2016年四川省成都市高考数学二诊试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年四川省成都市高考数学二诊试卷（文科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|4x 0， B=x| 1 x 1，则 A B=（ ） A 1， 1 B 1， 4） C（ 0， 1 D（ 0， 4） 2函数 f（ x） =2x+x 2 的零点所在区间是（ ） A（ ， 1） B（ l， 0） C（ 0， 1） D（ 1， 2） 3复数 z= （其中 i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（ ） A B C D 5将函数 f（ x） =x+ ）图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 g（ x）图象，则函数 g（ x）的解析式为（ ） A g（ x） =2x+ ） B g（ x） =2x+ ） C g（ x） =+ ） D g（ x）=+ ） 6已知直线 l： x+y=2 与圆 C： x2+2y=3 交于 A， B 两点，则 |（ ） A B 2 C D 7已知函 数 f（ x） = ，若 f（ f（ 1） =2，在实数 m 的值为（ ） A 1 B 1 或 1 C D 或 8某校高三（ 1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间 100， 128内，将该班所有同学的考试分数分为七组： 100， 104）， 104， 108）， 108， 112）， 112， 116）， 116，120）， 120， 124）， 124， 128，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于 112 分的有 18 人，则分数不低于 120 分的人数为（ ） 第 2 页（共 19 页） A 10 B 12 C 20 D 40 9在三棱锥 P ，已知 底面 E， F 分别是线段 的动点则下列说法错误的是（ ） A当 ， 为直角三角形 B当 ， 为直角三角形 C当 平面 ， 为直角三角形 D当 平面 ， 为直角三角形 10已知抛物线 y=焦点为 F，过点（ 0， 2）作直线 l 与抛物线交于 A， B 两点，点 F 关于直线 对称点为 C，则四边形 积的最小值为（ ） A 2 B C D 3 二、填空题：本大题共 5 小题 ，每小题 5 分，共 25 分 11双曲线 =l 的一个焦点坐标为（ 3， 0），则该双曲线的离心率为 _ 12某单位有职工 200 人，其年龄分布如下表： 年龄（岁） 20， 30） 30， 40） 40， 60） 人数 70 90 40 为了解该单位职工的身体健康状况，用分层抽样的方法抽取一个容量为 40 的样本进行调查，则年龄在 30， 40）内的职工应抽取的人数为 _ 13已知实数 x， y 满足 ，则 x 2y 的取值范围是 _ 14执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为 _ 第 3 页（共 19 页） 15已知函数 f（ x） =x+出以下四个命题： 函数 f（ x）的图象关于坐标原点对称； x 0，不等式 f（ x） 3x 恒成立； k R，使方程 f（ x） =k 没有的实数根； 若数列 公差为 的等差数列，且 f（ +f（ +f（ =3，则 其中的正确命题有 _（写出所有正确命题的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16已知数列 ， ，又数列 （ n N*）是公差为 1 的等差数列 （ 1）求数列 通项公式 （ 2）求数列 前 n 项和 17某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为 1， 2， 3， 4， 5 的五个小球，小球除编号不同外，其余均相同 活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽 到的小球编号为 3，则获得奖金 100 元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金 50 元；若抽到其余编号的小球，则不中奖现某顾客依次有放回的抽奖两次 （ I）求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率； （ ）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为 100 元的概率 18在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c已知 a= ，且 b2+ （ I）求角 A 的大小； （ ）求 最大值 19在三棱柱 ，已知侧棱与底面垂直， 0，且 ， ， 中点， M 为 一点， （ I）若三棱锥 体积为 ，求 长； （ ）证明： 平面 第 4 页（共 19 页） 20已知椭圆 C： =l（ a b 0）的左右焦点分别为 物线 x 与椭圆C 有相同的焦点，点 P 为抛物 线与椭圆 C 在第一象限的交点，且 | （ I）求椭圆 C 的方程； （ ）过点 直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，设 若 1， 2，求 积的取值范围 21设函数 f（ x） = （ I）求函数 g（ x） =x 1 f（ x）的极小值； （ ）证明：当 x 