贵州省铜仁市第一中学2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）

铜仁一中2020学年度第二学期高二半期考试数学（理科）试题第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知函数，则（）A. 0B. 1C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】对函数f(x)求导即可求得结果.【详解】函数,则，故选：C【点睛】本题考查正弦函数的导数的应用，属于简单题.2.在下列命题中，不是公理的是（ ）A. 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面B. 平行于同一个平面的两个平面相互平行C. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】B【解析】【分析】根据空间中平面基本公理，对选项中的命题进行分析、判断即可【详解】对于A， 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，是公理2；对于B，平行于同一个平面的两个平面相互平行，不是公理；对于C，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，是公理1；对于D，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，是公理3故选：B【点睛】本题考查空间平面的基本公理，属于基础题.3.等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】.故选择B.4.下列说法中，正确的个数有个圆柱的侧面展开图是一个矩形；圆锥的侧面展开图是一个扇形；圆台的侧面展开图是一个梯形；棱锥的侧面为三角形A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用圆台、圆锥、圆柱棱锥的侧面展开图，判断命题的真假即可【详解】解：圆柱的侧面展开图是一个矩形；正确；圆锥的侧面展开图是一个扇形；正确；圆台的侧面展开图是一个梯形；应该是扇环，所以不正确棱锥的侧面为三角形符合棱锥的定义，正确；故选：【点睛】本题考查空间几何体的结构特征，命题的真假的判断，是基本知识的考查5.已知，若，则实数的值为 （）A. -2B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】写出坐标，利用两个向量垂直的坐标运算可得答案.【详解】,若，则，解得，故选：D【点睛】本题考查空间两个向量垂直的坐标运算，属于基础题.6.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故，即得，所以该球的体积，故选D.考点：正四棱柱的几何特征；球的体积.7.若函数在区间内是单调递减函数，则函数在区间内的图象可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因为导数的几何意义，函数在区间内是单调递减函数，说明切线的斜率在逐渐变小，所以原函数应该是上凸的函数，可知B正确；故选B考点：导数的几何意义以及利用导数几何意义判断函数的大致图像8.正方体的棱长为，点在且，为的中点，则为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用坐标关系求得线段的长度。【详解】建立如图所示的空间直角坐标系则N(a，a，a)，C1（0，a，a），A（a，0，0）因为所以所以 所以 所以所以选A【点睛】本题考查了空间直角坐标系的简单应用，利用坐标求得线段长度，属于基础题。9.若函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质.下列函数中具有性质的是（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】若函数图象上存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直，则函数的导函数上存在两点，使这两点处的导数值乘积为1，进而可得答案【详解】函数yf（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数yf（x）的导函数上存在两点，使这两点处的导数值乘积为1，选项A:ylnx，y0恒成立，不满足条件；选项B:ysinx，ycosx，满足条件；选项C:yex时，yex0恒成立，不满足条件；选项D:当yx3时，y3x20恒成立，不满足条件；故选：B【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查函数值域的求法，是中档题10.若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小值为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题，令：解得；。 曲线上距离最近的点坐标为则距离为：考点：导数的几何意义及点到直线距离的算法和运动变化的思想.11.如图，已知正三棱柱的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 0【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则：,，向量,， .本题选择C选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件构造函数g（x），求函数导数，判断函数单调性和奇偶性，将不等式进行转化求解即可【详解】设g（x），则g（x），当x0时，xf（x）f（x）0，当x0时，g（x）0，此时函数g（x）为增函数，f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，即当x0时，g（x）为减函数f（1）0，g（1）g（1）0，当x0时，f（x）0等价为g（x）0，即g（x）g（1），此时x1，当x0时，f（x）0等价为g（x）0，即g（x）g（1），此时1x0，综上不等式的解集为（1，0）（1，+），故选：A【点睛】本题考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性，以及将不等式进行转化是解决本题的关键第卷（选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数，则 的值为_.【答案】2.【解析】【分析】根据导数的定义知，求导计算可得答案.【详解】根据导数定义知,由，所以，则故答案为：2【点睛】本题考查导数的定义，导数的求导法则，考查计算能力，属于基础题.14.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为_.