高考数学选修知识讲解_《数系的扩充与复数》全章复习与巩固

数系的扩充与复数全章复习与巩固编稿：李 霞 审稿： 张林娟【学习目标】 1. 了解引进复数的必要性，了解数集的扩充过程；2. 理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；理解复数相等的充要条件；3. 了解复数的代数表示法及其几何意义；4. 掌握进行复数代数形式的四则运算法则，了解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义. 注意在不同数集中运算法则的联系和区别.【知识网络】【要点梳理】 要点一：复数的基本知识1、虚数单位，规定它的平方等于，即.可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2、形如（）的数叫做复数，记作：（）；当b=0时，是实数；当b0时，叫做虚数；当a=0且b0时，叫做纯虚数.3、两个复数相等的充要条件：若，则.4、复数的几何意义： 复数复平面内的点 平面向量5、复数的模：设（），则向量的长度叫做复数的模，记作.即.要点诠释：（1）的周期性：如果nN，则有：，；（2）复数的共轭复数，记为；（3）.要点二：复数的运算设，（），则：要点诠释：（1）设，则，(nN+)等；（2）复数求解计算时，要灵活利用i、的性质，或适当变形，创造条件，从而转化为关于i、的计算问题 比如；（3）作复数除法运算时，有如下技巧：【典型例题】类型一：复数的概念及运算例1. 化简下列式子：（1）； （2） 【解析】 （1）；（2）【总结升华】灵活利用及的特点进行计算举一反三：【变式1】i是虚数单位，计算 ( ) A-l B1 C-i Di【答案】 A【变式2】复数等于 ( ) Ai B-i C1 D-1【答案】 D【解析】 【变式3】已知复数，则_【答案】 -2i例2. 已知，(aR)分别对应向量，（O为原点），若向量所对应的复数为纯虚数，求a的值【解析】 设向量对应的复数为z， ， z为纯虚数， 即 【总结升华】 讨论复数z为实数、虚数、纯虚数、非纯虚数应从定义入手举一反三：【变式1】设(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是-1，则z2的虚部为_ 【答案】 1 【解析】 ， ，由复数相等得 【变式2】 设a，b为实数，若复数，则( )A， Ba3，bl C， Da1，b3【答案】 A【解析】故选A 类型二：复数的几何意义例3. 已知复数，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数【解析】设复数、所对应的点分别为A、B、C，正方形的第四个点D对应的复数为(x，yR)， 对应的复数为，对应的复数为 ， ，即 解得 点D对应的复数为【总结升华】本题主要考查复数的几何意义利用，求点D对应的复数，也可利用原点O恰好是正方形ABCD的中心来解举一反三：【变式】已知复平面上的ABCD中，对应的复数为6+8i，对应的复数为-4+6i，求向量对应的复数【答案】如图所示，ABCD中，设对角线AC、BD的交点为E，则点E为AC、BD的中点，由复数加减法的几何意义可得所以对应的复数为，所以向量对应的复数为例4. 复数且，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值【解析】 由，得 复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点， 把代入上式化简得|b|1 又 z对应的点在第一象限. a0，b0由得故所求值为， 【总结升华】要确定实数a，b的值，需列出含a，b的两个方程条件|z|4易使用；对于正三角形这个条件，使用方法较多，本题转化为边长相等，即举一反三：【变式1】复数在复平面上对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】 A【解析】 复数z在复平面内的对应点为，在第一象限故选A【变式2】若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( ) AE BF CG DH 【答案】 D【解析】 由题中图示可知， ，再结合题中图示知点H表示2-i，故选D类型三：复数与方程例5. 已知2+ai，b+i是实系数一元二次方程的两根，求p，q.Ap-4，q5 Bp4，q5 Cp4，q-5 Dp-4，q-5【思路点拨】抓住实系数一元二次方程有虚根时两根互为共轭复数来解题. 【解析】 因为2+ai，b+i)是实系数一元二次方程的两个根，所以2+ai与b+i互为共轭复数，所以a-1，b2，所以实系数一元二次方程的两个根是2i，所以p-(2+i)+(2-i)-4，q(2+i)(2-i)5 【总结升华】本题考查实系数一元二次方程有虚根时两根互为共轭复数的特点，以及根与系数的关系举一反三：【变式】在复数集中解方程.【答案】，原方程的根为.例6. 已知ZC，解方程 【思路点拨】本题介绍对的熟练应用，来求得.【解析】 ，把方程变形为， 两边取模得整理得解得或 将其代入得或 z-1或z-1+3i【总结升华】对于含的方程，基本解法：（1）设(x，yR)，利用复数相等的