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文档简介
两角差的余弦公式教案一、教学目标1、知识目标通过两角差的余弦公式的探究,让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式,并用之解决简单的数学问题,为后面推导其他和(差)角公式打好基础。2、能力目标通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式,让学生体会利用联系的观点来分析问题,解决问题,提高学生逻辑推理能力和合作学习能力3、情感目标使学生经历数学知识的发现、创造的过程,体验成功探索新知的乐趣,获得对数学应用价值的认识,激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。二、教学重点、难点重点:通过探索得到两角差的余弦公式。难点:探索过程的组织和适当引导。三、教学过程yOxAB(一) 问题引入(1) 任意角的三角函数的定义?(2) 若角与的终边与单位圆的交点分别是A,B,则(二) 公式探究第一步,明确探究途径与目的提示学生联系与角的余弦相关的知识点,明确以向量运算中的数量积与三角函数线作为研究途径。如右图,在单位圆中作出角,它们的终边与单位圆分别交于A、B两点,先假设,且,提出以下问题:(3) 此时的取值范围是多少?(4) 图中哪个角可以表示?(5) 可以看作是哪两个向量的夹角?(问题设计目的:在探究公式的过程中,教材不要求学生做到一步到位。首先对角选择较为特殊的范围来进行探究,能让学生从整体上感知本节课所要探究的途径与目的,让大部分学生都参与到探究中来,避免部分学生一开始就感觉到困难,提不起向下探究的兴趣。)第二步,复习相关知识(1)向量的数量积运算(强调向量夹角的范围)(2)三角函数线(结合图形,特别要强调方向问题)第三步,推导公式在证明公式之前先引导学生结合三角函数知识写出点A、点B的坐标。证明:在平面直角坐标系XOY内作单位圆O,以OX为 始边作角,其中,且,它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B,则 由向量数量积的坐标表示,有: 由,且知,那么向量的夹角就是,由数量积的定义,有于是 (1) 由于我们前面的推导均是在,且的条件下进行的,因此(1)式还不具备一般性。事实上,只要,所表示的就是向量的夹角。(这一点可以结合图形作出说明。) 但是,若,(1)式是否依然成立呢?当时,设与的夹角为,则另一方面,于是所以也有 综上所述,得出公式:对任意的,(说明:公式的推导遵循由浅入深,由特殊到一般,逐层深入的规律,这样安排,能让更多学生参与到探究当中。教材当中对公式给出了两种证明方法,一是几何方法,一是向量方法。几何方法的推导过程较为繁难,教材仅仅对特殊情况作了分析,而向量方法则显得更加直观和简洁。为了让学生体验向量工具的优点,可以布置学生在预习时按照教材的思路采取几何方法进行证明。)第四步,公式的记忆让学生自己总结公式的特点,便于记忆。注: 1.公式中两边的符号正好相反(一正一负);2.式子右边同名三角函数相乘再加减,且余弦在前正弦在后;3.式子中、是任意的。(三) 例题讲解例1 利用差角余弦公式求。解:方法一:方法二:(设计意图:此题是对公式的直接应用,体现了角的拆分的思想。拆分的多样性,体现了变换的多样性。求解的过程可以完全由学生独立完成。)思考:如何求?(设计意图:由的值求的值,为后面变换函数种类的思考作出铺垫。)课后练习1例2 解题思路: 解:由,得又由是第三象限角,得所以 =(设计意图:此题是应用、理解公式的基础练习,解此题需要思考使用公式前应作出的必要准备,要作出这些必要的准备,需要运用到同角三角函数的知识。解题时必须强调解决三角变换问题的基本要求:思维的有序性和表述的条理性。)思考:如果去掉条件中的,对题目和结果有没有影响?(设计意图:让学生学习分类讨论的思想,提高表达能力。)课后练习3例3已知都是锐角,求 的值。(设计意图:此题是对公式的活用,由学生讨论解决。此题一般有两种方法可以求解。一种方法是把分解,此公式还没推导,但部分学生可能会把看作,然后用两角差的余弦公式分解,再结合同角三角函数的基本关系求解。这种方法虽然较繁,但却让学生在无意当中发现了两角和的余弦公式。另一种方法是把看做两角差,即,这种方法显然计算要简单得多。通过不同方法的讲解,鼓励学生从不同的角度思考问题,并指引学生在考试中选择较为简便的方法解题。)(四) 当堂检测1. 的值为 ( C )A. B. C. D. 2. 的值为 ( B )A. B. C. D .3.已知,则的值等于( B )A. B. C. D. 4.化简= 5.若,则=(五)小结1.两角差的余弦
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