【答案】4【解析】试题分析：先根据题意画出图形，得到积分上限为，积分下限为，曲线与直线在第一象限所围成饿图形的面积是，即围成的封闭图形的面积为考点：利用定积分求解曲边形的面积.15.如图，棱长为2的正方体中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是_【答案】【解析】在正方体中，因为平面MCD1平面DCC1D1CD1，所以平面MCD1平面ABB1A1MN，且MNCD1，所以N为AB的中点（如图），所以该截面为等腰梯形MNC1D1；因为正方体的棱长为2，所以MN，CD1，MD1，所以等腰梯形MNCD1的高MH，所以截面面积为.考点：面面平行的性质定理的运用.16.设f（x）是的导数某同学经过探究发现，任意一个三次函数（）都有对称中心，其中满足已知，则_【答案】4036.【解析】【分析】先求f（x）的解析式，再求f（x），由f（x）0 求得对称中心的横坐标，代入解析式求得纵坐标，由对称中心的坐标分析得f（x）+f（1x）4，计算可得答案【详解】根据题意，对于函数，有f（x）x2x+3，f（x）2x1由f（x）0，即2x10，即x，又由f（）2，即函数的对称中心为（，2），则有f（x）+f（1x）4，则=410094036；故答案为：4036【点睛】本题考查利用导数研究三次函数的对称中心、函数求和，考查推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知函数在处取得极值（1）求实数的值；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，由题意可知是导函数等于零的两个根，利用韦达定理可以求出实数的值；（2）判断点在不在函数图象上，如果不在，设切点，求出切线斜率，写出切线方程，把点坐标代入，求出切点坐标，也就求出切线方程，如果在，就直接根据导函数，求出斜率，写出切线方程。【详解】解：（1）由题意知 是方程的两个根，由韦达定理：，解得：.经检验满足题意.(2)由(1)可知：因点不在函数图象上，故设切点为则所以切线方程为：即： 过点则：切线方程为：【点睛】本题考查了已知函数极值的情况，求参数问题。重点考查了过已知不在函数图象上的点的切线方程的问题。18.如图，底面 是边长为1的正方形，平面，与平面所成角为60.（1）求证： 平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知可得且，由线面垂直的判定定理即可得到证明；（2）以为原点，方向为x轴，方向为y轴，方向为z轴建立空间直角坐标系，利用已知条件求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式计算即可.【详解】（1）证明：平面，平面，所以，又底面是正方形，.，平面.（2）解：两两垂直，以为原点，方向为x轴，方向为y轴，方向为z轴建立空间直角坐标系，由已知可得，由，可知.则， ,.设平面一个法向量为，则，即令，则.平面，则为平面的一个法向量，二面角为锐角，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查空间向量在立体几何中的应用，求解二面角大小的关键是正确解出两个半平面的法向量，然后由法向量的夹角得出二面角的大小。19.已知函数.求的单调区间；若在处取得极值，直线y=与的图象有三个不同的交点，求的取值范围。【答案】【解析】略20.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍（1）若，则仓库的容积是多少；（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？【答案】(1)312(m3)(2) 2m【解析】试题分析:（1）先根据锥体体积求正四棱锥体积，再根据柱体体积公式求正四棱柱体积，最后求和得仓库的容积（2）先根据体积公式建立关于PO1三次函数关系式，再利用导数求函数最值试题解析：(1)由PO12知O1O4PO18.因为A1B1AB6，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)(2)设A1B1a m，PO1h m，则0h6，O1O4h.连接O1B1.因为在RtPO1B1中，O1BPOPB，所以2h236，即a22(36h2)于是仓库的容积VV柱V锥a24ha2ha2h (36hh3)，0h6，从而V (363h2)26(12h2)令V0，得h2或h2 (舍),当0h0，V是单调递增函数；当2h6时，V0，V是单调递减函数故h2时，V取得极大值，也是最大值因此，当PO12 m时，仓库的容积最大点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小21. 如图，四棱锥PABC中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（）证明MN平面PAB;（）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【答案】（）详见解析；（）【解析】试题分析：（）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判定定理可证；（）以为坐标原点，的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系，然后通过求直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值来求解与平面所成角的正弦值试题解析：（）由已知得.取的中点，连接，由为中点知，.又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（）取的中点，连结.由得，从而，且.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，.设为平面的一个法向量，则即可取.于是.【考点】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理22.已知函数。（1）若函数在处的切线垂直于轴，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数的单调区间；（3）若时，恒成立，求实数的取值范围【答案】（）；（）的单调递增区间为，单调递减区间为；（）实数的取值范围为【解析】试题分析：此题考查导数求解的综合问题（）应用导数的几何意义，首先求函数的导数，以及在切点处的导数，然后根据，求解参数；（）利用导数求函数的单调性的方法，第一步，根据上一问得到函数的导数，将导数化简，第二步，求解，和的不等式，就是对应函数的单调区间，注意函数的定义域；（）处理此类不等式恒成立的问题，有两种方程，第一种，反解参数，转化为求函数的最小值，同样是求函数的导数，求函数的单调区间，确定最小值；第二种，转化为求，所以方法就是求函数的导数，讨论函数的极值点的存在问题，确定单调性，求函数的最小值大于0.试题解析：（