1 k 2 k Pcr F (a) （A）绕 y 轴； （B）绕过形心 C 的任意轴； （C）绕 z 轴； （D）绕 y 轴或 z 轴。 正确答案是 B 。 解：解：因为过正多边形截面形心的任意轴均为形心主轴，且惯性矩相等。 9-6 同样材料、同样载面尺寸和长度的两根管状大柔度压杆，两端由球铰链支承，承受轴向压缩载荷， 其中管 a 内无内压作用，管 b 内有内压作用。关于二者横截面上的真实应力)a (与)b(、临界应力)a ( cr 与)b( cr 之间的关系，有如下结论，试判断哪一结论是正确的。 （A）)b()a (，)b()a ( crcr ； （B）)b()a (，)b()a ( crcr ； （C）)b()a (，)b()a ( crcr ； （D）)b()a (，)b()a ( crcr 。 正确答案是 D 。 解：解： A F crP (a)， 4 (b) Pcr pD A F （p 为内压，D 为管径，为壁厚，A 为管横截面积） (b)(a) A FP c r cr(a) ， A FPcr (b) ( b )( a) crcr 选（D） 。 9-7 提高钢制大柔度压杆承载能力有如下方法，试判断哪一种是最正确的。 （A）减小杆长，减小长度系数，使压杆沿截面两形心主轴方向的柔度相等； （B）增加横截面面积，减小杆长； （C）增加惯性矩，减小杆长； （D）采用高强度钢。 正确答案是 A 。 解：解：由大柔度压杆临界力公式： 2 min 2 Pcr l EI F 中各量可知；另外各种钢的弹性模量 E 值差别不大。 9-8 图示刚性杆 AD 在 B、E 两处由弹簧刚度为 k 的两根弹簧所支承，并在 FP力作用下保持水平平衡 位置。试求系统的分叉载荷 FPcr。 （提示：假定 AB 杆在微小倾角时保持平衡。 ） 解：解：当载荷达临界值时，刚性杆将在微小位移下保持平衡。 受力如图（一端弹簧伸长 1 ，一端弹簧伸长 2 ） 由平衡条件：0 y F， 21 kk， 21 0 A M，aklF tan P 由图（a） ： a 2 t a n l ka F 2 2 P 即： l ka F 2 2 Pcr 9-9 图示刚性杆 AB 在 A 处为铰支座，D 处两侧与两根刚度均为 k 的弹簧相连。试： 1若已知 l = 450mm，a = 300mm，m = 200kg，确定使 AB 杆保持铅垂位置稳定平衡时，弹簧刚度的数 值范围； 70 习题 9-10 图 F (a) F (b) F (c) F (d) 2若已知 m = 100kg，l = 600mm，弹簧刚度 k = 3kN/m，确定 AB 杆保持铅垂位置时，间距 a 的数值范 围。 解：解：1图（a） ：0 A M 0t a nt a n2m g laka m g laka2 4 9 0 5 300. 02 450. 08 . 9200 2 22 a mgl kN/m 4905kN/m（弹簧刚度越大越稳定） 2 2 2a mgl k k m g l a 2 2 313m313. 0 30002 6 . 081. 9100 2 k mgl amm 313amm（a 越大越稳） （注：原书答案313amm） 9-10 图示结构中两根柱子下端固定，上端与一可活动的刚性块固结在一起。已知 l = 3m，直径 d = 20mm，柱子轴线之间的间距 a = 60mm。柱子的材料均为 Q235 钢，E = 200GPa，柱子所受载荷 FP的作用线 与两柱子等间距，并作用在两柱子所在的平面内。假设各种情形下欧拉公式均适用，试求结构的分叉载荷。 解：解：本题可能的失稳方式有四种，如解图所示 图（a）两杆分别失稳= 0.5 单根 2 43 2 4 2 2 2 Pcr 16 )5 . 0( 64 )( l Ed l d E l EI F 2 43 P c rP c r 8 2 l Ed FF 图（b）两杆作为整体绕 y 轴失稳= 2 2 434 2 2 2 2 P c r 1 2 8 64 2 4 )( l Edd l E l EI F y 图（c）两杆作为整体绕 z 轴失稳= 2 )4( 128 ) 2 ( 4 64 (2 4 )( 22 2 23 2 24 2 2 2 2 Pcr ad l Edadd l E l EI F z 图（d）两杆共同沿 z 方向（或沿 y 方向）平稳失稳，由杆的绕曲 线可见，对于 2 l 长度，可视作一端固定，一端自由，即： l ll 1) 2 (2) 2 (，故对于全长 l，= 1 2 434 2 2 2 2 P c r 32 64 2 )( l Edd l E l EI F 比较（1） （2） （3） （4）后知图 b 临界力最小： 习题 9-9 图 ka B gm A ka a (a) 71 8 6 1 31 2 8 102010200 128 2 12493 2 43 Pcr l Ed FN 即 两杆共同绕 y 轴失稳时的临界力最小（图 b） 。 