高考数学选修知识讲解 复数代数形式的四则运算1226

复数代数形式的四则运算 编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。2. 会进行复数乘法和除法运算。3. 掌握共轭复数的简单性质，理解、的含义，并能灵活运用。【要点梳理】要点一、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则：设，（），我们规定：要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。很明显，两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。2.复数的加法运算律:交换律：z1+z2=z2+z1结合律:：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)要点二、复数的加减运算的几何意义1. 复数的表示形式：代数形式：（）几何表示：坐标表示：在复平面内以点表示复数（）；向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数.要点诠释：复数复平面内的点平面向量2复数加、减法的几何意义：如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量.对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量.设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=(a，b)，=(c，d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是，由于= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，所以和 的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量类似复数加法的几何意义，由于z1z2=(ac)+(bd)i，而向量= =(a，b)-(c，d)=(a-c，b-d)，所以和 的差就是与复数(ac)+(bd)i对应的向量要点诠释：要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：（1）利用几何意义可以把几何图形的变 换转化成复数运算去处理（2）反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数做为工具运用于几何之中。要点三、复数的乘除运算1共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。通常记复数的共轭复数为。2乘法运算法则：设，（），我们规定：要点诠释：1. 两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2. 在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分母实数化)，化简后写成代数形式。3乘法运算律：(1)交换律：z1(z2z3)=(z1z2)z3 (2)结合律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3要点四、复数运算的一些技巧：1. 的周期性：如果nN，则有：，（）2. 3. 共轭复数的性质：两个共轭复数z、的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即，其中z=x+yi（x，yR）【典型例题】类型一、复数的加减运算例1.计算：（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) （2）(12i)(23i)+(34i)(45i)+(19992000i)(20002001i)【解析】（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)(5-2-3)+(-6-1-4) i=11 i（2） 解法一：原式=(12+34+19992000)+(2+34+5+2000+2001)i=1000+1000i。解法二：(12i)(23i)=1+i，(34i)(45i)=1+i，(19992000i)(20002001i)=1+i。将上列1000个式子累加，得 原式=1000(1+i)=1000+1000i。【总结升华】 复数的加减法，相当于多项式加减法中的合并同类项的过程。如果根据给出复数求和的特征从局部入手，抓住式子中相邻两项之差是一个常量这一特点，适当地进行组合，那么可简化运算。举一反三：【变式】 (1)设z1=3+4i，z2=2i，求,(2) 已知z1=(3x+y)+(y4x)i，z2=(4y2x)(5x+3y)i（x，yR），求z1z2， 【答案】 (1) z1+z2=(3+4i)+(21)i=(3-2)+(4-1)i=1+3i(2) z1z1=(3x+y)+(y4x)i(4y2x)(5x+3y)i=(3x+y)(4y2x)+(y4x)+(5x+3y)i =(5x3y)+(x+4y)i，类型二、复数的乘除运算例2计算：(1) (1i)2； (2) (12i)(34i)(12i)【思路点拨】第(1)题可以用复数的乘法法则计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第(2)题可以按从左到右的运算顺序计算，也可以结合运算律来计算(1)解法一：(1i)2(1i)(1i)1iii22i；解法二：(1i)212ii22i.(2)解法一：(12i)(34i)(12i)(34i6i8i2)(12i)(112i)(12i)(114)(222)i1520i；解法二：(12i)(34i)(12i)(12i)(12i)(34i)5(34i)1520i.【总结升华】此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用特别要提醒其中(2i)4i8，而不是8.举一反三：【变式1】在复平面内，复数z=i(1+2i)对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B z=i(1+2i)=i+2i2=2+i，复数z所对应的点为（2，1），故选B【高清课堂：复数代数形式的四则运算 401753 例题1】【变式2】计算：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2），（3）【高清课堂：复数代数形式的四则运算 401753 例题2】【变式3】计算：（1)（2） .【答案】(1) （2）.例3.(2015 新课标)设复数满足，则 （A） （B） （C） （D）【答案】A【思路点拨】在复数的乘除法中，要时时注意，不能出错。【解析】1+z=izi(1+i)z=i1|z|=1故选A【总结升华】1 先写成分式形式2 然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)3 化简成代数形式就得结果举一反三：【变式1】复数等于（ ）A1+2i B12i C2+i D2i【解析】 ，故选C【变式2】 计算：（1）（2）【答案】（1）.（2），类型三. 复数代数形式的四则运算例4. 计算下列各式：（1）；（2）。【解析】 （1）。（2）。【总结升华】 题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号，再算乘除，最后算加减举一反三：【变式1】计算：（1）（2）（3） ； 【答案】（1）（2）（3）【变式2】计算：； 【答案】方法一：原式。方法二（技巧解法）：原式。考点4 共轭复数的有关计算【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题2】例5.，复数与复数的共轭复数相等，求x，y.【思路点拨】先将的共轭复数要正确写出，再由复数相等的充要条件可得方程组，解之即可求结果， 【解析】 【总结升华】以z、的概念与性质为基础，结合复数代数形式的四则运算，解决有关应用问题举一反三：【变式1】(2014 上海)若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=_【答案】6复数z12i，其中i是虚数单位，则(12i)(12i)114i21246故答案为：6【变式2】设z的共轭复数是，,，则 .【答案】设（），则，且，当，时，；当，时，.故.类型四. 复数的几何意义例6. 如图所示，已知复平面内的正方形ABCD的三个顶点A（1，2），B（2，1）， C（1，2），求D点对应的复数。【思路点拨】根据点D的位置，利用解析几何的方法确定D对应的复数的实部与虚部。【解析】 解法一：设D（x，y），则。因为，（x1，y2）=（1，3），得。D点对应的复数为2i。解法二：A，C关于原点对称，O为正方形ABCD的中心。设D（x，y），则B，D关于O点对称，即，得。D点对应的复数为2i。【总结升华】在平面几何图形中，结合向量的运算法则的几何意义，以复数加减法的几何意义为媒介，实现量之间的转化，进而求相关问题举一反