高考数学总复习空间向量在立体几何中的应用(基础)

【巩固练习】1下列各组向量中不平行的是（ ）A BC D2已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，则直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值是（ ）A、 B、 C、 D、3.（2014秋 沧州期末）在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC=90，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=1，PA=2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为（）ABCD4已知正四面体ABCD，棱长为3，E，F是两个面的重心，那么线段EF的长为( )A、 B、 C、1 D、25.若平面、的法向量分别为n1=（2，3，5），n2=(-3,1,-4),则，的位置关系是 （用“平行”，“垂直”，“相交但不垂直”填空）.6. 已知A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是 （写出一个即可）。7. 已知=（1，5，-2），=（3，1，z），若，=（x-1，y，-3），且平面ABC，则实数x，y，z分别为 .8. （2015春 枣阳市校级期末）若A（0，2，），B（1，1，），C（2，1，）是平面内的三点，设平面的法向量=（x，y，z），则x：y：z= .9如图，已知四棱锥P-ABCD，PA垂直于正方形ABCD所在平面，且PA=AB=a，点M是PC的中点，(1)求异面直线BP与MD所成角的大小；(2)求二面角M-DA-C的大小。10如图，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1B1和B1C1的中点。（1）求点D到BE的距离；（2）求点D到面BEF的距离；（3）求BD与面BEF所成的角。11如图，三棱锥P-ABC中，ABC=，PA=1，AB=，AC=2，PA面ABC，求二面角A-PC-B的余弦值12如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都是a ,O、D 分别是AC、A1C1中点，求异面直线B1D与A1B的距离。 13如图所示，、分别是圆O、圆的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是圆O的直径，,.(I)求二面角的大小；(II)求直线与所成的余弦值.14如图，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCkPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC()求证：OD平面PAB；()当k时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；15. （2015 福建高考）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点（1）求证：GF平面ADE；（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值参考答案：1【答案】D 【解析】 而零向量与任何向量都平行2【答案】B 3.【答案】C【解析】以A为坐标原点，以AB为x轴，以AC为y轴，以AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，PA平面ABC，BAC=90，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=1，PA=2，A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），D（，0，0），E（），F（0，1），=（0，0，2），=（0，0），设是平面DEF的一个法向量，则，即，取x=1，则，设PA与平面DEF所成的角为，则 sin=|cos|=|=故选：C4.【答案】C5.【答案】相交但不垂直6.【答案】7.【答案】，-，48.【答案】2：3：（4）解：，平面的法向量为=（x，y，z），取y=3，则x=2，z=4x：y：z=2：3：（4）9【解析】以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，由已知得A(0，0，0)、 B(a，0，0)、 D(0，a，0)、C(a，a，0)、 P(0，0，a)则PC的中点 (1)设直线PB与DM所成的角为，所以直线PB与DN所成的角=90(2) 设,则所以，二面角M-DA-C所成的角为4510【解析】（1）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，E、F分别是A1B1和B1C1的中点，B（4，0，0），E（2，0，4），D（0，4，0），则=（-2，0，4），=（-4，4，0）在方向上的射影为 点D到BE的距离为 d=(2)设=（x,y,1）为平面BEF的法向量，则，=（0，2，4），=-2x+4=0, =2y+4=0x=2, y=-2,=(2,-2,1)向量在方向上的射影为点D到面BEF的距离为 .(3)设BD与面BEF所成的角为q，则sinq=|cos|=|=|=BD与面BEF所成的角是arcsin 。11【解析】以A为坐标原点，,分别以AB、AP所在直线为y轴、z轴,以过A点且平行于BC直线为x轴建立空间直角坐标系.在直角ABC中,AB=，AC=2，BC=1A(0,0,0)，B(0,0)，C(1,0)，P(0,0,1).(0,0)，(1,),设平面PAC的法向量=(a,b,c)，则m，m，且=(0,0,1)，=(1,0)，不妨取=(,1,0)，设平面PBC的法向量=(e,f,g)，则，且=(0,)，=(1,0,0),不妨取=(0,1,)，cos=,故二面角A-PC-B的余弦值为.12【解析】因O、D分别是正三棱柱ABC-A1B1C1中AC、A1C1的中点，故可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz则，A1（，0，a ）,B1(0,a) , D(0,0,a) ,所以= ，=（-，0，0）设和的公共法向量为=（x,y,1）, 则由，有=0+0=0 ，得y=0；由，有=，得x=-2=（-2，0，1）异面直线DB1与A1B间的距离为=13【解析】()AD与两圆所在的平面均垂直,ADAB, ADAF,故BAD是二面角BADF的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以BAD450.即二面角BADF的大小为450；()以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，0），B（，0，0）,D（0，8），E（0，0，8），F（0，0）所以，设异面直线BD与EF所成角为，则直线BD与EF所成的余弦值为。14【解析】OP平面ABC,OA=OC,AB=BC,OAOB,OAOP,OBOP.以O为原点,射线OP为非负x轴,建立空间坐标系O-xyz如图),设AB=a,则A(a,0,0)，B(0, a,0),C(-a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h). ()D为PC的中点,又,OD平面PAB.()则PA=2a,可求得平面PBC的法向量cos.设PA与平面PBC所成角为,刚sin=|cos|=.PA与平面PBC所成的角为.15.【解析】解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，G是BE的中点，GHAB，且GH=AB，又F是CD中点，四边形ABCD是矩形，DFAB，且DF=AB，即GHDF，且GH=DF，四边形HGFD是平行四边形，GFDH，又DH平面ADE，GF平面ADE，GF平面ADE（2）如图，在平面BEG内，过点B作BQCE，BEEC，BQBE，又AB平面BEC，ABBE，ABBQ，以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0），F（2，2，1）AB平面BEC，为平面BEC的法向量，设=（x，y，z）为平面AEF的法向量又=（2，0，2），=（2，2，1）由垂直关系可得，取z=2可得cos，=平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为解法二：（1）如图，取AB中点M，连接M