高考物理总复习知识讲解物理学中等效法

物理学中等效法编稿：李传安 审稿：【高考展望】等效的思想方法几乎渗透于整个高中物理教材的各个部分之中。比如：力的合成就是把几个力等效为一个力；在研究变速直线运动时，引入了平均速度，将变速直线运动等效变换为匀速直线运动处理；在研究抛体运动时，将抛物线运动等效变换为两个直线运动的合成；计算变力所做的功，可以等效变换为计算物体能量的变化量；计算变力的冲量，可以等效变化为计算动量的变化量；在研究气体的性质时，利用等效假设可以把变质量问题转换为恒定质量问题处理；在电路问题计算中，把几个电阻构成的部分电路等效变换为一个电阻；在计算曲线导体切割磁力线产生的感应电动势时，可将曲线导体等效变换为直线导体；在求交流电热量时可将交流电等效为直流电处理等等。可见等效法是高中物理中处理物理问题的常用方法和重要方法。【知识升华】所谓“等效法”就是在特定的某种意义上，在保证效果相同的前提下，将陌生的、复杂的、难处理的问题转换成熟悉的、容易的、易处理的一种方法。等效法是常用的科学思维方法，在物理解题中有广泛的应用。【方法点拨】等效思维的实质是在效果相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律.因此应用等效法时往往是用较简单的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解。在应用等效法解题时，应知道两个事物的等效不是全方位的，只是局部的、特定的、某一方面的等效。因此在具体的问题中必须明确那一方面等效，这样才能把握住等效的条件和范围。【典型例题】类型一、力的等效合力与分力具有等效性，关于这一点在力的合成和分解中得到充分的体现。如果物体受到多个恒力作用时，也能够充分应用等效的观点，把多个恒力等效为一个力，就可以将较复杂的模型转化为较简单的物理模型，然后再去应用我们熟知的规律去列方程，这样将大大降低解题的难度，更有利于对问题的正确解答。实际上力的等效法与力的平行四边形法则（即合成法）是一样的。例1、质量为m的物体，受到六个共点力大小分别为F、2F、3F、4F、5F、6F，相互间夹角均为60，2F的力方向水平向右，5F的力方向水平向左，如图所示。求（1）物体受到的合力大小和方向；（2）物体运动的加速度的大小和方向。【思路点拨】力F与4F方向相反，2F与5F方向相反，3F与6F方向相反，分别合成后为3个3F的力，相互间夹角均为60，再合成。【答案】（1）6F，方向水平向左；（2），方向水平向左。【解析】力F与4F方向相反，2F与5F方向相反，3F与6F方向相反，分别合成后为3个3F的力，相互间夹角均为60，再合成。两个相等的力夹角为120，合力的大小等于分力，即两个3F的力合成后的合力也等于3F，方向水平向左，再与水平向左的3F合成，最后合力大小为6 F，方向水平向左。（2）根据牛顿第二定律，则物体运动的加速度，方向水平向左。【总结升华】这里得出一个基本的力学模型：两个大小相等的力夹角为120，合力的大小等于分力，解题中要经常用到。同时也可以看出：力的等效，就是应用力的合成法则，即平行四边形法则，可以进一步推广到矢量的合成。力的等效同样适用电场力、电场强度、磁感应强度等矢量的等效。举一反三【变式1】用一根长1m的轻质细绳将一副质量为1kg的画框对称悬挂在墙壁上，已知绳能承受的最大张力为，为使绳不断裂，画框上两个挂钉的间距最大为（取） （ ） A B C D【答案】A【解析】求两个挂钉间的最大间距，即绳承受的最大张力，重力也是10N，根据等效原理，画出力的平行四边形，由于三个力都是10N，所以两根绳的夹角为120（合力等于分力），所求两个挂钉间的最大间距即AB间的距离，绳两边各长0.5米，根据几何关系求得AB间的距离为，故选项A正确。【变式2】如图所示，在a、b、c 三处垂直纸面放置三根长直通电导线，abc是等边三角形的三个顶点，电流大小相等，a处电流在三角形中心O点的磁感应强度大小为B，求O处磁感应强度。 