定积分的应用

定积分的应用 微积分学是微分学和积分学的统称，它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。在数学史上，它的发展为现代数学做出了不朽的功绩。恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分，是数学的一个重要的分支，它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具。凡是复杂图形的研究，化学反映过程的分析，物理方面的应用，以及弹道气象的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等等，都要用得到微积分。正是由于微积分的广泛的应用，才使得我们人类在数学科学技术经济等方面得到了长足的发展，解决了许多的困难。以下将讲述一下定积分在数学经济工程医学物理方面的中的一些应用。1 定积分的概念的提出1.1图1-1a bOy=f(x)xy问题的提出 曲边梯形的面积（如图1）所谓曲边梯形，是指由直线、（），轴及连续曲线（）所围成的图形。其中轴上区间称为底边，曲线称为曲边。不妨假定，下面来求曲边梯形的面积。由于图1-2a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn =bxiOxnx1 x2y=f(x)xy（）无法用矩形面积公式来计算，但根据连续性，任两点 ，很小时，间的图形变化不大，即点、点处高度差别不大。于是可用如下方法求曲边梯形的面积。（1） 分割 用直线，（）将整个曲边梯形任意分割成个小曲边梯形，区间上分点为：这里取，。区间被分割成个小区间，用表示小区间的长度，表示第块曲边梯形的面积，整个曲边梯形的面积等于个小曲边梯形的面积之和，即（2）近似代替: 对每个小曲边梯形，它的高仍是变化的，但区间长度很小时，每个小曲边梯形各点处的高度变化不大，所以用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，就是，在第个小区间上任取一点，用以为底，为高的小矩形面积，近似代替这个小曲边梯形的面积（图1-1）， 即.（3）求和 整个曲边梯形面积的近似值为 个小矩形面积之和，即上式由于分割不同，选取不同是不一样的，即近似值与分割及选取有关（图12）。（4）取极限 将分割不断加细，每个小曲边梯形底边长趋于零，它的高度改变量趋于零，曲边梯形的面积与取代它的矩形面积无限接近，从而和式的极限就定义为曲边梯形面积的精确值。令 ，当时，有上面的例子，最终归结为一个特定的形式和式逼近。在科学技术中还有许多同样的数学问题，解决这类数学问题的思想方法概括说来就是“分割，近似求和，取极限”这是定积分概念的背景。1.2定积分的定义 设函数在区间上有界，在中任意插入若干个分点把分成个小区间：各个小区间的长度依次为：, 在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积。并作和记，如果不论对怎样分割，也不管在小区间上点（）怎样取法，只要当时，和总是趋于确定的极限，我们称这个极限值为函数在区间上的定积分（简称为积分），记作，即 （1）其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分下限，称为积分上限，称为积分变量，称为积分和。（1） 曲边梯形的面积是曲边方程在区间上的定积分。即2定积分在几何学上的应用2.1定积分在平面几何中的应用在初高中我们学习过求圆，三角形，平四边形，梯形等比较规则的图形面积，然而对于不规则的图形就无能为力了，所以再学定积分以前我们只能求一些简单图形的面积，部分稍复杂的图形，可能用有限个简单图形的分割也能求出来，但有很大的局限性，定积分的出现为这些问题，提出了很好的解决条件。一般地，由上、下两条连续曲线y= (x)与y= (x)以及两条直线x=a与x=b(ab)所围成的平面图形，它的面积计算公式为（1）pQ例 求由抛物线与x-2y-3=0所围成平面图形的面积A解 该平面图形如图3所示，先求出直线与抛物线交点P(1,-1)与Q(9,3).用X=1把图形分成左，右两部分，应用公式（1） 分别求得它们的面积为图2-1.A=+=32/3。