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4-4非线性振动混沌,4-4-1非线性振动,设一个质点和一个理想弹簧构成一个振动系统,弹性力：,阻力：,驱动力：,系统的运动方程：,令,二阶线性微分方程：,二阶非线性微分方程：,单摆,很小，（5）,得线性方程：,简谐运动,若不是很小，则至少要保留至第二项。,得非线性方程：,相图法：即运用一种几何的方法来讨论非线性问题。,将质点的位置（或角位置）作为横坐标轴；将质点的速度（或角速度）作为纵坐标轴。,相平面：,相：某种运动状态,相点：在相平面内表征运动状态的一个点。,相迹（相图）：相点的运动轨迹（反映运动状态的变化）。,单摆做小角度摆动：,一次积分后,单摆作小角度摆动时，其相迹为一正椭圆。,封闭的相迹表示运动是周期性的往复运动。,小角度阻尼摆动：,一条向内旋进的螺旋线，曲线最终趋向中心点。,吸引子：对应着系统的稳定状态（中心点）。,相图：,小角度受迫摆动：,吸引子（极限环）：对应着系统的稳定状态（椭圆）。,较大角度受迫摆动：,设：,改变驱动力：,单周期振动,双周期振动,非线性动力学方程对初始条件特别敏感，初始条件略微改变，将导致系统最终的运动状态与原来的完全不同。出现了混沌运动。,4-4-2混沌,混沌：发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动。,混沌是非
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