【答案】2B，方向平行于ab连线向右。【解析】因Oa = Ob = Oc，且各电流等大，所以b、c 两处的电流在O点产生的磁场大小也为B，根据安培定则，各电流在O处产生的B的方向应垂直于各点和O的连线，再根据平行四边形定则和几何关系知，a、b在O处的合磁感应强度为B，方向向右，O处的合磁感应强度大小为2B，方向平行于ab连线向右。 类型二、运动的等效由于合运动和分运动具有等效性，所以平抛运动可看作是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。“小船过河”中小船的运动可以看作是沿水流的方向的匀速直线运动和垂直于河岸方向的匀速直线运动的合运动。带电体在电场中的类平抛运动是带电体在垂直于场强方向的匀速直线运动和沿场强方向的匀变速直线运动的合运动。在计算大小不变方向变化的阻力做功时，如空气阻力做功的时候，可以应用公式，只是式中的是路程而不是位移，不管物体的运动方向如何变，均可等效为恒力作用下的单向直线运动。 例2、如图所示，斜面高1m，倾角=30，在斜面的顶点A以速度水平抛出一小球，小球刚好落于斜面底部B点。不计空气阻力，g取 10m/s2.求小球抛出的速度和小球在空中运动的时间。【思路点拨】根据平抛运动的规律，可将平抛运动等效为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。【答案】，【解析】水平方向： 竖直方向：根据几何关系：代入数据解得，。 【总结升华】把平抛运动等效为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。举一反三【变式1】某船在静水中的速率为3m/s,要横渡宽为30m的河,河水的流速为5m/s。下列说法中正确的是 （ ）A该船不可能沿垂直于河岸的航线抵达对岸 B该船渡河的最小速度是4m/sC该船渡河所用时间至少是10s D该船渡河所经位移的大小至少是50m【答案】ACD【解析】水速大于船速，船不可能垂直到达正对岸，A对。该船渡河的速度 即 ，最小速度为，B错误。船渡河最短时间是船头垂直于河岸渡河，最短时间，C对。最小位移：当 时，用三角形法则分析，如图所示，当船速的方向与圆相切时，与岸的夹角最大，航程最短。设航程最短为，则由图可知， 所以 D对。 船头指向斜上游，与岸夹角。故答案为ACD。【变式2】两个半径均为R的圆形平板电极，平行正对放置，相距为d，极板间的电势差为U，板间电场可以认为是均匀的。一个粒子从正极板边缘以某一初速度垂直于电场方向射入两极板之间，到达负极板时恰好落在极板中心。已知质子电荷为e，质子和中子的质量均视为m，忽略重力和空气阻力的影响，求：（1）极板间的电场强度E；（2）粒子在极板间运动的加速度a；（3）粒子的初速度v0。【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）平板电极，电势差为U，相距为d则电场强度.（2）粒子是氦核，质量数是4，电荷数是2，加速度（3）粒子的初速度：粒子在垂直于场强方向做匀速直线运动，沿场强方向做初速度为零的匀加速直线运动，在电场力做类平抛运动，如图。垂直于场强方向 沿场强方向 加速度联立解得 类型三、过程的等效有些题目所涉及的过程非常复杂，以致我们无法或不必要严格地搞清楚整个过程中的各个细节，特别是在动量和能量解的某些题目中，整个运动过程中的“动态”是很复杂的，往往只要把握住起始和终了时刻的状态，定性地分析过程，运用等效的观点，将整个过程等效为一个相对简单的过程，从而方便求解。这也正是等效法的精要之一。例3、如图所示，两个底面积都是的圆桶放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分别和，已知水的密度为，现把连接两桶的阀门打开，直至两桶水面高度相等，这一过程中，水的重力势能如何变化？