1， +）时，不等式 恒成立； （ ）已知 a （ 0， ），试比较 f（ 2a ）的大小，并说明理由 第 5 页（共 19 页） 2016 年四川省成都市高考数学二诊试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|4x 0， B=x| 1 x 1，则 A B=（ ） A 1， 1 B 1， 4） C（ 0， 1 D（ 0， 4） 【考点】 并集及其运算 【分析】 先求出集合 A，再利用并集的定义求出集合 A B 【解答】 解： 集合 A=x|4x 0=x|0 x 4， B=x| 1 x 1， A B=x| 1 x 4= 1， 4） 故选： B 2函数 f（ x） =2x+x 2 的零点所在区间是（ ） A（ ， 1） B（ l， 0） C（ 0， 1） D（ 1， 2） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 据函数零点的判定定理，判断 f（ 1）， f（ 0）， f（ 1）， f（ 2）的符号 ，即可求得结论 【解答】 解： f（ 1） =2 1+1 2= 0， f（ 0） = 1 0， f（ 1） =1 0， f（ 2） =4 0， 故有 f（ 0） f（ 1） 0，由零点的存在性定理可知： 函数 f（ x） =2x+x 2 的零点所在的区间是（ 0， 1） 故选： C 3复数 z= （其中 i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分 析】 直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可 【解答】 解：复数 z= = = =1+2i 复数对应点（ 1， 2）在第一象限 故选： A 4已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（ ） 第 6 页（共 19 页） A B C D 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 几何体为椎体与柱体的组合体，分四种情况进行判断 【解答】 解：由主视图和侧视图可知几何体为椎体与柱体的组合体， （ 1）若几何体为圆柱与圆锥的组合体，则俯视图为 A， （ 2）若几何体为棱柱与圆锥的组合体，则俯视图为 B， （ 3）若几何体为棱柱与棱锥的组合体，则俯视图为 C， （ 4）若几何体为圆柱与棱锥 的组合体，则俯视图为 故选： D 5将函数 f（ x） =x+ ）图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 g（ x）图象，则函数 g（ x）的解析式为（ ） A g（ x） =2x+ ） B g（ x） =2x+ ） C g（ x） =+ ） D g（ x）=+ ） 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 根据函数 y=x+）的图象变换规律即可得到结论 【解答】 解：函数 y=x+ ）的图象上所有 点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变）， 得到 g（ x） =2x+ ）的函数图象 故选： B 6已知直线 l： x+y=2 与圆 C： x2+2y=3 交于 A， B 两点，则 |（ ） A B 2 C D 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 根据圆的弦长公式 |2 ，求出 d 与 r，代入公式，可得答案 【解答】 解：圆 C： x2+2y=3 是以（ 0， 1）为圆心，以 r=2 为半径的圆， 第 7 页（共 19 页） 圆心到直线 l： x+y=2 的距离 d= ， 故 |2 = ， 故选 ： A 7已知函数 f（ x） = ，若 f（ f（ 1） =2，在实数 m 的值为（ ） A 1 B 1 或 1 C D 或 【考点】 函数的值 【分析】 根据分段函数的表达式，建立方程关系进行求解即可， 【解答】 解：由分段函数的表达式得 f（ 1） =1+1， 则 f（ f（ 1） =f（ 1+=1+=2， 则 1+，得 ， 得 m= 或 ， 故选： D 8某校高三（ 1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间 100， 128内，将该班所有同学的考试分数分为七组： 100， 104）， 104， 108）， 108， 112）， 112， 116）， 116，120）， 120， 124）， 124， 128，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于 112 分的有 18 人，则分数不低于 120 分的人数为（ ） A 10 B 12 C 20 D 40 【考点】 频率分布直方图 【分析】 由频率分布直方图求出得分数低于 112 分的频率，从而求出高三（ 1）班总人数，再求出分数不低于 120 分的频率，由此能求出分数不低于 120 分的人数 【解答】 解：由频率分布直方图得分数低于 112 分的频率为： （ 4= 分数低于 112 分的有 18 人， 高三（ 1）班总人数为： n= =50， 分数不低于 120 分的频率为：（ 4= 分数不低于 120 分的人数为： 50 0 人 故选： A 第 8 页（共 19 页） 9在三棱锥 P ，已知 底面 E， F 分别是线段 的动点则下列说法错误的是（ ） A当 ， 为直角三角形 B当 ， 为直角三角形 C当 平面 ， 为直角三角 形 D当 