高考物理总复习知识讲解物理学中的极值问题与极端法

物理学中的极值问题与极端法编稿：李传安 审稿：张金虎【高考展望】物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与运动学、动力学、电磁学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。【知识升华】物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。物理极值问题是物理学中的一个重要内容，涉及的知识面广，综合性强。在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。如果在解决这些问题时能与数学知识灵活地整合，运用适合的方法，将会拓展解决物理问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。【方法点拨】求解极值问题的方法可分为物理方法和数学方法物理方法包括：（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值；（4）用图像法求极值。数学方法包括：（1）用三角函数求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值；（4）利用二次函数极值公式求极值。一般而言，物理方法直观、形象，对构建模型及动态分析等能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高。多数极值问题，并不直截了当地把极值或临界值作为题设条件给出，而是隐含在题目中，要求学生在对物理概念、规律全面理解的基础上，仔细审题，深入细致地分析问题，将隐含的题设条件极值挖掘出来，把极值问题变成解题的中间环节。【典型例题】类型一、利用二次函数极值公式（或配方法）求极值二次函数有如下知识：（1）若、时，y有极小值；（2）若、时，y有极大值。例1、A、B两车停在同一点，某时刻A车以2m/s2的加速度匀加速开出，3s后B车同向以3m/s2的加速度开出。问：B车追上A车之前，在启动后多长时间两车相距最远，距离是多少？【思路点拨】速度相等是追及问题的临界点，速度相等两车相距最远。这里利用二次函数极值公式求最大距离，分别写出两车的位移公式，相减即为所求（A车在前，A车的位移减B车的位移）。【答案】27米【解析】设A启动t秒两车相距最远，A车的位移：，B车的位移：两车间距离为由数学知识可知，当时，两车间有最大距离：【总结升华】在追及问题中，常常要求最远距离或最小距离，常用的方式有物理方法和数学方法，应用物理方法时，应分析物体的具体运动情况，两物体运动速度相等时，两物体间有相对距离的极大值和极小值。应用数学的方法时，应先列出函数表达式，再求表达式的极大值或极小值。举一反三【变式1】一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时，汽车以3m/s2的加速度开始行驶。恰在这时，一辆自行车以6m/s的速度同向匀速驶来，从后边超过汽车，试求汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？【答案】2秒；6米【解析】设汽车开始运动时开始计时，t时刻汽车和自行车的位移分别为： 汽车追上自行车之前，t时刻两车的距离为： 由二次函数求极值的公式知：当 时，有最大值【变式2】如图所示的电路中，电源的电动势E=12V，内阻r=0.5，外阻R1=2，R2=3，滑动变阻器R35求滑动变阻器的滑动头P滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值？最大值是多少？ 【答案】R3的中点2.5处；10V【解析】设aP间电阻为，外电路总电阻为R，电阻与电阻并联，则， 电压表示数最大，就是外电路电阻最大，即求当时，外电路电阻最大值为电路中的最小电流为伏特计的最大示数为即变阻器的滑动头P滑到R3的中点2.5处，伏特计有最大值，最大值为10V类型二、利用极限思维方法求极值有一类问题具有这样的特点，如果从题中给出的条件出发，需经过较复杂的计算才能得到结果的一般形式，并且条件似乎不足，使得结果难以确定，但若我们采用极限思维的方法，将其变化过程引向极端的情况，就能把比较隐蔽的条件或临界现象暴露出来，从而有助于结论的迅速取得。例2、如图所示，细线的一端系一质量为m的小球，另一端固定在倾角为的光滑斜面体顶端，细线与斜面平行。在斜面体以加速度a水平向右做匀加速直线运动的过程中，小球始终静止在斜面上，小球受到细线的拉力T和斜面的支持力为FN 分别为（重力加速度为g)）（） ATm（gsinacos） FNm（gcosasin）BTm（gcosasin） FNm（gsinacos）CTm（acosgsin） FNm（gcosasin）DTm（asingcos） FNm（gsinacos）【思路点拨】用极限思维方法求解时，如果选项为三角函数表达式，一般先设时（即水平），进行分析，排除错误选项，再设（竖直）时，进行分析，即可得出正确选项。【答案】A 【解析】解法一：用极限思维方法求解。当时（即水平），对选项A，符合题意；对选项B，不符合题意，B错；对选项C，符合题意；对选项D，不符合题意，D错。再分析AC，当时，C中，这是不可能的，C错。