2016年济南市章丘市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年山东省济南市章丘市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1设集合 A=x|（ 4 x）（ x+3） 0，集合 B=（ x|x 1 0，则（ B 等于（ ） A（ ， 3 B 4， 1） C（ 3， 1） D（ ， 3） 2已知复数 z= 3i，则 |z|等于（ ） A 2 B C D 3某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做视力检查，现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号，已知从 49 64 这 16 个数中被抽到的数是 58，则在第 2 小组 17 32 中被抽到的数是（ ） A 23 B 24 C 26 D 28 4已知函数 f（ x） =）在（ 1， 2上单调递减，则实数 a 的值可以是（ ） A 1 B 1 C 2 D 3 5 “ 1 m 1”是 “圆（ x 1） 2+（ y m） 2=5 被 x 轴截得的弦长大于 2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6已知关于 x 的不等式 m |x+1| |2x+1|+|x+1|的解集为 R，则实数 m 的最大值为（ ） A 3 B 2 C 1 D 0 7包括甲、乙、丙三人在内的 6 人站成一排，则甲与乙、丙都相邻且乙不站在两端的排法有（ ） A 32 种 B 36 种 C 42 种 D 48 种 8如 果实数 x， y 满足条件 ，若 z= 的最小值小于 ，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ 1， +） C（ ， 1） D（ ， +） 9如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） 第 2 页（共 18 页） A B C 23 D 24 10已知函数 f（ x） = ， g（ x） = ，实数 a， b 满足 a b 0，若 a， b， 1， 1使得 f（ =g（ 立，则 b a 的最大值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 2 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11在 ， A= ， 面积为 _ 12执行如图的程序框图，若输入 k 的值为 5，则输出 S 的值为 _ 13已知向量 ， 的夹角为 60，且 | |=2， | |=3，设 = ， = ， =m 2 ，是 斜边的直角三角形，则 m=_ 14已知函数 f（ x） = x+a（ a 0）的图象与直线 x=0， x=3 及 y=x 所围成的平面图形的面积不小于 ，则曲线 g（ x） =4）在点（ 1， g（ 1）处的切线斜率的最小值为 _ 15已知点 F 是椭圆 T： + =1（ m 0）的上焦点， 双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的右焦点若线段 中点 P 恰好为椭圆 T 与双曲线 C 的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线 C 的离心率为 _ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16已知向量 =（ 1）， =（ m）， m R （ 1）若 m=且 ，求 值； （ 2）将函数 f（ x） =2（ + ） 21 的图象向右平移 个单位得到函数 g（ x）的图象，若函数 g（ x）在 0， 上有零点，求 m 的取值范围 17在如图所示的几何体中，四边形 矩形， 平面 B=2E 是 中点 （ 1）求证： 平面 第 3 页（共 18 页） （ 2）若 C=2 ， ，求二面角 A E 的余弦值 18机动车驾驶证考试分理论考试和实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记 “合格 ”与 “不合格 ”，两部分都 “合格 ”者，则机动车驾驶证考试 “合格 ”（并颁发机动车驾驶证）甲、乙、丙三人在理论考试中 “合格 ”的概率依次为 ， ， ，在实际操作中 “合格 ”的概率依次为 ， ， ，所有考试是否合格相互之间没有影响 （ 1）求这 3 人进行理论与实际操作两项考试后，恰有 2 人获得（机动车驾驶证）的概率； （ 2）用 X 表示甲、乙、丙三人在理论考试中合格的人数，求 X 的分布列和数学期望 E（ X） 19数列 前 n 项和为 Sn=n（ n+1）（ n N+）数列 足 + + （ 1）求数列 通项公式； （ 2）令 （ n N+），求数列 前 n 项和 20过抛物线 L： p 0）的焦点 F 且斜率为 的直线与抛物线 L 在第一象限的交点为 P，且 |5 （ 1）求抛物线 L 的方程； （ 2）设直线 l： y=kx+m 与抛物线 L 交于 A（ B（ 点 （ ）若 k=2，线段 垂直平分线分别交 y 轴和抛物线 L 于 M， N 两点，（ M， N 位于直线 l 两侧），当四边形 菱形时，求直线 l 的方程； （ ）若直线 l 过点，且交 x 轴于点 C，且 =a ， =b ，对 任意的直线 l， a+b 是否为定值？