高中数学第一章计数原理1.5二项式定理浅谈杨辉三角的奥秘及应用素材苏教版选修2_3

浅谈杨辉三角的奥秘及应用摘要 文中阐述了杨辉三角中蕴涵的一些优美的规律及利用杨辉三角在以其为背景的一些现实生活问题中的应用来培养解决问题的思维能力。关键词 杨辉三角，最短路径 ，错位 ，幂0 引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他著的详解九章算法一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果。随着素质教育的提倡，新课程标准的颁布，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系，那如何解决这些以“杨辉三角”为背景的问题呢？这就需要我们对杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律进行探讨和研究。1 杨辉三角与数字11的幂的关系我们知道初中时老师要求我们背11的幂，11的1次幂、2次幂、3次幂还好背，后面就难起来了。后来我受到一位老师的启发，并且查看了这方面有关资料，发现杨辉三角与11的n次幂的关系非常密切。假设y=11n当n=0时： y=1；当n=1时： y=11；当n=2时： y=121；当n=3时： y=1331；当n=4时： y=14641；以上是当n4时与扬辉三角的前5行多一致，接下来我们再来看一下当n5时的情况，如下：当n=5时： 1 4 6 4 1 1 1 1 4 6 4 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1当n=6时： 1 5 10 10 5 1 1 11 5 10 10 5 11 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1由上可知：11的n次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等（证明还有待证明）即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图形。如下图：1 (110)1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116)其实这个关系我们早就学习过了，只是用另一种方式表达而已。我们知道初中时老师教我们记11的幂时，有一句口诀：头尾不变(即为1)，左右相加放中间。其实是错位相加，而扬辉三角中头尾为1，中间的数是其肩上的两数之和，也是错位相加得到的。2 杨辉三角与2的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )我们知道相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂。刚好与高中时学的杨辉三角的性质相符合，归纳如下：1与二项式定理的关系：杨辉三角的第n行就是二项式展开式的系数列。2对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”，即。3结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，即。利用以上的性质我们可以预测杨辉三角中任意一行的数字的情况。3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系为了讲解方便我们先讨论杨辉三角中n为前7行时的情况。分别为每一斜行标号，如图所示：(1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=61 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。 11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1由上面可猜想得到：杨辉三角中n行中的第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和，即第n行的数分别为1、斜行(1)中第n行之前的数字之和、斜行(2)中第n行之前的数字之和、斜行(3)中第n行之前的数字之和、斜行(4)中第n行之前的数字之和、斜行(n-3)中第n行之前的数字之和、1。证明结论：假设当n=k时成立，即第k行的数分别为1、斜行(1)中第k行之前的数字之和、斜行(2)中第k行之前的数字之和、斜行(3)中第k行之前的数字之和、斜行(4)中第k行之前的数字之和、斜行(k-3)中第k行之前的数字之和、1。