高中数学《平面向量应用举例》教案11 新人教A版必修4

2.5.1平面几何中的向量方法教学目的：1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.；3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性. 教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”.教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.教学过程：一、复习引入：1. 向量平行与垂直的判定: 2. 平面内两点间的距离公式： 求模： 3. 夹角公式cosq =所代表的几何特征，所以，向量在几何中有非常重要的应用。二、讲解新课：例1. 已知AC为O的一条直径，ABC为圆周角.求证：ABC90o.证明：设 相应练习：证明勾股定理、菱形的对角线相互垂直。例2. 如图，AD，BE，CF是ABC的三条高.求证： AD，BE，CF相交于一点.例3. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？思考1：如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？ 思考2：运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.例4如图， ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、 BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？课堂小结用向量方法解决平面几何的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.课后作业1. 阅读教材P.109到P.111; 2. P108 B组第4、5题2.5.2向量在物理中的应用举例教学目的：1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会数学在现实生活中的作用. 教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.教学过程：一、引入：向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决.因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题.二、讲解新课：例1. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？探究1：(1)q为何值时，|最小，最小值是多少?(2)| |能等于|吗?为什么?探究2:你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获得：求出数学模型的有关解理论参数值；(4)问题的答案：回到问题的初始状态， 解决相关物理现象.例2. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d500 m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|10 km/h，水流速度|2 km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1 min）？思考:1. “行驶最短航程”是什么意思？2. 怎样才能使航程最短？3P113 B组第2题 备用例题.（2020湖南卷19）（本小题满分13分）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C. （I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解: （I）如图，AB=40，AC=10，由于,所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行驶速度为（海里/小时）.（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1= AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.又点E（0，-55）到直线l的距离d=所以船会进入警戒水域.解法二: 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在ABC中，由余弦定理得，=.从而在中，由正弦定理得，AQ=由于AE=5540=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在Rt中，PE=QEsin=所以船会进入警戒水域.三、课堂小结1. 向量解决物理问题的一般步骤:(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获得：求出数学模型的有关解理论参数值；(4)问题的答案：回到问题的初始状