黑龙江省青冈县一中2020学年高一数学下学期期中试题 理（A卷含解析）

黑龙江省青冈县一中2020学年高一数学下学期期中试题 理（A卷，含解析）一.选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 不等式2x3x20的解集是()A. x|1x3 B. x|3x1C. x|x1或x3 D. x|x3【答案】A【解析】【分析】把不等式2x+3x20化为（x+1）（x3）0，求出解集即可【详解】不等式2x+3x20可化为x22x30，即（x+1）（x3）0；解得1x3，不等式的解集是x|1x3故选：A【点睛】解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集2. 已知菱形ABCD的边长为a，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题意得，设，根据向量的平行四边形法则和三角形法则，可知，故选D.考点：向量的数量积的运算.视频3. 在等差数列中， ，则（ ）A. 8 B. 12 C. 16 D. 20【答案】A【解析】由题意，数列为等差数列，结合等差数列通项公式的性质得，则，所以.故选A.4. 已知与均为单位向量，它们的夹角为60，那么（）A. B. C. D. 4【答案】C【解析】，所以.5. 已知数列是等差数列， ，其中公差 .若是和的等比中项，则 ( )A. 398 B. 388 C. 189 D. 199【答案】C【解析】由题意可得 公差 代入数据可得 ，解得 ，故选C6. 下列不等式中成立的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】D【解析】试题分析：A中当时不成立；B中若不成立；C中不成立，所以D正确考点：不等式性质7. 等比数列的前n项和为，则r的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】当时,当时，所以，故选B.8. 若O为ABC所在平面内任一点，且满足，则ABC的形状为（ ）A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，结合题意可得出ABC是等腰三角形【详解】因为（）（+2）=0，即（+）=0；又因为=，所以（）（+）=0，即|=|，所以ABC是等腰三角形故选：B【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，属于中档题9. 如图，网格纸上正方形小格的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（ ）A. 9 B. 8 C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，侧棱PA底面ABC，底面三角形ABC为等腰三角形，直接求出最长棱的长度得答案【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，侧棱PA底面ABC，底面三角形ABC为等腰三角形，可得PC=该几何体的最长棱的长度为9故选：A【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10. 在数列中，则的值为A. -2 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知数列递推式依次求出数列前几项，可得数列是以3为周期的周期数列，则答案可求【详解】，可得an+3=an，a2020=a3672=a3=，故选：B【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项11. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,则此球的表面积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过已知条件求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，求出球的半径，然后求出球的表面积【详解】在ABC中AB=AC=2，BAC=120，可得BC=2由正弦定理，可得ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，易得球半径R=，故此球的表面积为4R2=20故选：A【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 12. 在扇形AOB中， ，C在弧AB上，且，则x与y满足关系式 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】建立如图所示的直角坐标系，不妨设r=1A（1，0），B设C（m，n），=x+y，可得，即可得出【详解】建立如图所示的直角坐标系，不妨设r=1A（1，0），B设C（m，n），=x+y，则，则m2+n2=+=1，化为：x2xy+y2=1故选：A【点睛】本题考查了平面向量基本定理、圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. f(x)ax2ax1在R上满足f(x)0，b0.若是3a与3b的等比中项，则的最小值为_.【答案】4.【解析】【分析】是3a与b的等比中项，=，化为a+b=1再利用基本不等式的性质即可得出【详解】是3a与3b的等比中项，=，化为a+b=1a0，b0，则=2+2=4，当且仅当a=b=时取等号故答案为：4【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误15. 用不过球心O的平面截球O，截面是一个球的小圆O1，若球的半径为4 cm，球心O与小圆圆心O1的距离为2 cm，则小圆半径为_cm.【答案】.【解析】【分析】根据圆心，球心以及球上任一点构成直角三角形即可求解【详解】由题意，圆心，球心以及球上任一点构成直角三角形，球的半径为4cm，球心O与小圆圆心O1的距离为2cm，则R2=4+r2，解得：r=2，故答案为：【点睛】本题考查圆心，球心以及球上任一点构成直角三角形的性质，考查方程思想，比较基础16. 数列an中，已知对任意 , ，则等于_.【答案】.【解析】 ， ，-得：，当时，符合上式，是以为首项，为公比的等比数列，故答案为.三 解答题（共70分）17. 解下列关于x的不等式：（1）； （2）x2-ax-2a20（aR）【答案】(1) x丨2x.(2)见解析.【解析】【分析】（1）等价转化为整式不等式解之；（2）讨论字母a，解一元二次不等式【详解】（1）将原不等式化为0，即（2x-7）（x-2）0（x2），2x，所以原不等式的解集x丨2x（II）当a=0时，不等式的解集为（0）；当a0时，不等式等价于（x+a）（x-2a）0，因此 当a0时，-a2a，-ax2a，当a0时，-a2a，2ax-a综上所述，当a=0时，不等式的解集为（0）当a0时，不等式的解集为x丨-ax2a当a0时，不等式的解集为x丨2ax-a【点睛】解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类18. 若向量=（1，1），=（2，5）， =（3，x）.（1）若，求x的值；（2）若，求x的值.【答案】（1）.（2）-6.【解析】【分析】（1）利用向量平行的代数形式得到x的值；（2）由数量积的坐标形式得到x的方程，解之即可.【详解】（1），2x15=0，解得x=（2）8=（6，3），（8）=30，18+3x=0，解得x=6【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决列出方程组求解未知数.19. .已知正项等比数列的前n项和为，且， .（）求数列的通项公式；（）若，数列的前项和为，求满足的正整数的最小值.【答案】(1) .(2)5.【解析】(1)由题意知,得,设等比数列的公比为,又,化简得,解得.(2)由(1)知,.,.令,得,解得,满足的正整数的最小值是5.20. 如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，AA1=2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M.求：(1)三棱柱侧面展开图的对角线长；(2)从B经M到C1的最短路线长及此时的值.【答案】(1) .(2)1.【解析】【分析】（1）正三棱柱ABCA1B1C1的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形，直接可以求出对角线长；（2）将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接DC1交AA1于M，则DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线，求出DC1和的值即可；【详解】沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1B(如下图).(1)矩形BB1B1B的长BB=6，宽BB1=2.所以三棱柱侧面展开图的对角线长为=2.(2) 如图，将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接DC1交AA1于M，则DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线，其长为DMAC1MA1，AM=A1M，故【点睛】本题考查了最短路线长问题，主要思想是把空间问题平面化，在平面上利用两点之间线段最短得到答案(即化曲为直的思想).21. 已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项和Tn.【答案】(1) bn3n1.(2) Tn3n.【解析】试题分析：（1）首先根据求出的通项公式，设数列的公差为，列出和的方程组，解出即可；（2）根据（1）可得数列的通项公式，利用错位相减法求得结果.试题解析：(1)由题意知，当时，.当时，符合上式，所以.设数列的公差为，由即，可解得，所以.(2)由(1)知，又，得，.两式作差，得 ，所以.点睛：本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.22. 已知数列的首项为2，前项和为，且.（1）求的值；（2）设，求数列的通项公式；（3）求数列的通项公式；【答案】(1).(2) .(3) .【解析】试题分析：（1