2020年广东省高二数学二项式定理辅导课讲义

2020年广东省高二数学二项式定理辅导课讲义1二项工定理2二项展开式的通项它是展开式的第r+1项.3二项式系数 4二项式系数的性质（1）（2）（3）若n是偶数，有，即中间一项的二项式系数最大.若n是奇数，有，即中项二项的二项式系数相等且最大.（4）（5）（7）（6）（8）以上组合恒等式（是指组合数满足的恒等式）是证明一些较复杂的组合恒等式的基5证明组合恒等式的方法常用的有（1）公式法，利用上述基本组合恒等式进行证明.（2）利用二项式定理，通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中.（3）利用数学归纳法.（4）构造组合问题模型，将证明方法划归为组合应用问题的解决方法.6.二项式的应用（1）求某些多项式系数的和。（2）证明一些简单的组合恒等式。（3）证明整除性。求数的末位；数的整除性及求系数；简单多项式的整除问题。（4）近似计算。当|x|充分小时，我们常用下列公式估计近似值：(1+x)n1+nx(1+x)n1+nx+x2（5）证明不等式。1（2020湖北卷理第14题）的展开式中整理后的常数项为 .2.（2001京皖春，3）等于（ ）A.0 B.2 C. D.3.（2002京皖春理，10）对于二项式（+x3）n（nN*），四位同学作出了四种判断：存在nN *，展开式中有常数项 对任意nN *，展开式中没有常数项 对任意nN *，展开式中没有x的一次项 存在nN *，展开式中有x的一次项上述判断中正确的是（ ）A. B. C. D.4.（2002京皖春文，10）在（+x2）6的展开式中，x3的系数和常数项依次是（ ）A.20，20 B.15，20 C.20，15 D.15，155.（1999全国理，8）若（2x）4a0a1xa2x2a3x3ax4，则（a0a2a4）2（a1a3）2的值为（ ）A.1 B.1 C.0 D.26（2001上海理，8）在代数式（4x22x5）（1）5的展开式中，常数项为 7求的展开式中的常数项.8求的展开式里x5的系数.9求证：。10.（2001全国理，20）已知i，m，n是正整数，且1imn.（1）证明nimi；（2）证明（1m）n（1n）m.11证明下列不等式：（1）（）n,（a、bx|x是正实数,nN）;（2）已知a、b为正数，且+=1，则对于nN有 （a+b）n-an-bn22n-2n+1。12已知(1-ax)n展开式的第p,p+1,p+2三项的二项式系数构成等差数列，第n+1-p与第n+2-p项的系数之和为0，而（1-ax）n+1展开式的第p+1与p+2项的二项式系数之比为12。（1）求（1-ax）n+1展开式的中间项；（2）求（1-ax）n的展开式中系数最大的项。13已知a，b均为正整数，且求证：对一切，An均为整数.14求证下列各式（1）Cnk+Cnk-1=Cn+1k;（2）Cn0Cmp+Cn1Cmp-1+CnpCm0=Cm+np。15已知a，b均为正整数，且求证：对一切，An均为整数.二项式定理辅导课讲义答案1 2.答案：D解析：原式3.答案：D解析：二项式（+x3）n展开式的通项为Tr+1=()nr(x3)r=xrnx3r=x4rn当展开式中有常数项时，有4n=0，即存在n、r使方程有解.当展开式中有x的一次项时，有4rn=1，即存在n、r使方程有解.即分别存在n，使展开式有常数项和一次项.4.答案：C解析：二项式（+x2）6展开式的通项为：Tr+1=当Tr+1为x3项时，r=3，Tr+1=x3=20x3当Tr+1为常数项时，r=2，Tr+1=155.答案：A6.答案：15解析：7由二项式定理得 其中第项为 在的展开式中，设第k+1项为常数项，记为则 由得r2k=0，即r=2k，r为偶数，再根据、知所求常数项为【评述】求某一项时用二项展开式的通项.8因为 所以的展开式里x5的系数为【评述】本题也可将化为用例1的作法可求得.9证明：当时，。又不等式成立。