高考数学必修知识讲解任意角的三角函数基础

任意角的三角函数【学习目标】1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.3会应用三角函数的定义解决相关问题。【要点梳理】要点一：三角函数定义设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(1)叫做的正弦,记做,即；(2)叫做的余弦,记做,即；(3)叫做的正切,记做,即.要点诠释：三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,。要点二：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。要点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正。要点三：诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，其中，其中，其中要点诠释：该组公式说明了终边相同的角的同一三角函数的值相等这个结论。要注意在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应.要点四：单位圆中的三角函数线圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆设角的顶点在圆心O，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直轴于M，作PN垂直轴于点N.以A为原点建立轴与轴同向，与的终边(或其反向延长线)相交于点(或)，则有向线段0M、0N、AT(或)分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.要点诠释：三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴的正方向的交点的切线上；三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.【典型例题】类型一：三角函数的定义例1已知角的终边经过点P（4a，3a）（a0），求sin，cos，tan的值。【思路点拨】先根据点P（4a，3a）求出OP的长；再分a0，a0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论【答案】，或，【解析】 。若a0，则r=5a，是第二象限角，则，若a0，则r=5a，是第四象限角，则，。【总结升华】 本题主要考查三角函数的定义和分类讨论的思想。三角函数值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。举一反三：【变式1】已知角的终边在直线上，求sin，cos，tan的值。【答案】或【解析】因为角的终边在直线上，所以可设为角终边上任意一点。则（a0）。若a0，则为第一象限角，r=2a，所以，。若a0，则为第三象限角，r=2a，所以，。类型二：三角函数的符号例2判断下列各三角函数值的符号（1）；（2）tan120sin269；（3）tan191cos191。【答案】（1）正（2）正（3）正【解析】（1）因为，且是第三象限角，所以是第三象限角。所以。（2）120是第二象限的角，tan1200。269是第三象限的角，sin2690。tan120sin2690。（3）191是第三象限的角，tan1910，cos1910，tan191cos1910。举一反三：【高清课堂：任意角的三角函数385947 例3】【变式1】确定下列各三角函数值的符号.（1）；（2）；（3）；（4）； （5）； （6），其中是第二象限角.【答案】（1）正（2）正（3）正（4）正（5）正（6）负【变式2】（2015秋 甘肃定西月考）已知sin0，tan0 （1）求角的集合；（2）求终边所在象限；（3）试判断的符号【答案】（1）；（2）略；（3）略【解析】（1）sin0，为第三、四象限角或在y轴的负半轴上，tan0，为第一、三象限角，为第三象限角，即角的集合为：（2）由（1）可得：，kZ当k是偶数时，在第二象限，当k是奇数时，在第四象限（3），当k是偶数时，在第二象限，则，可得：，当k是奇数是，在第四象限，则，可得：，综上，类型三：诱导公式一的应用例3（1）（2）sin810+tan765+tan1125+cos360。【思路点拨】首先把任意角的正弦、余弦、正切的函数分别化为0到360角的同一三角函数值，然后再求值。【答案】（1）（2）4【解析】（1）原式。（2）原式= sin(2360+90)+tan(2360+45)+tan(3360+45)+cos(0+360) =sin90+tan45+tan45+cos0=4。【总结升华】 在弧度制下，与角终边相同的角为，kZ，在角度制下终边相同的角为k360+，kZ。利用公式化简或求值时要熟记特殊角的函数值。举一反三：【变式1】计算：（1）（2）sin1170+tan405+cos720。【答案】（1）（2）3【解析】（1）原式。（2）原式= sin(3360+90)+tan(360+45) +cos(0+2360) =sin90+tan45+cos0=3。类型四：三角函数线的应用例4（1）在单位圆中画出适合下列条件的角的终边。；tan=2；（2）比较sin1155与sin（1654）的大小。【答案】（1）略（2）【解析】（1）作直线交单位圆于P、Q两点，则OP与OQ为角的终边，如下图。作直线交单位圆于M、N两点，则OM与ON为角的终边。如下图。在直线x=1上截取AT=2，其中点A的坐标为（1，0），设直线OT与单位圆交于C、D两点，则OC与OD为角的终边。如下图。 （2）先化成0 360间的角的三角函数。sin1155=sin(3360+75)=sin75,sin(1654)=sin(5360+146)=sin146。在单位圆中，分别作出sin75和sin145的正弦线M2P2，M1P1（如图）。因为M1P1M2P2，所以sin1155sin（1654）。【总结升华】 （1）三角函数线可以用来求出满足形如的三角函数的角的终边，这是解三角不等式及求三角函数定义域时常用到的。（2）第（2）题主要考查公式一及单位圆中三角函数的应用，首先利用公式将1155和1654分别变化到0360的角，然后在同一单位圆中作出它们的三角函数线，利用三角函数线即可比较出大小。举一反三：【变式1】求证：当时，sintan。【证明】如图，设角的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于点T，过点P作PMOA于点M，连接AP，则：在RtPOM中，sin=MP；在RtAOT中，tan=AT。又根据弧度制的定义，有。易知SPOAS扇形POASAOT，即，即sintan。例5（2015春 辽宁大连月考）利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围（1）；（2）sincos【思路点拨】（1）首先在0，2范围内找到三角函数线为1，的角度，然后再由终边相同角写出集合（2）首先在0，2范围内找到三角函数线为OMBM的的角度，然后再由终边相同角定出集合【解析】如图所示：在直角坐标系中，作出单位圆，把角的顶放到原点，角的始边放到x轴的正半轴上设的终边与单位圆的交点为B，单位圆和x轴的正半轴的交点为A，再作BMx轴，M为垂足，则有BM=sin，OM=cos，OA=1 （1）在单位圆中时，在0，2的角度是，或，所以取值范围为：，或，kZ（2）在单位圆中sincos时，在0，2的角度是，或，所以取值范围为：，或，kZ【总结升华】利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如或的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用类型五：三角函数定义域的求法例6求函数的定义域。【思路点拨】要使式子有意义，则必须使被开方数大于等于零，然后再解三角不等式。【答案】【解析】 由题意得。由图可知：sin x0时，角x的终边落在图中横线阴影部分；tan x1时，角x的终边落中图中竖线阴影部分。从终边落在双重阴影部分的角中排除使的角即为所求