则n=k+1时因为杨辉三角中的每一个数是它肩上的两数之和所以第k+1行的第一个数为：1第k+1行的第二个数为：第k行的第一个数1与第二个数之和因为第k行的二个数等于斜行(1)中第k行之前的数字之和所以第k行的第一个数1与二个数之和就等于斜行(1)中第k+1行之前的数字之和。同理可得到第k+1行的第三个数为：斜行(2)中第k+1行之前的数字之和。第四个数为：斜行(3)第k+1行之前的数字之和、综上所述结论成立。假如我们将杨辉三角由等腰三角形改变为等腰直角三角形，划斜率为 1 的直线，再来考虑，斜率为1的直线上的字数之和又有什么规律？可以发现这些数字为1，1，2，3，5，8，13，21，从第3项起每一项都是前两项之和。这就是著名的菲波那契数列。菲波那契在1902年提出了一个有趣的问题：“假定每对大兔每月生产一对小兔，而每对小兔过一个月能完全长成大兔，问一年里面由一对大兔能繁殖出多少对大兔来。”我们感兴趣的是大兔的对数组成的数列，原来有大兔一对，设为 =1，一个月后一对小兔出生，但是大兔还是一对，=1 ， 2个月后小兔长大，而大兔又生了一对小兔， =2 这样下去， =3 ， =5 而假设第n个月后大兔对，n+1个后大兔为对，那么第n+1个月时，原来的对大兔又生出了对小兔，所以第n+2个月大兔有=+ ，所以具有这样的规律。4 以杨辉三角为背景的问题分析由上可知，在古老的杨辉三角中存在着很多奥秘，如果把他的这种性质合理的应用到现实生活中或者是教学中，将会让我们更进一步的认识到杨辉三角的美妙及杨辉三角这一伟大的发现的现实意义。4.1杨辉三角在弹球游戏中的应用如图1的弹球游戏，小球向容器内跌落，碰到第一层挡物后向两侧跌落碰到第二层阻挡物，再向两侧跌落第三层阻挡物，如此一直下跌最终小球落入底层。根据具体地区获的相应的奖品（AG区奖品最好，BF区奖品次之，CE区奖品第三，D 区奖品最差）。 A B C D E F G图1我们来分析一下为什么小球落到不同区域奖品会有如此大的差别？A区的奖品价值高于D区，说明小球落入A区的可能性要比落入D区的可能性小，转化为数学问题就是小球落入A区和D区的概率。小球要落入D区的情况有两种，有概率知识得：D1 D2D就是说，小球落入D区的概率是等于它肩上两区域概率之和的，据此小球落入各区的概率为可以按以上方法类推，如下： A B C D E F G图2观察上图，小球落到AD两区的概率要比其它区域小的多，当然奖品就要多一些。从该图中不难发现各区域的概率分子与杨辉三角形完全一致，我们可以利用杨辉三角的性质直接得出小球落到AD两区的概率要比其它区域小的多。该题是一道将杨辉三角的性质与概率的性质结合在一起而设置的一种游戏。可想而知，技术人员在设置这个游戏时利用杨辉三角和概率的某些性质而制成的。这是个令人惊喜的游戏，它为课堂教学提供了一个生动的实例。4.2路径中的杨辉三角小红家到学校之间有很多的交叉路口，每一个交叉路口都有两条路可以走如图3，一天小红有事需要尽快回家，可是小红却不知该走那条路好，请帮小红找出一条最近的路。解：如图4（为了讨论方便我们把家看成甲地，学校看成乙地。）从甲地到乙1地有2种走的方法。 甲 图4 乙1如图5，从甲地到乙2地有3种走的方法，等于到乙1的走法加上1。甲 图5 乙2如图6，从甲地到乙3地有3种走的方法，刚好是到乙2的走法加上1。甲 112图6 乙3如图7，从甲地到乙4地有6种走的方法，刚好是到乙2的走法加上到乙3的走法。甲 图7 乙4随着甲乙两地之间距离的增大，从甲地到每一个交叉点的走法如图8所示：甲 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3 6 10 15 21 28 36 1 4 10 20 35 56 84 1 5 15 35 70 1261 6 21 56 1261 7 28 841 8 361 91图8上图所示从甲到每一个交叉点的走法与杨辉三角很相似，由此当我们遇到如上所示的路径的问题我们可以根据杨辉三角来确定它到另一端的走法。其实这个图形在西方数学史上已有记载，它就是法国数学家帕斯卡发现的被世人称为“帕斯卡三角形”。从该图中我们很容易得到二项式任意正整次幂的系数展开。记得华东师大的霍益萍教授讲过：“时间的开放，形式的开放，都是次要的，重要的是思维的开放，思想的开放。” 夸美纽斯也有一句名言：“教一个活动的最好办法是演示。”演示是直观教学的一种，而直观的东西一般容易被人接受。我们常说，发现一个问题往往比解决问题更重要，而“发现”靠的并不都是逻辑思维，直观性的思维有时能出奇制胜。在数学教学中强化直观教学，也许可以使沉闷的课堂教学活泼起