10证明：（1）方法一：对于mn，k1，2，i1有即mini方法二：ni=m（m1）（m2）（mi+1）=mn（mnn）（mn2n）mnn（i1）同理mi=mn（mnm）（mn2m）mnm（i1）1imn，mnnmnm，mn2nmn2m，mnn（i1）mnm（i1）联系、可得nimiAin.（2）由二项式定理：又而mini 又（1m）n（1n）m评述：此题体现了命题指导思想上有加强离散数学分量的趋势.11（1）令a=x+， b=x- 则x=an+bn=(x+)n+(x-)n=xn+Cn1xn-1+Cnnn+xn-Cn1xn-1+(-1)nCnnn=2(xn+Cn2xn-22+Cn4xn-44+) 2xn即（）n（2）(a+b)n=an+Cn1an-1b+Cnnbn (a+b)n=bn+Cn1bn-1a+Cnnan上述两式相加得：2(a+b)n=(an+bn)+Cn1(an-1b+bn-1a)+Cnk(an-kbk+bn-kak)+Cnn(an+bn) (*)+=1，且a、b为正数 ab=a+b2 ab4又an-kbk+bn-kak2=2()n(k=1,2,n-1)2(a+b) n2an+2bn+Cn12()n+Cn22（）n+Cnn-12()n(a+b)n-an-bn(Cn1+Cn2+Cnn-1)（）n(2n-2)2n=22n-2n+1注 利用二项式定理的展开式，可以证明一些与自然数有关的不等式问题。题（1）中的换元法称之为均值换元（对称换元）。这样消去奇数次项，从而使每一项均大于或等于零。题（2）中，由由称位置二项式系数相等，将展开式倒过来写再与原来的展开式相加，这样充分利用对称性来解题的方法是利用二项式展开式解题的常用方法。12解 由题设得：由得，2Cnp=Cnp+Cnp两边约去Cnp,可得：2=+由得，2Cn+1p=Cn+1p 约去Cn+1p可得，n=3p+1解方程组求出k的取值范围，从而确定第几项最大。得：n=7,p=2. 将p=2,n=7代入得：C57(-a)5+C76(-a)6=0 解之得：a=0或3。若a=0 ，则（1-0x）8的中间项T5=0，（1-0x）7展开式中系数最大的项是T1=1。若a=3，则（1-3x）8的中间项T5=C84（-3x）4=5670x4，（1-3x）7的展开式中，奇数项系数为正，令 1 解之得：k6。故（1-3x）7展开式中系数最大的项为T7=C76（-3）6x6=5103x6。注 一般地，求（a+bx）n展开式中系数绝对值最大的项的方法是：设第k+1项为系数绝对值最大的项，则由13【思路分析】由联想到复数棣莫佛定理，复数需要，然后分析An与复数的关系.【证明】因为显然的虚部，由于所以从而的虚部.因为a、b为整数，根据二项式定理，的虚部当然也为整数，所以对一切，An为整数.【评述】把An为与复数联系在一起是本题的关键.14证明：（1）对于给定的n+1个元素，从n+1个元素中任意选出k个元素的不同组合有Cn+1k。另一方面，设a是n+1个元素中的一个。对于a我们这样分类。（i）若a不选，则在n个元素中选k个，有Cnk种不同的选法。（ii）若a选，则在n个元素中再选k-1个，有Cnk-1种不同的选法。故从n+1个元素中选k个元素组成一组的不种选法是：Cnk+Cnk-1。所以，Cnk+Cnk-1=Cn+1k。（2）仿（1）我们也用排列组合的知识来证明。事实上右边Cm+np，可看作下列命题：从m个红球，n个白球中，任选p个球的不同选法是Cm+np种。另一方面，我们按选红球的个数分类：（i）取p个红球，0个白球；(ii)取p-1个红球，1个白球，取0个红球，p个白球，这样的每类选法数为：Cn0Cmp,Cn1Cmp-1,，CnpCm0由分类计数原理可得：Cn0Cmp+Cn1Cmp-1+CnpCm0=Cm+np（2）另证：（1+x）n(1+x)m(1+x)m+n左边展开式中xp的系数是：Cn0Cmp+Cn1Cmp-1+CnpCm0右边展开式中xp的系数是：Cm+np由多项式恒等条件可知Cn0Cmp+Cn1Cmp-1+CnpCm0=Cm+np注 本题的证明方