变化多少？水的动能如何变化？变化多少（不计阻力） 【思路点拨】本题可以采用“等效法”来解决，连接两桶的阀门打开后到两桶水面高度相等，这一过程可以等效为大部分水没有迁移，只是左方桶中虚线上方的水移到右方桶中虚线下方的空缺处。【答案】水的重力势能减少，减少了；水的动能的增加，增加了。【解析】阀门K打开后，左桶中的水逐渐流向右桶，直至两桶水面高度相等。这一过程中我们无需分析其中的细节。如果观察开始的状态和结束的状态（如图）。整个过程可等效为左方桶中高度以上的部分移动到右方桶中虚线下方的空缺处。重心下降了：被移动部分的水的质量为：水的重力势能减少了根据机械能守恒定律，水的重力势能的减少量等于水的动能的增加量即水的动能的增加了【总结升华】过程的等效分析中，无需分析其中的细节，关键是分析清楚初态和末态。举一反三【变式】如图、一根长为l、质量为m的绳子搭在光滑的桌子上，绳子一半垂在桌面以下。在受到一扰动后从桌边下滑，则绳子离开桌边时的速度为_。【答案】【解析】认为桌面下的部分重力势能不变，桌面上的一半质量为，重心下降了，如图所示，重力势能减少了根据机械能守恒定律，减少的重力势能等于增加的动能 解得绳子离开桌边时的速度为.说明：本题用机械能守恒定律的方法掌握熟练后，不必刻意用等效法。类型四、模型的等效等效就是相互替代的效果相同。利用等效法，不仅可以使非理想模型变为理想模型，使复杂问题变成简单问题，而且可以使感性认识上升到理性认识，使一般理性认识升华到更深层次。在解题过程中，我们应用最多的、最典型的物理模型并不是很多，如碰撞模型、人船模型、子弹射木块模型、卫星模型、弹簧振子模型等等。要提高解决综合问题的能力，从根本上讲还是提高构建物理模型的能力，要学会透过现象看本质，进而对物理模型进行等效转化。1、单摆中等效摆长问题例4、如图所示，三根等长的绳、，长度为，共同系住一密度均匀的小球m，组成了所谓的双线摆，小球直径为d。、与天花板的夹角。（1）若摆球在纸面内做小角度的左右摆动（简谐运动），其周期为多少？（2）若摆球做垂直纸面的小角度摆动（简谐运动），其周期为多少？【思路点拨】本题的双线摆模型是我们不熟悉的，考察其运动发现完全可以用一个单摆来等效替代。（1）其单摆的等效摆长为小球球心到点的距离，（2）其单摆的等效摆长为小球球心到O点的距离，运用单摆的周期公式很容易地可以求出答案。【答案】见解析。【解析】（1）若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在处，故等效摆长为 ，根据单摆的周期公式周期为 ； （2）若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O处，故等效摆长为，周期为 。【总结升华】求等效摆长问题时，首先要找到单摆模型摆动的圆心，再分析出摆球球心到摆动圆心的距离，这个距离就是等效摆长。举一反三【变式】如图，在半径为2.5m的光滑圆环上切下一小段圆弧，放置于竖直平面内，两端点距最低点高度差H为1cm。将小环置于圆弧端点并从静止释放，小环运动到最低点所需的最短时间为s，在最低点处的加速度为m/s2。(取g10m/s2)【答案】，0.08【解析】将小球的运动等效成单摆运动，把半径等效为摆长，则小环运动到最低点所需的最短时间为周期，即最低时间为设小环运动到最低点时的速度为，根据机械能守恒定律得： ，得小环在最低点的加速度为。2、单摆中等效重力加速度问题（1）公式中的g由单摆所在的空间位置决定。由知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2。（2）g还由单摆系统的运动状态决定。单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值。若单摆若在轨道上运行的航天飞机内，摆球完全失重，回复力为零，则等效值，所以周期为无穷大，即单摆不摆动了。