故选项A正确。解法二：对小球在受力分析如图所示，建立坐标系，利用分解加速度的方法要简单一些。 在轴方向上： 在轴方向上：解得：所以选项A正确。【总结升华】利用极限思维方法求解，并不是对所有的三角函数表达式都适用。对于条件似乎不足，使得结果难以确定的问题，极限思维方法就显示出它特有的优势（如下题）。举一反三【变式1】如图所示，在光滑的水平面上有以质量为M、倾角为的光滑斜面体，斜面上有一质量为m的物块沿斜面下滑。关于物块下滑过程中对斜面压力大小的解答，有如下四个表达式要判断这四个表达式是否合理，你可以不必进行复杂的计算，而是根据所学的物理知识和物理方法进行分析，从而判断解的合理性或正确性。根据你的判断，下述表达式中可能正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】当时，AB选项，压力为零， C、D选项，压力等于重力，则A、B均错，C、D可能对；当时，C、D选项压力都为零，不能判断；当时，压力等于，压力小于重力，C选项分母小于M，压力大于，C错；D选项分母大于M，压力小于，故只有D选项正确。【变式2】图示为一个内、外半径分别为R1和R2的圆环状均匀带电平面，其单位面积带电量为。取环面中心O为原点，以垂直于环面的轴线为轴。设轴上任意点P到O点的的距离为，P点电场强度的大小为E。下面给出E的四个表达式（式中k为静电力常量），其中只有一个是合理的。你可能不会求解此处的场强E，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断。根据你的判断，E的合理表达式应为（ ） ABC D【答案】B【解析】场强的单位为N/C，k为静电力常量，单位为Nm2/C2，为单位面积的带电量，单位为C/m2，则2k表达式的单位即为N/C，故各表达式中其它部分应无单位，故可知A、C肯定错误；当=0时，此时要求的场强为O点的场强，由对称性可知EO=0，对于C项而言，=0时E为一定值，故C项错误。当时E0，而D项中E定值4k，故D项错误；所以正确选项只能为B；故选B。类型三、利用三角函数求极值设三角函数可作如下变换：令，则有：， 于是有：当时，有极大值解物理题时往往遇到的形式是：通常习惯处理方法是：令则例3、如图所示，一质量m0.4kg的小物块，以2m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t2s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L10m。已知斜面倾角30o，物块与斜面之间的动摩擦因数，重力加速度g取10 m/s2。（1）求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小。（2）拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？【思路点拨】（1）根据运动学求解；（2）设拉力F与斜面的夹角为，作受力图进行正交分解，根据牛顿第二定律列出方程：沿斜面、垂直于斜面，利用滑动摩擦力与正压力的关系，进行代数运算，写出拉力F的数学表达式，再利用三角函数求极值的方法求出拉力F的最小值。【答案】（1）3m/s28m/s（2）30【解析】（1）设物块加速度的大小为，到达B点时速度的大小为，由运动学公式得 联立式，代入数据得3m/s2 8m/s（2）设物块所受支持力为FN，所受摩擦力为，拉力与斜面间的夹角为，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得 又 联立式得由数学知识，令，得，则 由式可知对应F最小的夹角30联立式，代入数据得F的最小值为 【总结升华】对于这类求解极值问题，利用三角函数求解是很有效的方法，也是解题的关键。但我们只要根据物理方法解出数学表达式以后，就会发现可以利用三角函数求出极值。举一反三【变式】一质量为m的木块放在水平面上，以一个大小为F的拉力拉着它在水平地面上运动，Fmg。已知木块与地面间的动摩擦因数为，拉力F沿什么方向拉物体时，物体的加速度最大，此最大值为多少？【答案】【解析】木块运动中受到如图所示的四个力的作用设拉力F与水平方向成角，由牛顿第二定律有： 并且 由式可解得令，则有：， 于是有：加速度便可写成：显然当，即拉力与水平面夹角时，木块运动的加速度最大，加速度最大值为：.类型四、利用图像法求极值要理解图像中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义。通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，做出其图像，由图像可求得极值。矢量是物理中常用的数学工具，矢量既有大小又有方向，合成与分解时遵循“平行四边形定则”。使用矢量求极值问题时，要注意分析反映矢量间关系的物理规律，实际上所表现的应该是这些矢量间大小关系和方向关系融合而形成的某种几何关系，做出矢量图，最后根据几何关系、三角函数关系求解。例4、一质量为m的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数，如图所示，物体做匀速直线运动求拉力F的最小值和方向角 【思路点拨】本题可以用上面介绍的“类型三、利用三角函数求极值”方法求解，这里用图像法求极值。物体做匀速直线运动，仍然是平衡问题。