2.2定积分在立体几何中的应用2.2.1由截面面积函数求立方体体积设为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x轴的两平面x=a与 x=b之间（a=0).这段曲线绕x轴旋转一周得到旋转曲面，则面积公式s=2。如果光滑曲线C由参数方程x=x(t),y=y(t),t,给出，且y(t)0,那么由弧微分知识推知曲线C绕x轴旋转所得旋转曲面的面积为S=2.例 计算圆+=在,-R,R上的弧段绕x轴旋转所得球带的面积。解 对曲线y=在区间,上应用公式（3），得到 S=2=2R()。特别当=-R, =R时，则得球的表面积=4.3定积分在经济学中的应用3.1求经济函数在区间上的增量根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量的变动区间上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间上的定积分： （1） （2） （3）例 已知某商品边际收入为（万元/t），边际成本为5（万元/t），求产量从250t增加到300t时销售收入，总成本C，利润的改变量（增量）。解 首先求边际利润 所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：=15=250万元 =100万元例 某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成本的变化率（即边际成本）是日产量的函数，已知固定成本为1000元，求总成本函数.解 因总成本是边际成本的一个原函数，所以已知当时，代入上式得，于是总成本函数为例 某产品销售总收入是销售量的函数。已知销售总收入对销售量的变化率（即边际收入），求销售量由100增加到400时所得的销售收入.解 因销售收入是边际收入的一个原函数，按题意，有（元）3.2求经济函数在区间上的平均变化率设某经济函数的变化率为，则称为该经济函数在时间间隔内的平均变化率。例 某银行的利息连续计算，利息率是时间（单位：年）的函数：。求它在开始2年，即时间间隔0，2内的平均利息率。解 由于所以开始2年的平均利息率为 例 某公司运行（年）所获利润为（元）利润的年变化率为（元/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔3，8内年平均变化率解 由于所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为（元/年）即在这5年内公司平均每年平均获利元。3.3由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量设某个项目在（年）时的收入为（万元），年利率为，即贴现率是，则应用定积分计算，该项目在时间区间上总贴现值的增量为。设某工程总投资在竣工时的贴现值为A（万元），竣工后的年收入预计为（万元）年利率为，银行利息连续计算。在进行动态经济分析时，把竣工后收入的总贴现值达到A，即使关系式成立的时间T（年）称为该项工程的投资回收期。例 某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年收入预计为200万元，年利息率为0.08，求该工程的投资回收期。解 这里，则该工程竣工后T年内收入的总贴现值为令 =1000，即得该工程回收期为=6.39（年）3.4 利润、产量与开工时数的最佳值的确定例1 某厂生产一种产品，年产量为吨时，总费用的变化率（即边际费用）为（单位：百元/吨），这种产品每吨的销售价为3000元，问一年生产多少产品工厂利润最大，并求出年利润的最大值.解 总费用是边际费用的原函数，故而收入函数（百元），又由则 令 ，得（吨）。驻点唯一。此时，由实际问题可知，当时，取得最大值(百元).因此，年产量为88吨时工厂获得最大利润96800元。例 2 某工厂生产一种产品，每日总收入的变化率（即边际收入）是日产量的函数（单位：元/件）。该厂生产此种产品的能力为每小时30件，问怎样安排生产才能使这种产品每日的总收入最大？并求出此最大总收入值.解 由题意 ，令 ，得， 又，因为只有唯一的驻点，由实际问题知，当时，取得最大值.