当单摆有水平加速度时（如加速运动的车厢内），等效重力加速，平衡位置已经改变。（3）g还由单摆所处的物理环境决定。如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有等效值的问题。例5、细线长为，质量为，小球直径为d，构成一个单摆，若将该单摆放在以加速度向上加速运动的电梯中，其周期为（ ）A. B. C. D. 【思路点拨】分析摆长，分析等效重力加速度，电梯以加速度向上加速运动，属于超重问题，相当于重力加速度变大，即等效重力加速度变大。【答案】D【解析】摆长是悬挂点到球心的距离，则摆长为分析摆动前细线的拉力F：由于电梯以加速度向上加速运动根据牛顿第二定律，则摆动前细线的拉力属于超重问题，相当于重力加速度变大，即等效重力加速度变大，等效重力加速度大小为，所以该单摆的周期为. 故选项D正确。【总结升华】分析摆动前细线的拉力，当电梯以加速度向上加速运动时，属于超重问题，等效重力加速度变大；若电梯以加速度向下加速运动，属于失重问题，则等效重力加速度变小，大小为。同理可以分析单摆在电梯中减速上升、减速下降等问题，也适用于光滑斜面上的单摆和小车上的单摆在斜面上的运动情况。举一反三【变式】光滑斜面倾角为，斜面上有一辆挂有单摆的小车，如图所示，在小车下滑过程中单摆同时摆动，已知摆长为L，单摆的振动周期为（ ）A. B. C. D. 0【答案】B【解析】摆动前细线的拉力为则等效重力加速度为代入单摆的周期公式，该单摆的周期为.故选项B正确。或者应用特殊值代入法令，则小车在平面上运动，其周期是，故选项B正确。3、等效重力场问题在匀强电场中，带电体受到的电场力和重力皆为恒力，可将重力和电场力进行合成，如图所示，则合力等效为新重力，加速度，等效于新重力加速度，的方向等效于“竖直向下”的方向，这样就构建了一个新的重力场空间，并可利用重力场中熟知的规律求解相关问题。例6、如图所示，小球的质量为，带电量为，整个区域加一个场强为E的水平方向的匀强电场，小球系在长为L的绳子的一端，且在与竖直方向成45角的P处平衡。则（1）小球所受电场力多大？（2）如果小球被拉至与O点在同一水平面的C点自由释放，则小球到达A点的速度是多大？此时绳上的拉力又是多大？（3）若使小球在竖直平面内恰好做圆周运动，最小速度为多少？【思路点拨】因为重力mg与电场力qE都是大小、方向始终不变的恒定，故可以把mg与qE合成为一个合力，方向与竖直成45角，则。我们把带电小球看成是处于一个合力场中的物体，于是P点是它在运动过程中的等效“最低点”。把解题过程中的g替换成就可以了。【答案】见解析。【解析】（1）小球受力如图所示，因小球在与竖直方向成45角的P点处于平衡，所以电场力（2）因重力mg与电场力qE恒定不变，故可将合力等效为新重力，若将小球拉至与O点在同一水平面的C点自由释放，则小球到达A点时恰好与C点位置关于OP对称，因而小球在A点的速度为零，此时绳的拉力等于重力，。（3）由于等效重力所以等效重力加速度为若使小球在竖直平面内恰好做圆周运动，在最高点最小速度满足（等效重力提供向心力）：所以最小速度为.【总结升华】解题的关键是要正确找到等效“最低点”，求出等效重力加速度，在最高点速度最小，条件是等效重力提供向心力，将我们平常的，将式中的用等效重力加速度代替即可。举一反三【变式】 在水平方向的匀强电场中，有一质量为m的带正电的小球，用长为L的细线悬于O点，当小球平衡时，细线和竖直方向成角，如图所示，现给小球一个冲量，冲量的方向和细线垂直，使小球恰能在竖直平面内做圆周运动。求：（1）小球做圆周运动的过程中，在哪个位置有最小速度？并求这个速度值。（2）施加的冲量值至少为多大？【答案】（1）（2）【解析】（1）由于重力和电场力都是恒力，则可以用它们的合力（即等效合外力）来代替，Q点就是等效最低点。分析其等效合外力对小球做功的情况，若等效合力做正功，则小球动能增大，反之小球动能减少。