高二数学《抛物线》知识精讲 人教版

高二数学抛物线知识精讲 人教版一. 本周教学内容： 抛物线 教学目标： 1. 理解并掌握抛物线的定义及其标准方程。 2. 理解并掌握抛物线的性质，并会画图。 3. 掌握抛物线单元中的相关知识，并会综合应用。 能力训练： 1. 掌握抛物线的定义及标准方程、几何性质的综合应用。 2. 会求轨迹方程及抛物线的实际应用问题。 3. 准确把握抛物线标准方程的四种形式，进一步巩固待定系数法。 4. 进一步培养学生数形结合的能力，并能灵活运用常用的一些数学变换方法解决综合性问题。 教学过程： 知识提要： 1. 抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫抛物线的焦点，直线l叫抛物线的准线。 2. 抛物线的标准方程： （1）顶点在原点，焦点在x轴正半轴上：y2=2px，（p0）。 （2）顶点在原点，焦点在x轴负半轴上：y2=2px，（p0）。 （3）顶点在原点，焦点在y轴的正半轴上：x2=2py，（p0）。 （4）顶点在原点，焦点在y轴负半轴上，x2=2py，（p0）。 3. 抛物线的几何性质： （1）焦点在x轴正半轴上的抛物线y2=2px，（p0）的几何性质： 范围：x0，yR。 对称性：图形关于x轴对称。 顶点：0（0，0）。 离心率：e=1。 说明：其实从图形上就可以反映前三条性质，下面列表给出四种形式的性质：二. 重点、难点： 重点：抛物线的定义，标准方程，几何性质的综合运用。 难点：抛物线的几何性质在解题及证题中的运用。【典型例题分析】 例1. 选择题： 1. 抛物线y=ax2（a0）的焦点坐标是（ ） 解： 可知抛物线的焦点在y轴上。 2. 经过点P（4，2）的抛物线的标准方程为（ ） 解：点P（4，2）在第四象限。 抛物线的标准方程为：y2=2px，（p0）或x2=2py，（p0） 将点P（4，2）代入方程。 （2）2=8p1 或42=4p2 所求抛物线的标准方程为：y2=x或x2=8y 选C。 3. 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2），如果x1+x2=6，则|AB|的值为（ ） A. 10B. 8C. 6D. 4 解：y2=4x 2p=4，p=2。 由抛物线定义知：|AF|=x1+1，|BF|=x2+1 |AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=6+2=8 选B。 4. 过已知点A（0，p）且与抛物线y2=2px(p0)只有一个公共点的直线会有（ ） A. 1条B. 2条C. 3条D. 无数条 解：当直线的斜率不存在时，则过点A（0，p）的直线恰为y轴，此时抛物线与直线只有一个公共点。 当过A（0，p）的直线斜率存在时，设方程为y=kx+p 选C。 例2. 直线l：y=kx+1，抛物线C：y2=4x，当k为何值时，l与C相切、相交、相离。 解： （1）当=0时，即k=1时，l与C相切。 （2）当0时，即k1时，l与C相交。 （3）当1时，l与C相离。 当k=0时，l：y=1与y2=4x相交。 注：直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要但不充分条件。 例3. 顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x2y1=0截得的弦长为 解：依题意设抛物线方程为：x2=a y（a0）， 直线与抛物线有两个交点。 设直线与抛物线的两个交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2） 所求抛物线方程为x2=4y或x2=12y。 例4. 在抛物线y2=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A（3，2）的距离之和最小。 解：由抛物线定义知：|PF|=|PQ| |PF|+|PA|=|PQ|+|PA| 显然当P、Q、A三点共线时， |PQ|+|PA|最小。A（3，2）， 设P（x0，2）代入y2=2x得x0=2，P（2，2）。 例5. 在抛物线y=4x2上求一点，使这点到直线y=4x5的距离最短。 解法一：设抛物线上任意一点坐标为P（x，4x2）， 则点P到直线y=4x5的距离是： 解法二：由数形结合可知，所求点应为与直线y=4x5平行且与抛物线y=4x2相切时的切点。 设平行于直线y=4x5的切线为y=4x+b。 直线与抛物线相切， 例6. 某遂道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如图所示。某卡车空车时通过，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱高共4.5米，此车能否通过遂道？并说明理由。 解：取隧道横断面抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系。 方程：x2=2py，（p0）。 依题意A（3，3）在抛物线上，9=2p（3） 又车与箱共高4.5米，过顶部且平行x轴的直线方程为 这时卡车不能通过遂道。【模拟试题】 1. 顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x4所得的弦长|AB|，求此抛物线的方程。 2. 在抛物线y2=x上求一点，使它到直线x2y+4=0的距离最小。 3. 若点F是抛物线y2=2x的焦点，点A（2，1），点P在抛物线上动，当|PA|+|PF|最小时，求点P的坐标。 4. （2001年高考题）设抛物线y2=2px，（p0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴，求证：直线AC经过原点O。参考答案 1. 分析：研究直线与抛物线的弦长问题，通常不求弦的端点坐标。 而是由方程组一元二次方程有两个实根， 再由韦达定理解答，弦长公式： 解：设所求抛物线方程为：y2=ax（a0），A（x1，y1），B（x2，y2） 由 又 a=4或a=36。 所求抛物线方程为：。 2. 提示：可以参看例5。 答案