平面 ， 为直角三角形 【考点】 棱锥的结构特征 【分析】 A当 ，又 底面 得 用线面垂直的判定与性质定理可得 可判断出正误 B当 ，无法得出 为直角三角形，即可判断出正误； C当 平面 ，可得 用线面垂直的判定与性质定理可得： F 可判断出正误； D当 平面 ，可得 C 可知： 用线面垂直的判定与性质定理即可判断出正 误 【解答】 解： A当 ，又 底面 得： 面 为直角三角形，正确 B当 ，无法得出 为直角三角形，因此不正确； C当 平面 ，平面 C，可得 底面 C， 平面 此 为直角三角形，正确； D当 平面 ，可得 C 可知： 平面 此 为直角三角形，正确 故选： B 10已知抛物线 y=焦点为 F，过点（ 0， 2）作直线 l 与抛物线交于 A， B 两点，点 F 关于直线 对称点为 C，则四边形 积的最小值为（ ） A 2 B C D 3 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设直线 程为 y=，联立 y=解，设 别为 F 到 O 到 用四边形 面积 S=S （ OAB可得 S 关于 用导数知识即可求解 【解答】 解：不妨设位于第一象限的交点为 A（ 第二象限的交点为 B（ 则 0， 0 直线方程为 y= x=F 点的坐标为（ 0， ） 设直线 程为 y=，联立 y=解，有 2=0 第 9 页（共 19 页） x1+x2=k， 2， =， （ k+ ） ；线段 设 别为 F 到 O 到 距离 C 是 F 关于 对称点， C 到 距离 = 四边形 面积 S=S （ OAB 根据点到直线距离公式， ， 又线段 ， 将 代入 S，有 S= （ k+17 ） 由 S 对 k 求导，令导函数 =0，可得 1+ =0，解得 k= 时， S 最小，其值为 3 故选： D 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11双曲线 =l 的一个焦点坐标为（ 3， 0），则该双曲线的离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线的焦点坐标，建立 a， b， c 的关系进行求解即可 【解答】 解： 双曲线 =l 的一个焦点坐标为（ 3， 0）， c=3， 则 c2=9， 即 5=4， 则 a=2， 则双曲线的离心率 e= = ， 故答案为： 12某单位有职工 200 人，其年龄分布如下表： 年龄（岁） 20， 30） 30， 40） 40， 60） 人数 70 90 40 为了解该单位职工的身体健康状况，用分层抽样的方法抽取一个容量为 40 的样本进行调 查，则年龄在 30， 40）内的职工应抽取的人数为 18 【考点】 分层抽样方法 【分析】 利用分层抽样原理进行求解即可 第 10 页（共 19 页） 【解答】 解：由已知得，用分层抽样的方法抽取一个容量为 40 的样本进行调查， 年龄在 30， 40内的职工应抽取的人数为： 40 =18 故答案为： 18 13已知实数 x， y 满足 ，则 x 2y 的取值范围是 4， 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件画出可行域 ，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， A（ 1， 0）， 联立 ，解得 B（ 2， 3）， 令 z=x 2y，化为 y= ， 由图可知，当直线 y= 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最大值，为 1； 当直线 y= 过 B 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最小值，为 2 2 3= 4 x 2y 的取值范围是 4， 1 故答案为： 4， 1 14执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为 第 11 页（共 19 页） 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：第一次执行循环体， S= （ 2 ），不满足退出循环的条件， k=2， = ； 第二次执行循环体， S= （ 2 ） ，不满足退出循环的条件， k=3， = ； 第三次执行循环体， S= （ 2 ） 1，不满足退出循环的条件， k=4， = ； 第四次执行循环体， S= （ 2 ） 1 ，不满足退出循环的条件， k=4， = ； 第五次执行循环体， S= （ 2 ） 1 （ 2+ ），满足退出循环的条件， 故输出的 S 值为： S= （ 2 ） 1 （ 2+ ） = ， 故答案为： 15已知函数 f（ x） =x+出以下四个命题： 函数 f（ x）的图象关于坐标原点对称； x 0，不等式 f（ x） 3x 恒成立； k R，使方程 f（ x） =k 没有的实数根； 若数列 公差为 的等差数列，且 f（ +f（ +f（ =3，则 其中的正确命题有 （写出所有正确命题的序号） 【考点】 函数的图象 【分析】 根据奇函数的性质可直接判断； 构造函 数，利用导函数判断函数的单调性，求出最值即可； 根据函数的连续性和值域可判断； 根据函数表达式和题意可判断 【解答】 解： 函数 f（ x）为奇函数，故图象关于坐标原点对称，故正确； x 0， f（ x） 3x =2， 令 g（ x） =2， g（ x） =2（ 1） 0， g（ x）递减， g（ x） g（ 0） =0， 第 12 页（共 19 页） f（ x） 3x 恒成立，故正确； 由函数为奇函数，且值域为（ ， +）， 故无论 R 