小球受重力和电场力等效场力沿OQ方向，故小球运动到圆周上OQ反方向延长线上P点时，小球速度有最小值，就是等效最高点。 由受力图可知，等效合外力则等效场的加速度（等效重力加速度）为故最小速度值（2）从Q点开始转过180到P点过程中，由动能定理得： 解得所以施加的冲量值至少为类型五、等效法在电学中的应用1、电场中的等效电场强度问题例7、如图所示，图甲中MN为足够大的不带电薄金属板，在金属板的右侧，距离为d的位置上放入一个电荷量为+q的点电荷O，由于静电感应产生了如图甲所示的电场分布。P是金属板上的一点，P点与点电荷O之间的距离为r，几位同学想求出P点的电场强度大小，但发现问题很难。几位同学经过仔细研究，从图乙所示的电场得到了一些启示，经过查阅资料他们知道：图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的。图乙中两异号点电荷电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，虚线是两点电荷连线的中垂线。由此他们分别对P点的电场强度方向和大小做出以下判断，其中正确的是（ ） A方向沿P点和点电荷的连线向左，大小为 B方向沿P点和点电荷的连线向左， 大小为 C方向垂直于金属板向左，大小为 D方向垂直于金属板向左，大小为 【思路点拨】本题应用了等效法，也可以认为应用的是类比法。把甲图中P点的场强等效为等量异种电荷中垂线上P点的场强，分别求出正负电荷在P点的场强进行矢量合成即可。【答案】C【解析】+q、-q在P点的场强方向如图，大小相等，等量异种电荷中垂线上场强方向垂直于中垂线，方向垂直于金属板向左。两电荷在P点的场强大小都为，在水平方向的场强大小为，所以P点的场强为，故选项C正确。【总结升华】解题的关键是把甲图中P点的场强等效为我们所熟悉的等量异种电荷模型中垂线上P点的场强，再求出正负电荷在P点的场强，然后进行矢量合成。举一反三【变式】图甲中，MN为很大的薄金属板（可理解为无限大），金属板原来不带电。在金属板的右侧，距金属板距离为d的位置上放入一个带正电、电荷量为q的点电荷，由于静电感应产生了如图甲所示的电场分布。P是点电荷右侧，与点电荷之间的距离也为d的一个点，几位同学想求出P点的电场强度大小，但发现问题很难。几位同学经过仔细研究，从图乙所示的电场得到了一些启示，经过查阅资料他们知道：图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的。图乙中两异号点电荷电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，虚线是两点电荷连线的中垂线。由此他们分别求出了P点的电场强度大小，一共有以下四个不同的答案（答案中k为静电力常量），其中正确的是（）【答案】AA. B. C. D. 【解析】把图中P点的场强等效为等量异种电荷在P点的场强，如图+q在P点的场强方向水平向右，大小为，+q到P点的距离为d，设向右为正方向，则-q在到P点的距离为d，方向水平向左，大小为，-q到P点的距离为3d，则所以P点的合场强大小为方向水平向右，故选A。2、电路中的等效电阻、等效电路问题例8、如图所示电路由8个不同的电阻组成，已知R112，其余电阻阻值未知，测得A、B间的总电阻为4。今将R1换成6的电阻，则A、B间的总电阻为_。 【思路点拨】本题若直接用画等效电路图的方法，很难求解，如果用用等效替代法，就很容易解决问题。将除R1以外的7个电阻等效为一个电阻R0，则原电路可以等效为R1和R0的并联，从而可以求出R0，再将R1换成6的电阻后，求出A、B间的总电阻。【答案】3 【解析】将除R1以外的7个电阻等效为一个电阻R0，则原电路可以等效为R1和R0的并联，等效电路图如图所示，根据两电阻的并联关系，代入数据解得将R1换成6的电阻，由于两电阻相等，则A、B间的总电阻为。