因此，每日取得最大总收入的产量为150件，此时（元）.完成150件产品需要的工时为（小时），所以，每天生产这种产品5小时，就使每日收入最大，最大值为2250元。3.5 资本存量问题例1 资本存量是时间的函数。它的导数等于净投资。现知道净投资（单位：10万元/年）。求第一年底到第四年底的资本存量.解 因资本存量是净投资的一个原函数，故14（10万元）所以，第一年底到第四年底的总资本存量为1400000元。例 2 某银行根据前四年存款情况，知该行现金净存量的变化率是时间的函数（单位：万元/年），计划从第五年起积存现金1000万元。按此变化率需几年时间？解 依题意1000即 1000由此，得 解此方程，得 .所以，从第五年积存1000万元现金约需6 年.3.6消费者剩余和生产者剩余 在自由市场中，生产并销售某一商品的数量可由这一商品的供给与需求曲线描述，它的状态可在如图上直观表现如下：的经济意义是供应者会生产此商品的最低价。是消费者会购买此种商品的最高价。是免费供给此种商品的需求量（如卫生纸）经市场功能调节后，市场将趋于平衡价和平衡数量，两条曲线在相交。消费者以平衡价格购买了某种商品，他们本来打算出较高的价格购买这种商品，消费者剩余是指消费者因此而省下来的钱的总数。用积分式来表达就是：消费者剩余曲边三角形面积.生产者以平衡价格出售了某种商品，他们本来打算以较低一些的售价售出这些商品，生产者剩余是指生产者因此而获得的额外收入。用积分式表达就是生产者剩余曲边三角形面积.4定积分在工程中的应用4.1定积分中值定理 定积分中值定理作为定积分的一个重要性质，计算河床的平均深度时，应用定积分中值定理知识。此问题主要出现在水利工程专业的工程水文学课程中，主要应用于计算河流、湖泊等河床横断面水的平均深度，以此用作河流测流、工程设计或施工的一个依据。只要测量出河面在某处的宽度（B），河床的横断面形状和河床的最大深度（h ），则可运用定积分中值定理知识计算该处河床的平均深度（ ），即(m).例 设一河流的河面在某处的宽度为2 b，河流的横断面为一抛物线弓形，河床的最深处在河流的中央，深度为h ，求河床的平均深度. 分析：首先，选取坐标系使x 轴在水平面上，y 轴正向朝下，且y 轴为抛物线的对称轴。于是，抛物线方程为y=h-.然后，运用定积分中值定理便可求得河床的平均深度. 解：河床的平均深度=.4.2定积分的近似计算知识的应用 近似求物体的截面积，应用梯形法或抛物线法等定积分的近似计算知识。此问题主要出现在水利工程专业的灌溉排水技术课程中，主要应用于近似计算河床、渠道的过水断面面积，进而计算截面流量（即渠系测流）。由水利学知识可知，单位时间内流过某一截面的流体的体积就叫做通过这个截面的流量，即QV/t（m3/s）.在水利工程中，流量的计算通常运用公式Q=sv(m3/s)，即过水断面面积（s ）与流速（v ）的乘积。例1有一条宽为24米的大型干渠，正在输水浇灌农田，试利用流速仪并结合梯形法或抛物线法近似求横截面积等高等数学知识进行测流。x242220181614121086420y12y10y11y3y2y1y0y图4-1分析：根据灌溉管理学知识，首先选择测流断面，确定测线。测流断面选择在渠段正直，水流均匀，无漩涡和回流的地方，断面与水流方向垂直；测流断面的测线确定为12条。其次，测定断面。先在渠道两岸拉一条带有尺度的绳索，测出测深线的起点距（与断面起点桩的水平距离）；测线深度，用木制或竹制的测深杆施测，从渠道一岸到对岸每隔2米测量一次水深，测得数据如下表。根据施测结果绘出测流断面图，如图所示。第三，利用流速仪施测断面流速。例如，利用旋环式流速仪测出该渠道断面平均流速为v=0.60m/s.第四，近似计算渠道过水断面面积和流量。. 测线深度施测数据表 （单位：m）xi024681012141618202224yi00.50.71.01.51.61.92.22.01.71.30.80 解答：（1） 抛物线法（辛卜生公式）：A30.67m2 ； Q=18.40m3/s.（2） 梯形法：A30.40m2 ； Q=18.24m3/s.例 2有一条河流，宽为200米，从河一岸到正对岸每隔20米测量一次水深，测的数据如下表。试分别用梯形法和抛物线法求此河床横截面积的近似值。 