若是，求出 a+b 的值，若不是，说明理由 21已知函数 f（ x） =a 0）的图象在点（ 1， f（ 1）处的切线与直线平 y=（ 1 a） x 行 （ 1）若函数 y=f（ x）在 e， 2e上是减函数，求实数 a 的最小值； （ 2）设 g（ x） = ，若存在 e， 使 g（ 成立，求实数 a 的取值范围 第 4 页（共 18 页） 2016 年山东省济南市章丘市高考数学二模试卷（ 理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1设集合 A=x|（ 4 x）（ x+3） 0，集合 B=（ x|x 1 0，则（ B 等于（ ） A（ ， 3 B 4， 1） C（ 3， 1） D（ ， 3） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 化简集合 A、 B，求出 （ B 即可 【解答】 解： 集合 A=x|（ 4 x）（ x+3） 0=x|x 3 或 x 4=（ ， 3 4， +）； 集合 B=x|x 1 0=x|x 1=（ ， 1）， 3， 4）， （ B=（ 3， 1） 故选： C 2已知复数 z= 3i，则 |z|等于（ ） A 2 B C D 【考点】 复数 求模 【分析】 化简复数 z，求出 |z|即可 【解答】 解： 复数 z= 3i= 3i= 3i=1 i， |z|= = 故选： D 3某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做视力检查，现将 800 名学 生从 1 到 800 进行编号，已知从 49 64 这 16 个数中被抽到的数是 58，则在第 2 小组 17 32 中被抽到的数是（ ） A 23 B 24 C 26 D 28 【考点】 系统抽样方法 【分析】 根据系统抽样的定义进行求解即可 【解答】 解： 样本间隔 k= =16， 设从 1 16 中随机抽取 1 个数的结果是 x， 第 k 组抽取的号码数为 x+16（ k 1）， 又 k=4 时， x+16 3=58，解得 x=10； 在编号为 17 32 的这 16 个学生中抽取的一名学生， 其编号为 10+16=26 故选： C 第 5 页（共 18 页） 4已知函数 f（ x） =）在（ 1， 2上单调递减，则实数 a 的值可以是（ ） A 1 B 1 C 2 D 3 【考点】 复合函数的单调性 【分析】 根据复合函数单调性之间的关系进行转化求解即可 【解答】 解：设 t=， 若函数 f（ x） =）在（ 1， 2上单调递减， 则 t= 在（ 1， 2上单调递减且当 x=2 时， t 0， 即 ，即 ，得 2 a 0， 则只有 a= 1 满足条件 故选： B 5 “ 1 m 1”是 “圆（ x 1） 2+（ y m） 2=5 被 x 轴截得的弦长大于 2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由圆（ x 1） 2+（ y m） 2=5，令 y=0，可得： x 1= ，可得圆（ x 1）2+（ y m） 2=5 被 x 轴截得的弦长 L= 2，解得 m 范围即可判断出结论 【解答】 解：由圆（ x 1） 2+（ y m） 2=5，令 y=0，可得： x 1= ， 圆（ x 1） 2+（ y m） 2=5 被 x 轴截得的弦长 L= 2，解得 2 m 2 “ 1 m 1”是 “圆（ x 1） 2+（ y m） 2=5 被 x 轴截得的弦长大于 2”的充分不必要条件 故选： A 6已知关于 x 的不等式 m |x+1| |2x+1|+|x+1|的解集为 R，则实数 m 的最大值为（ ） A 3 B 2 C 1 D 0 【考点】 绝对值不等式的解法 【分析】 由题意可得 m |2x+1|+|2x+2|的解集为 R，再根据绝对值三角不等式求得|2x+1|+|2x+2|的最小值为 1，可得实数 m 的最大值 【解答】 解：关于 x 的不等式 m |x+1| |2x+1|+|x+1|的解集为 R，即 m |2x+1|+|2x+2|的解集为 R |2x+1|+|2x+2| |2x+1（ 2x+2） |=1， m 1， 实数 m 的最大值为 1， 故选： C 7包括甲、乙、丙三人在内的 6 人站成一排 ，则甲与乙、丙都相邻且乙不站在两端的排法有（ ） A 32 种 B 36 种 C 42 种 D 48 种 【考点】 