矩阵初等变换的一些性质及应用

矩阵初等变换的一些性质及应用摘要：矩阵的初等变换是线性代数中应用十分广泛的重要工具。文章证明了矩阵初等变换的两个性质, 以此为基础, 归纳说明了矩阵的初等变换在线性代数课程中的应用, 并给出了一些实例。关键词：矩阵 初等变换 性质 应用Abstract: The elementary alternate of matrix is an important tool broadly used in linear algebra. The paper discusses its properties and application.Key w o rd: matrix, elementary alternate, properties, application0 引言矩阵是数域P上的m行n列矩阵,矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行如下的变换:(1) 交换矩阵的两行(列),对调i,j两行,记作（记作）；(2) 以非零数 k 乘矩阵某一行( 列) 的所有元素,第i行（列）乘k,记作k(记作k)；(3) 把某一行(列)所有元素的 k 倍加到另一行(列)对应元素上去，如第j 行（列）的k 倍加到第i行（列）上, 记作+（记作+）。矩阵的初等变换在高等代数课程中有着十分广泛的应用, 也是本课程的基本工具之一。 矩阵的初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用, 只是在使用过程中有所区别。 本文首先证明初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用，再以具体实例说明矩阵初等变换在求极大无关组和秩的应用。一、 初等变换的性质证明定理1 第一种初等变换可以由第二、三种初等变换实施得到。证明: 设是为数域P上的mn 矩阵(i= 1，2，m； j=1，2，n)对矩阵A 施行第二、三种初等行变换: 上述矩阵B 与矩阵A 交换i、j两行后得到的矩阵是相同的。定理证毕。定理2 设是数域P上一个mn 矩阵, 其中 且若A经过初等行变换为矩阵,其中则有证明: 由初等行变换的定义知道方程组与方程组同解，因此，若，则有 证毕。上述定理1 说明只进行两种初等行变换就可以起到三种初等行变换的作用。定理2 说明求一个矩阵中列向量组的线性关系表达式可以通过初等行变换而得到。对于列变换的情形有类似结论。二、初等变换的应用1. 用初等变换求矩阵和向量组的秩由于初等变换不改变矩阵的秩, 且任意一个矩阵均可以经过一系列行初等变换化为梯形矩阵; 因此, 我们要确定一个矩阵的秩, 首先要用行初等变换将其化为梯形矩阵, 然后再由梯形矩阵的秩确定原矩阵的秩.例1 设, 求矩阵的秩.解 因此矩阵的秩为3.如果我们要求向量组的秩, 可以把每一向量作为矩阵的一行, 从而向量组就转化为了一个矩阵, 使求向量组的秩转化成求矩阵的秩, 自然使问题简单化了。例2 求向量组, , , 的秩. 解： 以为列, 构造矩阵, 再对进行行初等变换, 化为阶梯形矩阵:2. 用初等变换法求逆矩阵如果是阶可逆矩阵, 我们将与并排放到一起, 形成一个的矩阵, 因为, 所以对矩阵作一系列行初等变换, 将其左半部分化为单位矩阵, 这时右半部分就是。例3 设，求.解： 因此, .同理, 如果是阶可逆矩阵, 我们将与并列放到一起, 形成一个 的矩阵, 因为, 所以对矩阵作一系列列初等变换, 将其上半部分化为单位矩阵, 这时下半部分就是. 用初等变换法求逆矩阵是一种通用而较简便的方法. 正确地选择和使用它们能更快更好地解决各类求逆矩阵问题。3. 用初等变换化二次型为标准形对任意二次型一定存在可逆非退化线性替换将其化为标准形, 即为对称矩阵找一个可逆矩阵, 使得为对角矩阵, 而可逆矩阵可以写成若干个初等矩阵的乘积, 所以存在初等矩阵有， 从而有是一个对角矩阵。由上式可得到用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下:首先, 写出二次型的矩阵, 构造矩阵, 然后对矩阵每进行一次行初等变换后, 就对进行一次同样的列初等变换, 当矩阵化为对角矩阵时, 单位矩阵将化为可逆矩阵, 此时, 最后得到可逆矩阵和非退化线性变换, 在这个变换下二次型化为标准形。例4 化二次型为标准形, 并写出所用的非退化线性替换。解： 题中二次型的矩阵为, 由上面的初等变换法化二次型为标准形的步骤可知:=从而非退化线性替换为, 原二次型化为。在运用矩阵初等变换来化二次型为标准形的关键: 对矩阵进行的行初等变换和列初等变换必须是一致的。参考文献1 王晓为矩阵初等变换的独立性J数学通报,1991,(10)2 章秋明关于初等变换的定理及其应用 J数学通报,1987,(10)3同济大学数学系编.工程数