单位：mxi020406080100120140160180200yi259111719211511634.3微元法知识的应用 微元法在专业基础课和专业课中应用非常广泛，求解物体所受液体的侧压力，应用微元法知识。此问题主要出现在水利工程专业的水力学、水工建筑物等课程中，主要应用于计算水闸及输水建筑物（如坝下涵管、隧洞、渠道、管道等）上的闸门所受水压力的大小，作为设计或校核闸门结构的一个重要依据。水闸是一种低水头水工建筑物，既能挡水，又能泄水，用以调节水位，控制泄流量；多修建于河道、渠系及水库、湖泊岸边，在水利工程中的应用十分广泛。闸门是水闸不可缺少的组成部分，用来调节流量和上、下游水位，宣泄洪水和排放泥沙等。闸门的形式很多，按其结构形式通常分为平面闸门、弧形闸门及自动翻倒闸门等；按其工作条件可分为工作闸门和修理闸门；按其所处的位置不同可分为露顶闸门和潜孔闸门；按其所用的材料可分为钢闸门、钢筋混凝土闸门、钢丝网水泥闸门和木闸门等；按其形状不同又可分为矩形闸门、梯形闸门、圆形闸门和椭圆形闸门等。闸门的主要作用是挡水，承受水压力是其作用荷载之一。运用微元法计算闸门所受水压力时，设受水压力作用的区域与水平面垂直且由曲线y=f(x)0,(0axb)x=a,x=b 及x轴所组成。x 轴正向朝下，y 轴在水平面上，水的密度为=1000/m3,则闸门所受的水压力大小为P= (N). 例 有一个水平放置的无压输水管道，其横断面是直径为6m的圆，水流正好半满，求此时输水管道一端的竖直闸门上所受的水压力。 分析：首先建立合适的直角坐标系，如图所示，则圆的方程为=9.yxxx+dxrO然后，运用微元法求解即可。图4-2解答：P=1.76105N.5定积分在医学的应用如图显示了人的心血管系统。血液流经全身通过静脉进入右心房，然后通过肺动脉泵入肺部补充氧气。之后通过肺静脉流回左心房，再通过主动脉流往全身其它部位，进行血液循环。心输出量就是单位时间（一分钟）内，心脏泵出的血液量，即血液通过动脉的速率。安静状态下，成年男性每搏输出量为6080毫升，心率75次/分钟，故心输出量约4.56升；女性的心输出量比同体重男性的约低10。人体的血液一直在周身循环，我们只能人为定义血液流动的起点和终点，即便这样也很难测定心脏单位时间内泵出的血液总量，所以人们就探索利用辅助材料来测定心输出量。最简单的辅助材料就是染料，即指示剂。具体做法是把指示剂加入到右心房，那么指示剂会和血液一起流经心脏泵入动脉。通过一个插入动脉的探头在一段时间内等间隔测量测出流出心脏的指示剂的浓度，直到指示剂基本消失，即指示剂全部流出心脏。那么剩余的问题就是如何利用测得图5-1 图5-2的浓度计算心输出量呢？ 严格意义，只能测定某一时刻指示剂的浓度，是一系列的离散值，我们假定这些离散值在某一微小的时间段内是不变的，所以当时间段分的越细我们测定的值越接近连续值，这种思想使我们很容易想到积分的概念，所以可建立数学模型解决这个问题。 解 令c(t)是t时刻指示剂的浓度。如果把时间段0,t划分成n个等长的小时间段，指示剂流量=c(t)(F),其中F为我们测定的心输出量，这样总量即为，令时，指示剂总。那么心输出量F=.这里的A为已知量，即投入右心房的指示剂总量，c(t)通过测量探头读取。6定积分在物理学的应用6.1变力做功在功的问题中，恒力做功是最简单的，公式为“以常代变”，功的微元应该通过恒力做功公式得到的例 1 一压簧，原长1，把它每压缩1时所用的力为0.05问在弹性范围内把它由1（如图6-1）压缩到60（如图6-2）所做的功图6-1图6-2解令起点为原点，压缩的方向为轴的正方向当把弹簧自原点压缩至之间的任意点处时（如图6-3）图6-3由胡克定律知所承受的弹簧的压力为在此力的作用下，再继续压缩一点点，即压缩至处由于很小，这个压缩过程可认为力不变，即恒力做功则由恒力做功公式得功的微元积分得例2 在原点处有一带电量为的点电荷，在它的周围形成了一个电场现在处有一单位正电荷沿轴正方向移至处，求电场力所做的功又问若把该电荷继续移动，移动至无穷远处，电场力要做多少功解点电荷在任意点处时所受的电场力为（为常数）电场力做功的微元为点电荷由任意点处移动至处时电场力所做的功 即则移至处电场力做的功；移至无穷远处电场力做的功（物理学中称此值为电场在处的电位）例 3 一圆台形水池，深15，上下口半径分别为