排列、组合的实际应用 第 6 页（共 18 页） 【分析】 利用间接法，先求出甲与乙、丙都相邻的排法，再排除乙站在两端的排法，问题得以解决 【解答】 解：甲与乙、丙都相邻的排法有 8 种，其中乙站在两端的排法有 2， 故满足条件的种数为 48 12=36， 故选： B 8如果实数 x， y 满足条件 ，若 z= 的最小值小于 ，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ 1， +） C（ ， 1） D（ ， +） 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，再由 z= 的几何意义，即点 P（ 1， 1）与可行域内点的连线的斜率列式求得 a 的范围 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 由题意判断 a 0， z= 的几何意义表示点 P（ 1， 1）与可行域内点的连线的斜率， 则当取正弦 x=a 与 2x+y 2=0 的交点（ a， 2 2a）时， z 有最小值，得 ，解得a 故选： D 9如图是一个几何体的三视图，则该几 何体的体积为（ ） 第 7 页（共 18 页） A B C 23 D 24 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据三视图作出直观图，几何体为三棱锥与四棱锥的组合体 【解答】 解：作出几何体的直观图如图所示，则几何体为四棱锥 C 三棱锥 M合体 由三视图可知 平面 平面 边形 边长为 4 的正方形， ， 几何体的体积 V= + = 故选 A 10已知函数 f（ x） = ， g（ x） = ，实数 a， b 满足 a b 0，若 a， b， 1， 1使得 f（ =g（ 立，则 b a 的最大值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 2 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 化简 g（ x） = = x ，从而判断单调性及取值范围，化简 f（ x） = = 2（ x+ ），从而判断单调性，从而解得 第 8 页（共 18 页） 【解答】 解： g（ x） = = x 在 1， 1上单调递增， 故 g（ 1） g（ x） g（ 1）， 即 g（ x） 3， f（ x） = = 2（ x+ ）， 故 f（ x）在（ ， 2）上是减函数， 在（ 2， 0）上是增函数； f（ 2） = 2+4=2， 令 f（ x） =3 解得， x= 1 或 x= 4； 故 b 的最大值为 1， a 的最小值为 4， 故 b a 的最大值为 3， 故选 A 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11在 ， A= ， 面积为 2 【考点】 正弦定理 【分析 】 利用正弦定理将角化边得到 ，代入面积公式即可求出 【解答】 解： b，即 S =2 故答案为： 2 12执行如图的程序框图，若输入 k 的值为 5，则输出 S 的值为 30 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的 S 值 【解答】 解：执行如图所示的程序框图，如下； 输入 k=5， n=0， S= 1，满足条件 S n=1， S= 1+1=0，满足条件 S 第 9 页（共 18 页） n=2， S=0+2=2，满足条件 S n=3， S=2+22=6，满足条件 S n=4， S=6+23=14，满足条件 S n=5， S=14+24=30，不满足条件 S 终止循环，输出 S=30 故答案为： 30 13已知向量 ， 的夹角为 60，且 | |=2， | |=3，设 = ， = ， =m 2 ，是 斜边的直角三角形，则 m= 11 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 用 表示出 ，根据 列方程解出 m 即可 【解答】 解： = = ， = =（ m 1） 2 以 斜边的直角三角形， ， 即（ ） （ m 1） 2 =（ 1 m） 2 +（ m+1） =0 =4， =9， =2 3 3， 4（ 1 m） 18+3（ m+1） =0， 解得 m= 11 故答案为： 11 14已知函数 f（ x） = x+a（ a 0）的图象与直线 x=0， x=3 及 y=x 所围成的平面图形的面积不小于 ，则曲线 g（ x） =4）在点（ 1， g（ 1）处的切线斜率的最小值为 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 当 x 0， 3时， y=f（ x）的图象在直线 y=x 的上方，则围成的平面图形的面积为（ x+a） 用定积分运算可得 +3a，再由条件可得 a 的范围，求得 g（ x）的导数，可得切线的斜率，令 