高考数学必修知识讲解两角差的余弦公式提高

两角差的余弦公式【学习目标】1经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.2通过公式的推导，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质.【要点梳理】要点一：两角差的余弦公式1两角差的余弦公式的推导：（1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，它们的终边与单位圆的交点分别为，则由向量数量积的概念，有，结合向量数量积的坐标表示，有所以= （*）（2）由以上的推导过程可知，是任意角，则也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，（*）中的为此，我们讨论如下：由于是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角，使若，则若，则，且由以上的讨论可知，对于任意的，都有：= 2公式的记忆右端为的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反要点诠释：(1)公式中的都是任意角(2)差角的余弦公式不能按分配律展开，即(3)要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角差的余弦要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用1逆用 =要点诠释：公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能迅速地想到2角变换后使用3移项运用4特殊化使用5以代即【典型例题】高清课堂：两角差的余弦公式 401789 例1类型一：利用差角的余弦公式进行证明例1求证：（1）（2）【思路点拨】（1）用代，利用两角差的余弦公式展开（2）利用及两角和的余弦公式可证得【证明】（1）= = （2） = = = =举一反三：【变式1】证明： = = = = =类型二：利用差角的余弦公式化简三角函数式例2（1）；（2）【解析】（1）原式（2）原式= = = = =【总结升华】 两角差的余弦公式中，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体，如（2）题的（）可视为一个整体分析题目特点，构造两角的差，然后应用两角差的余弦公式，是常见题型举一反三：【变式1】（1）cos15cos105+sin15sin105；（2）cos(35)cos(25+)+sin(35)sin(25+)；（3）cos 40cos70+cos20cos50；（4）；【解析】（1）原式=cos(15105)=cos(90)=0（2）原式（3）原式（4）原式 类型三：利用差角的余弦公式求值（或角）例3已知，均为锐角，求【思路点拨】【解析】，均为锐角，由，易知，【总结升华】举一反三：【变式1】已知，且、均为锐角，求的值【解析】因为、均为锐角，故，均在（0，）内，所以，而，所以例4已知、均为锐角，且，求的值【思路点拨】先求，然后根据确定的范围【答案】【解析】 、均为锐角，且，又，而，即，【总结升华】 此类题目是给值求角问题，一般步骤如下：求所求角的某一个三角函数值；确定所求角的范围此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值举一反三：【变式1】 已知、为锐角，求角的值【解析】 为锐角且，又为锐角，又，又为锐角，【总结升华】（1）本题运用了角的变换技巧，抓住条件角与结论角的关系解题（2）应注意运用三角函数值的大小关系这一隐含条件来研究角的范围【变式2】若，求的值【解析】（1）（2）（1）2+（2）2得：2+2=1 类型四：两角差的余弦公式在向量运算中的应用例5已知三点、若向量（k为常数，且0k2），求的最大、最小值及相应的k值【思路点拨】由题意得，因为要求的最值，所以想法消去可解得【答案】当k=1时，最大值；当或时，最小值1【解析】 由已知得移项得2+2得0k2，故k=1时，有最大值，又，的最小值为1，此时，解得或综上所述，当k=1时，有最大值；当或时，有最小值1【总结升华】（1）向量与三角函数有机结合，是近几年高考的一个亮点，希望引起足够的重视（2）形如的一类问题，平方相加或相减，或者先移项再平方相加而消元，是解决此类问题