9-11 根据压杆稳定设计准则，压杆的许可载荷A n F st cr P 。当横截面面积 A 增加一倍时，试问FP 将按下列四种规律中的哪一种变化？ （A）增加一倍； （B）增加两倍； （C）增加 1/2 倍； （D）FP随着 A 的增加呈非线性变化。 正确答案是 D 。 由于 A I i ，柔度 i l 而临界应力 2 2 cr E 或 2 scr R ba cr 所以，a5 cr 不存在线性关系，AA n F5 st cr P 非线性关系，选 D。 9-12 图示压杆两端为球铰约束，截面如图所示， 为 200mm125mm18mm 的不等边角钢。杆长 l = 5m，材料为 Q235 钢，其弹性模量 E = 205GPa。试求 压杆的临界载荷。 解：解：查型钢表 Imin = 404.83 cm4，imin = 2.70 cm P 2 .1 8 5 70. 2 5001 i l ，为细长杆 328 5 1083.40410205 )( 2 892 2 min 2 Pcr l EI F kN 9-13 图示托架中杆 AB 的直径 d = 40mm，长度 l = 800mm，两端可视为球铰链约束，材料为 Q235 钢， 试： 1求托架的临界载荷 FPcr。 2若已知工作载荷 FP = 70kN，并要求杆 AB 的稳定安全因数nst = 2.0，校核托架是否安全。 3若横梁为 No.18 热轧工字钢，= 160MPa，试问托架所能承受的最大载荷有没有变化。 解：解： 1（图（a） ） 4 7 s i n 0 C M，sin600900 PAB FF ABAB FFF 6 7 sin 3 2 P （1） 10 4 d imm P 80 10 8001 i l ，中柔度杆 5 .1 9 10 0 6 8. 02 3 5 2 cr MPa 6 .24040 4 5 .191 4 2 2 crcrcr d AFABkN 106 6 7 crPcr AB FFkN 2当已知工作载荷为 170kN 时已大于临界载荷，不安全。 下面为凑原书答案，将已知工作载荷改为： FP = 70 kN 习题 9-12 图 习题 9-13 图 CB D AB F P F (a) 72 由（1） ，7 .1 5 8 7 6 P FFABkN stw 52. 1 7 .158 6 .240 nn，不安全。 3条件= 160MPa 意谓着既要保证 CD 强度，又要保证 AB 杆稳定。 CD 梁中： Pmax 3 . 0 FMM B ， PN cot 2 3 cosFFF ABx ， PQ FF N m a x A F W M xB ， 6 4 P 8 P 10160 106 .30 cot 2 3 10185 3 . 0 F F ， PcrP kN106kN5 .73FF 下面校核工字钢翼缘与腹板交界点应力（忽略轴力影响） ： 16. 5 6 25. 35 . 83 . 447 （mm） 04.725 . 816. 53 . 490y（mm） 7 .95 101660 04.723001048.73 4 3 MPa 48.909255 . 6 2 04.72 10 4 .15 1660 2 3* z Smm3 9 .61 1016605 . 6 909251048.73 4 3 MPa 7 .1439 .6137 .95 22 4r MPa 4 .73 104 .155 . 6 1048.73 3 max MPa 1 .1 2 73 m a x4r MPa FPcr取 73.5kN，减小。 9-14 图示长 l = 150mm、直径 d = 6mm 的 40Cr 钢制微型圆轴，在温度为60 1 t时安装，这时，轴 既不能沿轴向移动，又不承受轴向载荷；温度升高时轴和架身将同时因热膨胀而伸长，轴材料线膨胀数 5 1 1025. 1 /，架身材料的线膨胀系数 6 2 105 . 7 /。40Cr 钢的 s =600MPa，E = 210GPa。若规 定轴的稳定工作安全因数 st n= 0.2，且忽略架身因受力而引起的微小变形，试校核当温度升高到60 2 t 时，该轴是否安全。 解：解：温升时， 21 使轴受压力 FN 由变形谐调： ltt EA lF ltt)()( 122 N 121 EAttF)( 1221N 83 600 1021022 92 s 2 P E 5 . 1 4 6 4 d imm 1 P i l 1 0 0 5 . 1 1 5 01 属细长杆 2 2 crPcr E AF 2645. 1 120105 . 