t=a+1（ t 3）， 则 h（ t） =t+ 5，求出导数，判断单调性可得最小值 【解答】 解：当 x 0， 3时， f（ x） x= x+a 0，即有 y=f（ x）的图象在直线 y= 则围成的平面图形的面积为 （ x+a） x2+| = +3a， 由题意可得 +3a ，解得 a 2 g（ x） =4）的导数为 g（ x） =a ， 第 10 页（共 18 页） 可得在点（ 1， g（ 1）处的切线斜率为 a =（ a+1） + 5， 令 t=a+1（ t 3），则 h（ t） =t+ 5， h（ t） =1 0，可得 h（ t）在 3， +）递增， 即有 h（ t） h（ 3） =3+ 5= ， 则当 a=2 时，取得最小值 故答案为： 15已知点 F 是椭圆 T： + =1（ m 0）的上焦点， 双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的右焦点若线段 中点 P 恰好为椭圆 T 与双曲线 C 的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线 C 的离心率为 【考点 】 双曲线的简单性质；椭圆的简单性质 【分析】 求出中点 P 的坐标，根据点 P 在椭圆上建立方程关系求出 a， b 的关系即可得到结论 【解答】 解：设 c， 0），由椭圆方程得 F（ 0， 2m），则线段 中点 P（ ， m）， 点 P 在椭圆上， ，得 m= c， P（ ， c）在双曲线渐近线 y= x 上， 则 = ， 则离心率 e= = = = ， 故答案为： 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16已知向量 =（ 1）， =（ m）， m R （ 1）若 m=且 ，求 值； 第 11 页（共 18 页） （ 2）将函数 f（ x） =2（ + ） 21 的图象向右平移 个单位得到函数 g（ x）的图象，若函数 g（ x）在 0， 上有零点，求 m 的取值范围 【考点】 函数 y=x+）的图象变换；平面 向量共线（平行）的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （ 1）利用诱导公式可求 m，利用平面向量共线的坐标表示可求 用同角三角函数基本关系式即可化简求值 （ 2）由平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用可求函数 f（ x）的解析式，利用函数 y=x+）的图象变换可求 g（ x），根据 x 的范围，可求 22x ）的范围，令 g（ x） =0 即可解得 m 的取值范围 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ 1） m= ， ， 3，得 ， = = （ 2） f（ x） =2（ + ） 21=2 2m 1 = 2m=22x+ ） 2m， g（ x） =22x + ） 2m=22x ） 2m， x 0， ， 2x ， ，则 22x ） 1， 2， 令 g（ x） =0，可得 2m=22x ）， 2m 1， 2， m 的取值范围是 ， 1 17在如图所示的几何体中，四边形 矩形， 平面 B=2E 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）若 C=2 ， ，求二面角 A E 的余弦值 第 12 页（共 18 页） 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 中点 F，连结 导出 此能证明平面 平面 （ 2）连结 F 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A E 的余弦值 【解答】 证明：（ 1）取 中点 F，连结 1 中位线， ， 平面 平面 解：（ 2）连结 以 F 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（ 0， 1， 0）， 0， 0， 1）， B（ 0， 1， 0）， C（ ， 0， 0）， E（ ， ， 0）， =（ 0， 1， 1）， =（ ， ， 0）， 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z）， 则 ，取 y=1，得 =（ ， 1， 1）， 平面 法向量 =（ 0， 0， 1）， 设二面角 A E 的平面角为 ， 则 = = 二面角 A E 的余弦值为 18机动车驾驶证考试分理论考试和实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记 “合格 ”与 “不合格 ”，两部分都 “合格 ”者，则机动车驾驶证考试 “合格 ”（并颁发机动车驾驶证）甲、乙、丙三人在理论考试中 “合格 ”的概率依次为 ， ， ，在实际操作中 “合格 ”的概率依次为 ， ， ，所有考试是否合格相互之间没有影响 （ 1）求这 3 人进行理论与实际操作两项考试后，恰有 2 人获得（机动车驾驶证）的概率； （ 2）用 X 表示甲、乙、丙三人在理论考试中合格的人数，求 X 的分布列和数学期望 E（ X） 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）记 “甲获得机动车驾驶证 ”为事件 A “乙获得机动车驾驶证 ”为事件 B，“丙获得机动车驾驶证 ”为事件 C， “这 3 人进行理论与实际操作两项考试后， 恰有 2 人第 13 页（共 18 页） 获得（机动车驾驶证） ”为事件 D，由 P（ D） =P（ +P（ A C） +P（ 能求出这3 人进行理论与实际操作两项考试后，恰有 2 人获得（机动车驾驶证）的概率 （ 2）由题意得 X 的可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（ X） 【解答】 解：（ 1）记 “甲获得机动车驾驶证 ”为事件 A “乙获得机动车驾驶证 ”为事件 B， “丙获得机动车驾驶证 ”为事件 C， “这 3 人进行理论与实际操作两项考试后，恰有 2 人获得（机动车驾驶证） ”为事件 D， 则 P（ A） = = ， P（ B） = = ， P（ C） = = ， 则 P（ D） =P（ +P（ A C） +P（ = + + = （ 2）由题意得 X 的可能取值为 0， 1， 2， 3， P（ X=0） = = ， P（ X=1） = + = ， P（ X=2） = + + = ， P（ X=3） = = ， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P E（ X） = = 19数列 前 n 项和为 Sn=n（ n+1）（ n N+）数列 足 + + （ 1）求数列 通项公式； （ 2）令 （ n N+），求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）当 n 2 时利用 n 1 计算，进而可知 n，进而利用作差可知=2，计算即得结论； 第 14 页（共 18 页） （ 2）通过（ 1）可知 =n+n3n（ n N+），利用错位相减法计算可知数列 n3n的前n 项和 ，进而利用分组求和法计算即得结论 【 解答】 解：（ 1）依题意，当 n 2 时， n 1=n（ n+1）（ n 1） n=2n， 又 当 n=1 时， 1=2 满足上式， n， + + + ， 当 n 2 时， 1= + + + ， 两式相减得： =2n 2（ n 1） =2， 又 =2 满足上式， =2， +23n； （ 2）由（ 1）可知 =n+n3n（ n N+）， 令 数列 n3n的前 n 项和，则 3+232+333+n3n， 332+233+（ n 1） 3n+n3n+1， 两式相减得： 2+32+33+3n n3n+1 = n3n+1， ， 数列 前 n 项和 n+ = + 20过抛物线 L： p 0）的焦点 F 且斜率为 的直线与抛物线 L 在第一象限的交点为 P，且 |5 （ 1）求抛物线 L 的方程； （ 2）设直线 l： y=kx+m 与抛物线 L 交于 A（ B（ 点 第 15 页（共 18 页） （ ）若 k=2，线段 垂直平分线分别交 y 轴和抛物线 L 于 M， N 两点，（ M， N 位于直线 l 两侧），当四边形 菱形时，求直线 l 的方程； （ ）若直线 l 过点，且交 x 轴于点 C，且 =a ， =b ，对任意的直线 l， a+b 是否为定值？若是，求出 a+b 的值，若不是，说明理由 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ 1）过 P 作 y 轴于点 A，则 由抛物线的定义得 ，由此能求出抛物线方程 （ 2）（ i）直线 l 的方程为 y=2x+m，联立 ，得 8x 4m=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线 l 的方程 （ 题意直线 l 的方程为 y=， l 与 x 轴交点为 C（ ， 0），由 ，得 4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合 已知条件能求出对任意的直线 l， a+b 为定值 1 【解答】 解：（ 1）设 P（ 过 P 作 y 轴于点 A， 直线 斜率为 ， |5， |3，即 ， 由抛物线的定义得 ，解得 p=2， 抛物线方程为 y （ 2）（ i）直线 l 的方程为 y=2x+m， 联 立 ，消 y 得 8x 4m=0， 令 =64+16m 0，解得 m 4， x1+， 4m， ， 中点坐标为 Q（ 4， 8+m）， 垂直平分线方程为 y=（ 8+m） = （ x 4）， M（ 0， m+10）， 四边形 菱形， M， N 关于 Q（ 4， 8+m）对称，