应将四力平衡转化为三力平衡，即将支持力与摩擦力合成为一个力R，由于物体处于平衡状态，R、F、G的合力必为0，三个力构成一个封闭三角形，当F垂直于R时，F最小。【答案】，30【解析】物体受力如图所示。物体做匀速直线运动，仍然是平衡问题，但这是四力平衡，我们通常处理的是三力平衡，如果将某两个力合成为一个力，就是三力平衡问题了。应将哪两个力合成呢？根据摩擦力与正压力的关系，已知，所以将摩擦力与支持力合成，如图甲，支持力N与合力R的夹角为。由几何关系，可见，N变化会引起f变化、R变化，但R的方向是不变的，由于物体处于平衡状态，R、F、mg的合力必为0，三个力构成一个封闭三角形，如图乙，由图可知，当F垂直于R时，F最小。此时，所以拉力F的最小值.【总结升华】解题的关键是根据摩擦力与正压力的关系，将摩擦力与支持力合成为一个力，即将四力平衡转化为三力平衡，三力的合力必为0，三个力构成一个封闭三角形，当F垂直于R时，F最小。举一反三【变式1】从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用时20s，前进了50m，求这过程中汽车达到的最大速度。【答案】5m/s【解析】设最大速度为，即加速阶段的末速度为，画出其速度时间图像如图所示，图线与t轴围成的面积等于位移。位移所以最大速度【变式2】某物体从静止开始沿直线运动，当停止运动时，位移为L，若运动中加速度大小只能是a或是零，那么此过程的最大速度是多大？最短时间为多少？【答案】；【解析】根据题意，只有满足如图所示的图像OAt2所围的面积等于位移的值，才有最大速度和最短时间。从图像可知，在L一定时，即，所以，解得，又因为所以，类型五、利用不等式求极值利用不等式求极值可以归纳为以下三种情况：1、根据判别式法求极值： 对于一元二次方程，若在实属范围内有解，则其判别式； 一元二次不等式，若取任何实数时均成立，则其判别式。2、根据均值不等式求极值：（1），时，最小值为；（2）对于两个大于零的变量、，若其和为一定值，则当时，其积取得极大值；（3）对于三个大于零的变量、，若其和为一定值，则当时，其积取得极大值例5、如图所示，一平直的传送带以速度做匀速运动，传送带把A处的工件运输到B处。A、B相距L=10m。从A处把工件无初速地放到传送带上，经过时间t=6s，能传送到B处。欲用最短的时间把工件从A处传送到B处，求传送带的运行速度至少多大？最短时间是多少？【思路点拨】（1）若要把工件以最短时间传送到B，则应使工件始终加速直至B处，求出最小运行速度；（2）根据运动学知识创造一个关于速度（含有时间t）的一元二次方程，利用判别式求解最短时间。【答案】（1）；（2）【解析】对工件受力分析如图工件可能一直加速运动，也可能先加速后匀速运动。（1）设经过时间t1后两者共速，对工件： 解得，即两秒后共速。由公式 解得若要把工件以最短时间传送到B，则应使工件始终加速直至B处，工件加速度仍为，设传送带最小速度为由公式传送带的运行速度至少为（2）设至少用t秒送到。对工件： 解得 为关于速度的一元二次方程有解的条件：判别式，即解得【总结升华】由或者创造一个一元二次方程，利用判别式求解最短时间。例6、（2015 新课标卷）一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1、L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都是平抛运动，竖直高度决定了运动时间 水平方向匀速直线运动，水平位移最小即沿中线方向水平发射恰好过球网，此时从发射点到球网，下降高度为3h-h=2h，水平位移大小为L1/2，可得运动时间 对应的最小初速度 水平位移最大即斜向对方台面的两个角发射，根据几何关系此时的位移大小为 所以平抛的初速度 对照选项可知D对。举一反三【变式】分别用判别式法、均值不等式求解上面例1变式2。如图所示的电路中，电源的电动势E=12V，内阻r=0.5，外阻R1=2，R2=3，滑动变阻器R35求滑动变阻器的滑动头P滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值？最大值是多少？ 【答案】R3的中点2.5处；10V【解析】设aP间电阻为，外电路总电阻为R，电阻与电阻并联，则， 用判别式法求最大电阻：将上式整理得判别式解得，即用均值不等式求最大电阻：上面求得设；，当时，即，即时， 电压表示数最大，就是外电路电阻最大，即求电路中的最小电流为伏特计的最大示数为即变阻器的滑动头P滑到R3的中点2.5处，伏特计有最大值，最大值为10V类型六、利用问题的边界条件求极值以带电粒子在有界磁场中的运动问题为例：（1）依据切线的性质确定圆心和半径：从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点做切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径。（2）依据垂径定理（垂直于弦的直径平分该弦，并平分弦所对的弧）和相交弦定理（如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项）来确定半径等。 例7、（2015 江苏卷）一台质谱仪的工作原理如图所示，电荷量均为+q、质量不同的离子飘入电压为的加速电场，其初速度几乎为零，这些离子经过加速后通