0100 )( stw 52 2 1221 2 2 N Pcr w n EAtt EA F F n ，安全。 9-15 机车摇杆（近似视为等截面杆）如图所示，截面为工字形，材料为 Q235 钢，杆所受的轴向压力 460kN。有摇杆运动平面内（图中 xz 面）发生屈曲时，两端可视为铰链约束；而在 xy 平面内发生屈曲时， 两端可视为固定。试确定摇杆的工作安全因数。 90 y 25. 3 5 . 8r 3 . 4 1 r 6:1斜度 47 (b) 习题 9-14 图 73 习题 9-15 图 解：解： 612 33 106643. 410 12 1485 12 96)85148( z Im4 612 33 107378.2110 12 85)1496( 12 14896 y Im4 66 10723810)1496(8596148 Am2 8 .54 A I i y y mm 4 .25 A I i z z mm 在 x-y 平面内，5 . 0，61 4 .25 31005 . 0 z z i l 在 x-z 平面内，1，6 .56 8 .54 3100 y y i l 最大柔度 61，属中长杆。 2 0cr k 152110723810)6100668. 0235()( 6622 0crPcr AkAFkN 30. 3 460 1521 P Pcr st F F n 9-16 图示结构中 AB 为圆截面杆，直径 d = 80mm，杆 BC 为正方形截面，边长 a = 70mm，两杆材料 均为 Q235 钢， E = 200GPa， 两部分可以各自独立发生屈曲而互不影响。 已知 A 端固定， B、 C 为球铰， l = 3m， 稳定安全因数 st n= 2.5。试求此结构的许可载荷FP。 解：解：1计算柔度 AB 杆：7 . 0，20 4 d imm 5 .157 02 35 . 17 . 0 i l BC 杆：1 2 .2070 6 3 6 3 12 2 4 a a a A I imm 5 .148 0202. 0 31 i l 2临界力： AB 杆：400 5 .157 1080 4 10200 2 6292 2 2 crPcr EA AFkN BC 杆：6 .438 5 .148 107010200 2 6292 2 2 crPcr EA AF FPcr = 400 kN P P c r st F F n，160 5 . 2 400 st Pcr P F F FkN 9-17 图示结构中AB及AC两杆皆为圆截面， 直径d = 80.0mm， BC = 4m， 材料为Q235钢，= 160MPa。 试： 1FP沿铅垂方向时，求结构的许可载荷FP。 2若 FP作用线与 CA 杆轴线延长线夹角为，求保证结 构不发生屈曲，FP为最大时的值。 解：解：lAB = 3.464m，lBC = 2m。 5 0 2 7 4 2 dAmm2 20 4 d imm 习题 9-16 图 习题 9-17 图 74 2 .1 7 3 20 34641 i lAB AB 1 0 0 20 20001 i lBC AC 相应的折减系数值： 6 0 4. 0 AC 插值：235. 0 10 2 . 3 )218. 0243. 0(243. 0 AB 1 18910502710160235. 0 66 AF ABAB kN 8 .48510502710160604. 0 66 AF ACAC kN AC FF30cos P ，561 30cos 8 .485 30cos/ P AC FFkN AB FFsin P AB FF60cos P ，3782 P AB FFkN FP = 378 kN 2 AC FFcos P 8 .485 189 tan AC AB F F 26.21，此时3 .521 26.21sin 189 26.21sin P AB F FkN FP = 521 kN 9-18 图示正方形桁架结构由五根圆钢杆组成，各杆直径均为 d = 40mm，a = 1m，材料均为 Q235 钢， = 160MPa，边接处均为铰链。试： 1求结构的许可载荷FP； 2 若 FP力的方向与 1 中相反， 问许可载荷是否改变， 若有改变，应为多少？ 解：解： 1 （1）由静力平衡得： P 2 2 FFFFF CDBCADAB （压） FDB = FP（拉） （2）由拉杆 BC 强度条件 20140 4 160 4 10160 2 2 6 P d AFF BD kN 由压杆 AB 等的稳定条件： 1 0 0 4 40 10001 i l 查折减系数表得：= 0.604 则 44.1211040 4 10160604. 