3.3.3最大值与最小值

导数及其应用,第一章,1.3导数在研究函数中的应用,第一章,1.3.3函数的最大(小)值与导数,1.理解函数最值的概念及闭区间上函数存在最值的定理2掌握用导数求闭区间上函数最大值和最小值的方法,重点：函数在闭区间上最值的概念与求法难点：极值与最值的区别与联系，求最值的方法,思维导航1如果函数f(x)在R上是单调递增(或递减)的函数，是否存在这样的实数a，使得对一切xR，都有f(x)f(a)(或f(x)f(a)?2如果f(x)的图象是一条连续不断的曲线，定义域为a，b，当f(x)单调递增(或单调递减)时，是否存在x0a，b，使对一切xa，b都有f(x)f(x0)？当f(x)不是单调函数时，是否存在x0a，b，使对一切xa，b，都有f(x)f(x0)?,函数最值的概念,新知导学1下图中的函数f(x)的最大值为_，最小值为_而极大值为_，极小值为_,f(g),f(b),f(d)，f(g),f(c)，f(e),2由上图还可以看出，假设函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，该函数在a，b上一定能够取得_与_，若该函数在(a，b)内是_，该函数的最值必在极值点或区间端点取得但在开区间(a，b)内可导的函数f(x)_有最大值与最小值,最大值,最小值,可导的,不一定,牛刀小试1(2014营口三中期中)若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx在x1处有极值，则ab等于()A2B3C6D9答案C解析f(x)12x22ax2b，由条件知x1是方程f(x)0的实数根，ab6.,2若函数f(x)x42x23，则f(x)()A最大值为4，最小值为4B最大值为4，无最小值C最小值为4，无最大值D既无最大值，也无最小值答案B解析f(x)4x34x，由f(x)0得x1或x0.易知f(1)f(1)4为极大值也是最大值，故应选B.,3已知f(x)2x36x2m(m是常数)在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值为()A37B29C5D11答案A解析f(x)6x212x6x(x2)令f(x)0，解得x0或x2f(0)m，f(2)8m，f(2)40m.f(0)f(2)f(2)m3，最小值为f(2)37，故应选A.,答案A解析f(x)x22bxc，由条件知，1、3是方程f(x)0的两个实根，b2，c3，f(1)8，故选A.,5已知f(x)x2mx1在区间2，1上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是_答案(4，2),分析首先求f(x)在(1,2)内的极值然后将f(x)的各极值与f(1)、f(2)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,利用导数求函数的最大值与最小值,方法规律总结1.求可导函数yf(x)在a，b上的最大(小)值步骤如下：(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点；(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值,答案B,含参数的函数最值问题,分析(1)求f(x)的单调区间，可解不等式f(x)0，f(x)0，由于f(x)表达式中含参数，故需注意是否需要分类讨论；(2)f(x)在x1,1内没有极值点的含义是f(x)0在1,1内没有实数根，故f(x)在1,1内单调；(3)f(x)1在2,2内恒成立，则f(x)在2,2内的最大值1.,而f(2)f(2)164a20(或f(x)0，f(x)在(，2)和(2，)上为增函数，当x(2,2)时，f(x)0，f(x)在(2,2)上为减函数由此可知f(x)在x12处取得极大值f(2)16c，f(x)在x22处取得极小值f(2)c16，由题设条件知16c28得c12，此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)c164，因此f(x)上3,3的最小值为f(2)4.,方法规律总结1.证明不等式，研究方程根的个数、两函数图象的交点个数、图象的分布范围等问题，导数和数形结合法是一种很有效的方法，经常通过分析函数的变化情况，结合图形分析求解，2恒成立问题向最值转化也是一种常见题型3已知函数的最值求待定系数的值或参数的取值范围是函数最值应用的常见题型之一，由于参数会对函数的最值点有影响，所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行