概率统计电子教案(6).ppt

2.4二维随机变量及其分布如果每个样本点与一对有序实数之间有某种一一对应关系，那么就是二维随机向量。如果每个样本点与一组(含n个)有序实数之间有某种对应关系，那么就是n维随机向量。本节主要讨论二维随机向量取值的统计规律性(即分布)。对于n维随机向量，这些内容同样适用。,一、联合概率函数定义2.2给定一个随机试验，是它的样本空间，如果对中的每一个样本点，有一对有序实数与它对应，那么就把这样一个定义域为，取值为有序实数的变量称为二维随机变(向)量。如果一个二维随机变量只可能取有限个或可列无限个向量值(即它的值域是一个二维有限集或可列无限集)，那么我们便称这个随机变量为(二维)离散型随机变量。,定义2.3假定的值域为我们称为二维随机变量的概率函数(或分布律，或概率分布)，或者称它为随机变量X与Y的联合概率函数(或联合分布律，或联合概率分布)。,易见，应该满足下列两个条件：(i)；(ii)的联合概率函数常用下列表格来表示：,例1一个口袋中装有5只球，其中4只是红球，1只是白球。采用无放回抽样，接连摸两次。设，第一次摸到红球，第一次摸到白球，第二次摸到红球，第二次摸到白球。试求：（1）X与Y的联合概率函数；（2）。,解（1）由概率的乘法公式：因此，X与Y的联合概率函数见下表,(2)由于事件因此如果采用有放回抽样，那么X与Y的联合概率函数见下表：,例2一个口袋中装有4只球，它们依次标有数字1，1，2，3。采用无放回抽样，接连摸两次。设X、Y表示第一次、第二次摸到的球上标有的数字，试求：（1）X与Y的联合概率函数；（2）。解由题意可知，X、Y的可能取值都为1，2，3；且有,同理可得,所以，X与Y的联合概率函数为（2）思考题：如果采用有放回的抽样，答案如何？,例2一个口袋中装有6只球，其中红球1个，白球2个，黑球3个。现采用无放回抽样，接连摸两次。设X、Y分别表示取出的红球和白球个数，试求：（1）X与Y的联合概率函数；（2）。解由题意可知，X的可能取值为0，1；Y的可能取值为0，1，2；且有X与Y的联合概率函数为,（2）思考题：如果采用有放回的抽样，答案如何？,二、边缘概率函数设的概率函数为X的值域为。按概率的可加性：因此，X的概率函数为,称这个概率函数为X的边缘概率函数(或边缘分布律，或边缘概率分布)。类似地，Y的值域为。按概率的可加性,因此，Y的概率函数为称这个概率函数为Y的边缘概率函数(或边缘分布律，或边缘概率分布)。例1续前面我们有X与Y的联合概率函数。于是可得X与Y的边缘概率函数分别是,顺便指出X与Y虽然概率函数相同(称为X与Y同分布)，但它们是意义不同的随机变量，不能由此误认为“X=Y”，随机事件的概率为如果采用有放回抽样，类似地可以得到X与Y同分布，它们的边缘概率函数与无放回抽样情形下的边缘概率函数是一样的。这表明边缘概率函数不能唯一确定联合概率函数。但联合概率函数却唯一确定了边缘概率函数。,例2设二维随机变量的概率函数如下表，已知。试求常数的值。解由及求得。,例2设随机变量的概率函数为且满足，试求（1）联合概率函数（2）概率,解（1）由已知条件可得（2）概率,2.5随机变量的独立性与条件分布二维随机变量(X,Y)不是两个随机变量X与Y的简单组合，而应把它们看作一个整体，它们与同一个样本点对应。二维随机变量的概率函数不仅说明了作为一维随机变量X、Y取值的统计规律性(边缘分布)，而且还蕴含着X与Y之间的统计联系。这方面的内容便是本节讨论的主题。,一、随机变量的独立性定义2.3设随机变量X,Y的联合概率函数为如果联合概率函数恰为两个边缘概率函数的乘积，即对一切那么就称随机变量X与Y相互独立。,定理2.2随机变量X与Y相互独立的充分必要条件是，对实数轴上任意两个集合，总有定义2.4如果随机变量的联合概率函数恰为n个边缘概率函数的乘积，即对的值域中任意一个值，总有那么就称这n个随机变量相互独立。,从直观上不难看出，当相互独立时，这n个随机变量中的任意个也是相互独立的。特别地，n个随机变量相互独立保证它们两两独立。,二、条件概率函数定义2.5设随机变量的概率函数为对任意一个固定的称为已知发生条件下X（记作“”）的条件概率函数(或条件分布律，或条件概率分布)。,类似地，对任意一个固定的，称为已知发生条件下X(记作“”)的条件概率函数(或条件分布律，或条件概率分布)。这里要注意的是当X与Y相互独立时，立刻可推得：对一切的都成立，此时，任一条件概率函数都与其边缘概率函数相同。,例3设随机向量的联合概率函数为试求：(1)已知事件Y=1发生时X的条件概率函数；(2)已知事件X=2发生时Y的条件概率函数。,解：按条件概率函数的定义，得到（1）所求的X的条件概率函数(其中)为（2）所求的Y的条件概率函数(其中)为,例5已知运载火箭在飞行中，进入它的仪器舱的宇宙粒子数