【总结升华】由于那7个电阻未知，已知的是R1，改变的也是R1，7个电阻未变，画等效电路的方法显然不可取，还是用等效法用一个电阻等效替代“7个未知电阻”，这个等效替代的电阻与R1是并联关系，就可以求出等效替代的电阻R0。举一反三【变式】如图所示的电路是由12个不同的电阻组成的，已知R1=24其余电阻值未知，测得AB间总阻值为12今将R1换成12的电阻则AB间总阻值变为（） A12 B8 C6 D4【答案】B3、电路中的等效电源问题例9、（2015 四川卷）用实验测一电池的内阻r和一待测电阻的阻值Rx。已知电池的电动势约6V，电池内阻和待测电阻阻值都为数十欧。可选用的实验器材有：电流表A1（量程030mA）；电流表A2（量程0100mA）；电压表V（量程06V）；滑动变阻器R1（阻值05）；滑动变阻器R2（阻值0300）；开关S一个，导线若干条。某同学的实验过程如下：设计如下图所示的电路图，正确连接电路。 将R的阻值调到最大，闭合开关，逐次调小R的阻值，测出多组U和I的值，并记录。以U为纵轴，I为横轴，得到如下图所示的图线。断开开关，将Rx改接在B、C之间，A与B直接相连，其他部分保持不变。重复的步骤，得到另一条U-I图线，图线与横轴I的交点坐标为（I0，0），与纵轴U的交点坐标为（0，U0）。回答下列问题：电流表应选用 ，滑动变阻器应选用 ； 由图4的图线，得电源内阻r ；用I0、U0和r表示待测电阻的关系式Rx ，代入数值可得Rx；若电表为理想电表，Rx接在B、C之间与接在A、B之间，滑动变阻器滑片都从最大阻值位置调到某同一位置，两种情况相比，电流表示数变化范围 ，电压表示数变化范围 。（选填“相同”或“不同”）【答案】A2 R2 25 r 相同 不同【解析】根据题设条件中电池的电动势约为6V，电池内阻和待测电阻阻值都为数十欧，可估算出电路中的电流为数十毫安，因此电流表应选用A2，为了电路正常工作，以及方便调节，多测量几组数据，滑动变阻器应选用R2。根据图3电路结构可知，电压表测量了电路的路端电压，电流表测量了电路的总电流，因此图4中，图线斜率绝对值即为电源的内阻，有：r|k|25。当改接电路后，将待测电阻与电源视为整体，即为一“等效电源”，此时图线的斜率为等效电源的内阻，因此有：rrRx|k|，解得：Rxr若电表为理想电表，Rx接在B、C之间与接在A、B之间，电路的总电阻可变范围不变，因此电流表的示数变化范围相同，Rx接在B、C之间时，电压表测量的是滑动变阻器两端的电压，而Rx接在A、B之间时，电压表测量的是滑动变阻器与Rx两端电压的和，由于对应某一滑动变阻器阻值时，电路的电流相同，因此电压表的读数不同，所以电压表示数变化范围也不同。【考点】测定电源电动势和内阻、伏安法测电阻的实验举一反三【变式】如图所示，R1=8，电源的电动势E=8V，内阻r =2，R2为变阻器，要使变阻器获得的电功率最大，R2的值应是多大？这时R2的功率多大？【答案】10，1.6W.【解析】把R1看成是电源内阻的一部分，这样内电阻（等效内阻）就是R1+r，利用电源输出功率最大的条件，可以求出：当R2=R1+r =8+2=10时，R2有最大功率 .类型六、等效法在磁场、电磁感应中的应用1、非直线电流的所受安培力（等效长度问题）例10、如图所示，在磁感应强度为B的匀强磁场中，放置一个用粗细均匀的电阻丝折成的平面三角形框架abc，框架平面与磁场方向垂直，ab、bc、ca三边的长度分别为3L、4L、5L，整个电阻丝的总电阻为12r，现将框架的a、c两端与某一电动势为E，内阻为r的电池相连（所用的导线电阻不计）。试求该框架所受到的安培力的大小与方向。 【思路点拨】非直线电流等通电导体（如折线、半圆形、V形等不规则形状），求其所受安培力的问题，关键是求出等效长度。其求法是把两端点连接起来，电流从起点流向终点，起点到终点的长度即为等效长度。本题中ab、bc的等效长度为ac，即5L。电流I1从a到c，折线abc导体与ac导体并联。【答案】见解析。【解析】如图所示，设框架的折线部分abc中通过的电流为I1，ac边中通