0 626 AFABkN 则 7 .1 7 12 P AB FFkN FP = 171.7 kN 2若 FP向外，则 P 2 2 FFFFF CDBCADAB （拉） FBD = FP（压） 由于此时受压杆比前一种情况长，所以只要计算稳定条件： 4 .141 10 100021 i l 343. 0 10 4 . 1 )306. 0349. 0(349. 0 9 .681040 4 10160343. 0 626 P AFF BD kN P F A 60 30 B C (a) 习题 9-18 图 A BC (b) FP 75 9-19 图示刚性杆 AD 在 A 端铰支；点 B 与直径 d1 = 50mm 的钢圆 杆铰接，钢杆材料为 Q235 钢，E1 = 200GPa， 1 = 160MPa；点 C 与直 径 d2 = 100mm 的铸铁圆柱铰接，铸铁的 E2 = 120GPa， 2 = 120MPa。 试求结构的许可载荷。 解：解：设横梁 AD 可视为刚性，本题为一次静不定，BD 受拉力 FB， CF 受压力 FC。 0 A M，0642 P FFF CB （1） 变形： CB ll 2 1 物理： 11A E lF l BEB B ， 22 2AE lF l CFC C 即： 2211 2AE lF AE lF CFCBEB 22 100 4 120250 4 200 CB FF FC = 4.8FB （2） FB = 0.283FP（拉） FC = 1.3585FP（压） BE 杆按强度： 3141050 4 10160 626 11 AFBkN 1 1 1 0 2 8 3. 0 P B F FkN （3） CF 杆按稳定： 80 4 1 . 0 21 i l 查压杆的折减系数表得：26. 0 2 4 510100 4 1012026. 0 626 222w AAFCkN 180 3585. 1 P C F FkN （4） 比较（3） 、 （4）得：FP = 180 kN （讨论：原书答案为拉杆强度算出，并不满足压杆条件） 9-20 图示梁及柱的材料均为 Q235 钢，E = 200GPa， s = 240MPa，均布载荷 q = 24kN/m，竖杆为两 根 63635 等边角钢（连结成一整体） 。试确定梁及柱的工作安全因数。 解：解：1查型钢表得 No.16aI：Iz = 1130cm4，Wz = 141cm3 2No. 63635：286.12143. 62Acm2 y i = 1.94cm 34.4617.232 y Icm4 2梁为静不定，由变形谐调得： EA lF EI lF EI ql zz 248384 5 N 3 N 4 N 2 N 3 248384 5 F A IlFql z （1） 18.59 ) 10286.122 101130 48 4 (384 410245 ) 248 (384 5 4 82 33 2 3 N A Il ql F z kN 3梁：0 y F，qFFA42 N 梁的支反力：41.182/ )18.59244( AB FFkN（） 习题 9-19 图 习题 9-20 图 76 18.11424 2 1 241.182 2 1 2 2 qFM AC kNm 梁弯矩值： 0 Q qxFF A ，02441.18x，x = 0.767 m 0 6 2 5. 7767. 024 2 1 767. 041.18 2 max MkNm 18.11| max C MMkNm 梁内：29.79 10141 1018.11| 6 3 max max z W M MPa 梁的安全系数：03. 3 29.79 240 max s n 4柱：103 94. 1 2001 i l 132 9 .1 6 20 0 6 8. 02 3 5 2 cr MPa 20010286.12109 .162 46 crPcr AFkN 03. 2028. 2 63.98 200 N Pcr st F F n 讨论：为凑书后答案，现将 q 改为：q = 40 kN/m，则由（1）式得： 63.98 24 40 18.59 ) 248 (384 5 2 4 N A Il ql F z kN 68.30 2 4 N Fq FF BA kN 63.182 2 1 2 2 qFM AC kNm 0 Q qxFF A ，x = 0.767 m 76.11 2 1 2 max qxxFM A kNm 63.18| max C MMkNm 1 3 2 10141 1063.18| 6 3 max max z W M MPa 得，梁的82. 1 132 240 max s s n 9-21 图示工字钢直杆在温度 t1 = 20时安装，此时杆不受力，已知杆长 l = 6m，材料为 Q235 钢，E = 200GPa。试问当温度升高到多少度时，杆将失稳。 （材料的线膨胀系数 6 105 .12 /） 解：解：查型钢表 Nom20aI