湖南省师大附中2020学年高二数学上学期第一次阶段性检测试题 理（含解析）

湖南省师大附中2020学年高二数学上学期第一次阶段性检测试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知，都是实数，那么“ ”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】；，与没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”.2.如图，在中，点在线段上，且，若，则（）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】，故故选3.对于程序：试问，若输入，则输出的数为（） A. 9B. -7C. 5或-7D. 5【答案】D【解析】分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y的函数值【详解】由图可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值当输入时，输出的是：故选：【点睛】本题主要考查了条件结构的程序语句及分段函数的解析式，属于基础题.4.定义运算，若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】由已知得，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】由题意，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限故选：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题5.已知正项等差数列的前项和为()，则的值为( ).A. 11B. 12C. 20D. 22【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，结合，代入，即可。【详解】结合等差数列的性质，可得，而因为该数列为正项数列，可得，所以结合，可得，故选D。【点睛】本道题考查了等差数列的性质，关键抓住，即可，难度中等。6.某城市有连接8个小区和市中心的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区前往小区，则他经过市中心的概率为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】此人从小区A前往H的所有最短路径共6条记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为共4个由此能求出他经过市中心的概率【详解】此人从小区A前往H所有最短路径为：ABCEH，ABOEH，ABOGH，ADOEH，ADOGH，ADFGH，共6条记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为：ABOEH，ABOGH，ADOEH，ADOGH，共4条，即他经过市中心的概率为，故选：B【点睛】本题考查概率的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的灵活运用7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ).A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本道题结合三视图，还原直观图，计算体积，即可。【详解】结合三视图，还原直观图，得到三棱锥P-ABC即为该几何体，结合题意可知AB=4，AC=2，高h为2，故体积为，故选C。【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，计算体积关键抓住，即可，难度中等。8.已知函数且则函数的图象的一条对称轴是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：函数的对称轴为 ,因为 ,所以 ,即对称轴()则是其中一条对称轴,故选A.考点：三角函数图像 辅助角公式 定积分9.已知A，B是函数的图象上的相异两点，若点A，B到直线的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为点，到直线的距离相等，所以可设，则在上，可得， ，即的横坐标之和的取值范围是，故选B. 【方法点睛】本题主要考查指数函数性质、对数的运算以及利用基本不等式求范围，属于难题.求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值；三相等是，最后一定要验证等号能否成立.10.在二项式的展开式中，各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且，则展开式中常数项的值为（）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】B【解析】在二项式的展开式中，令得各项系数之和为，二项展开式的二项式系数和为，解得，的展开式的通项为，令得，故展开式的常数项为，故选B.11.已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心（三角形内切圆的圆心），若（分别表示的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用双曲线的定义，由三角形内切圆的性质，结合可得关于半实轴与半焦距的不等式，从而可得结果.详解：如图，设圆与的三边分别相切于点，分别连接，则，又，又，故选A.点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.12.已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：构造函数，利用，判断出单调性，结合列不等式求解即可.详解：引入函数，则 ，又，函数在区间上单调递增，又，不等式“”等价于“”，即，又，又函数在区间上单调递增，解得，又函数的定义域为，得，解得，故不等式的解集是，故选D.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设满足约束条件，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】结合不等式组，绘制可行域，计算z的范围，即可。【详解】结合不等式组,绘制可行域,得到转化目标函数,得到,，从虚线平移,运动到A点,z取到最小值，为-1，运动到C点，z取最大值，为-6，故z的范围为【点睛】本道题考查了线性规划问题，关键绘制可行域，转化目标函数，计算z的范围，即可，难度中等。14.已知等比数列满足，前项和满足，则等于_【答案】【解析】【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】设等比数列的公比为，前项和满足，联立解得：则故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15.