为何值，方程 f（ x） =k 都有实数根，故错误； 若数列 公差为 的等差数列，且 f（ +f（ +f（ =3， al+a2+， ， 解得 ，故正确 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16已知数列 ， ，又数列 （ n N*）是公差为 1 的等差数列 （ 1）求数列 通项公式 （ 2）求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式 【分析】 （ 1） ，又数列 （ n N*）是公差为 1 的等差数列可得 =2+（ n 1），即可得出 （ 2）由 =2 利用 “裂项求和 ”即可得出 【解答】 解：（ 1） ，又数列 （ n N*）是公差为 1 的等差数列 =2+（ n 1） =n+1， （ 2） =2 数列 前 n 项和 + =2 = 17某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为 1， 2， 3， 4， 5 的五个小球，小球除编号不同外，其余均相同 活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为 3，则获得奖金 100 元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金 50 元；若抽到其余编号的小球，则不中奖现某顾客依次有放回的抽奖两次 （ I）求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率； （ ）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为 100 元的概率 【考点】 列举 法计算基本事件数及事件发生的概率；互斥事件的概率加法公式 第 13 页（共 19 页） 【分析】 （ ）先列举所有的结果，两次都没有中奖的情况有（ 1， 1），（ 1， 5），（ 5， 1），（ 5，5），共 4 种，根据概率公式计算即可， （ ）分类求出顾客两次抽奖后获得奖金之和为 100 元的概率，再根据概率公式计算即可 【解答】 解：（ ）该顾客有放回的抽奖两次的所有的结果如下： （ 1， 1），（ 1， 2），（ 1， 3），（ 1， 4），（ 1， 5）， （ 2， 1），（ 2， 2），（ 2， 3），（ 2， 4），（ 2， 5）， （ 3， 1），（ 3， 2），（ 3， 3），（ 3， 4），（ 3， 5）， （ 4， 1），（ 4， 2），（ 4， 3），（ 4， 4），（ 4， 5）， （ 5， 1），（ 5， 2），（ 5， 3），（ 5， 4），（ 5， 5）； 共有 25 种， 两次都没有中奖的情况有（ 1， 1），（ 1， 5），（ 5， 1），（ 5， 5），共 4 种， 两次都没有中奖的概率为 P= ， （ ）两次抽奖奖金之和为 100 元的情况有： 第一次获奖 100 元，第二次没有获奖，其结果有（ 3， 1），（ 3， 5），故概率为 ， 两次 获奖 50 元，其结果有（ 2， 2），（ 2， 4），（ 4， 2），（ 4， 4），故概率为 第一次没有中奖，第二次获奖 100 元，其结果有 概率为 ， 所求概率 P=2+ 18在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c已知 a= ，且 b2+ （ I）求角 A 的大小； （ ）求 最大值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ I）由余弦定理可得： = = ，即可得出 （ 正弦定理可得：可得 b= ，可得 + ，根据 B 即可得出 【解答】 解：（ I）由余弦定理可得： = = ， A （ 0， ）， A= （ 正弦定理可得： ，可得 b= ， 第 14 页（共 19 页） 2 = + ， B ， 19在三棱柱 ，已知侧棱与底面垂直 ， 0，且 ， ， 中点， M 为 一点， （ I）若三棱锥 体积为 ，求 长； （ ）证明： 平面 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】 （ I）由 知 平面 E 到平面 距离等于 于是 V ，根据体积列出方程解出 （ 结 F，连结 矩形知识可知 ，故 以平面 【解答】 解：（ I） 平面 平面 面 面 C=A， 平面 平面 V =V = = = 第 15 页（共 19 页） （ 结 F，连结 E 是 中点， ，又 ， 平面 面 平面 20已知椭圆 C： =l（ a b 0）的左右焦点分别为 物线 x 与椭圆C 有相同的焦点，点 P 为抛物线与椭圆 C 在第一象限的交点，且 | （ I）求椭圆 C 的方程； （ ）过点 直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，设 若 1， 2，求 积的取值范围 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由题意即可得出 1， 0）， 1， 0），根据抛物线的定义以及点 P 在抛物线上即可得出 P 点坐标，从而可以求出 |从而根据椭圆的定义可得出 a=2，进而求出 ，这样即可得出 椭圆的方程为 ； （ ）根据题意可设 l： x=1，联立椭圆方程并消去 x 可得到（ 3） 69=0，可设 A（ B（ 由韦达定理便可得到 （ 1），而由可得到 入（ 1）并消去 得 而由 的范围便可第 16 页（共 19 页） 求出 的范围，从而得出 ，可以得到 ，根据 元即可求出 面积的取值范围 【解答】 解：（