高中数学第四章数系的扩充与复数的引入4.1数系的扩充与复数的引入4.1.1数的概念的扩展知识导航素材北师大版选修1_2

4.1.1数的概念的扩展自主整理1.把平方等于-1的数用符号i表示,规定i2=-1,把i叫作_.2.形如a+bi的数叫作_(a、b是实数, i是虚数单位).记作z=a+bi(a、bR).3.对于复数z=a+bi,a与b分别叫作复数z的_与_,并且分别用_与_表示,即a=_,b=_.4.复数的全体组成的集合叫作_,记作_,显然,_.5.z=a+bi中,当_时,z为实数;当b0时,z为虚数;当a=0,b0时,z为纯虚数.高手笔记1.数集之间的包含关系:NZQRC.可用图示表示:2.复数的分类:复数a+bi3.复数a+bi=0的充要条件为a=b=0.4.复数z=a+bi(a、bR)的实部、虚部分别是a、b,而虚部不是bi名师解惑如何判断含有参变量的复数是实数,虚数,纯虚数?剖析：对于复数z=a+bi何时为实数,虚数,纯虚数?应按定义来加以判断.首先,应看a、b取值是aR,bR,还是aC,bC.若aR、bR,则a为实部,b为虚部;若aC,bC,则还应进一步进行运算求得z的实部、虚部.其次注意纯虚数应满足两条,即实部为0,虚部不为0.特别是虚部不为0,易漏掉而出错.讲练互动【例1】指出下列各数中,哪些为实数,哪些为虚数,哪些为纯虚数.3+,i,0,i,i4,3i-2,10i,i(-),i2,-i.解：实数有3+,0, i4,i2;虚数有3i-2,10i,-i, i, i (-);纯虚数有i, i, i (-).绿色通道把握复数的实部、虚部的概念及实数、虚数、纯虚数的定义,作出正确的分类.变式训练1.指出下列复数的实部和虚部.-i,3+i,(+3)i,-i2,i-1,0,5+.解:-i的实部为,虚部为-1;3+i的实部为3,虚部为;(+3)i的实部为0,虚部为+3;-i2的实部为1,虚部为0;i-1的实部为-1,虚部为;0的实部为0,虚部为0;5+的实部为5+,虚部为0.【例2】实数k为何值时,复数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i分别是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)零?分析：根据复数的分类,弄清一个复数满足什么条件分别为实数、虚数、纯虚数,分清复数的实部、虚部.解：(1)当k2-5k-6=0,即k=6或k=-1时,复数z为实数.(2)当k2-5k-60,即k6且k-1时,复数z为虚数.(3)当由得k=4或k=-1.由得k6且k-1,当k=4时,z为纯虚数.(4)当即k=-1时,z=0.绿色通道由复数z的实部、虚部的取值来确定复数z是实数、虚数、纯虚数.在解题时关键是确定z的实部、虚部,并要注意纯虚数的概念满足两条:实部为零,虚部不为零.变式训练2.实数m为何值时,复数z=+(m2-2m-15)i(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数;(4)是零?解:(1)当即即m=5时,z为实数.(2)当即m5且m-3时,z为虚数.(3)当由得m=5或m=-1且m-3,即m=5或m=-1;由得m5且m-3.当m=-1时,z为纯虚数.(4)当由得m=5或m=-1且m-3,由得m=5或m=-3.当m=5时,z为零.【例3】复数z=log2(x2-5x+4)+ ilog2(x-3),当x为何实数时,(1)zR;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数?分析：依照复数分类求解此题,但要注意对数函数本身的要求.解:(1)当即无解.不存在x使zR.(2)z为虚数,则x4当x4时,z为虚数.(3)当由得x=或x=,由得x3,由得x4,当x=时,z为纯虚数.绿色通道本题考查了复数的分类及对数函数的定义域,解决此类题时,既要注意复数概念的要求,又要注意实数x的范围.变式训练3.设复数z=lg (m2-2m-2)+(m2+3m+2) i,mR.当m为何值时,z是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数?解:(1)当由得m=-1或m=-2都满足.当m