在直角坐标系中，抛物线：与圆：相交于两点，且两点间的距离为，则抛物线的焦点到其准线的距离为_【答案】【解析】【分析】原点是抛物线和圆的公共点，设另一个公共点为，利用圆的弦长为得到为等腰直角三角形，从而得到的坐标，代入抛物线方程可得的值，它就是焦点到准线的距离【详解】圆，原点是抛物线和圆的公共点，设另一个公共点为，因为，又因为，,故，故为等腰直角三角形，因，故，代入抛物线方程得填【点睛】求不同曲线的交点，一般是联立方程组求解，但抛物线方程和圆的方程联立消元后是高次方程，求其解不容易，故应该根据两个几何对象的特征求出交点的坐标16.设定义域为的单调函数，对任意的，都有，若是方程的一个解，且，则实数 _【答案】1【解析】 根据题意，对任意的，都有， 又由时定义在上的单调函数，则为定值， 设，则， 又由，可得， 可得，所以，则 所以是方程的一个解，所以是函数的零点，又由，所以函数的零点介于之间，故点睛：本题主要考查函数的零点的判断，及导数在函数中的应用，问题，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，及切线方程的求解； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角，所对的边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若（）且，求的面积.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）由正弦定理对等式进行变形，再结合余弦定理，即可得到角的大小；（2）先由诱导公式和正弦定理求得角和边，再利用三角形的面积公式，即可求得三角形的面积.试题解析：（1）由得，.（2）由（），得，由正弦定理得，.根据正弦定理可得，解得，.18.在四棱锥中，（1）若点为的中点，求证：平面；（2）当平面平面时，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析； （2）.【解析】【分析】(I)结合平面与平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,结合平面与平面性质,证明结论.(II)建立空间坐标系,分别计算平面PCD和平面PDB的法向量,结合向量数量积公式,计算余弦值,即可.【详解】()取的中点为，连结，.由已知得，为等边三角形，.，.又平面，平面，平面.为的中点，为的中点，.又平面，平面，平面.，平面平面.平面，平面. ()连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，.平面平面，平面，.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.则(0，0)，(3，0，0)，(0，0，1).易知平面的一个法向量为.设平面法向量为，则，.令，得，.设二面角的大小为，则. 【点睛】本道题考查了平面与平面平行判定和性质,考查了空间向量数量积公式,关键建立空间坐标系,难度偏难.19.“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：试销单价（元）456789产品销量（件）8483807568已知（1）求出的值；（2）已知变量具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（元）的线性回归方程；可供选择的数据：，； （3）用表示用（2）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数的分布列和数学期望（参考公式：线性回归方程中的最小二乘估计分别为，）【答案】（1）90；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据y的平均数求出q的值即可；（2）分别求出回归方程的系数的值，求出回归方程即可；（3）根据回归方程分别计算出共有3个“好数据”，求出满足条件的概率，列出分布列，求出均值即可【详解】（1），可得：，求得 （2），所以所求的线性回归方程为（3）利用（2）中所求的线性回归方程，可得，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，与销售数据对比可知满足的共有3个“好数据”： 于是的所有可能取值为0，1，2，3；，的分布列为：于是【点睛】本题考查了求平均数和回归方程问题，考查分布列以及均值问题，是一道中档题20.设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为（1）求椭圆的方程；（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由【答案】（1）； （2）见解析.【解析】【分析】（I）结合离心率，得到a,b,c的关系，计算A的坐标，计算切线与椭圆交点坐标，代入椭圆方程，计算参数，即可。（II）分切线斜率存在与不存在讨论，设出M,N的坐标，设出切线方程，结合圆心到切线距离公式，得到m,k的关系式，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示，结合三角形相似，证明结论，即可。【详解】()设椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为知，椭圆的方程可设为.易求得，点在椭圆上，解得，椭圆的方程为. ()当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，由()知，.当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为，即.联立直线和椭圆的方程得，得.，.综上所述，圆上任意一点处的切线交椭圆于点，都有.在中，由与相似得，为定值.【点睛】本道题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆位置关系，考查了向量的坐标运算，难度偏难。21.已知函数（1）当时，求函数的最小值；（2）设，若对任意的，都有，求整数的最大值【答案】(1)；(2)3.【解析】试题分析：（1）当时，函数的最小值为；（2）对任意的恒成立，即对任意的恒成立，通过求导得整数的最大值为3.试题解析：（1）当时，定义域为.，令，可得.列表：所以，函数的最小值为.（2）由题意对任意的恒成立，可得对任意的恒成立.即对任意的恒成立.记，得，设，则在是单调增函数，又，且在上的图像是不间断的，所以，存在唯一的实数，使得，当时，在上递减；当时，在上递增.所以当时，有极小值，即为最小值，又，故，所以，由知，又，所以整数的最大值为3.22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线与直线有且仅有一个公共点（1）求；（2）设为曲线上的两点，且，求的最大值【答