云南省昆明光华学校2020学年度高二数学上学期竞赛试题

云南省昆明光华学校2020学年度高二数学上学期竞赛试题考试时间：120分钟 满分：150分 一选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.若0，则下列不等式a+b;a2中，正确的不等式有（ ）A.1个； B.2个； C.3个； D.4个。2不等式| 的解集是 （ ）Ax | x 1B x | x 1 C x | x 0且x 1 Dx | 1 x 0 3已知 1 x + y 3，且2 x y 0)上，且与y轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）A BCDx10若椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是（ ）A4 B2 C1 D.选择题答案二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。）11. 求经过点A（1，4）且与直线平行的直线方程 12已知，且，则的最小值为 13 .椭圆的以点为中点的弦所在的直线方程为 14对于椭圆和双曲线有下列命题：椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点;双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;双曲线与椭圆共焦点;椭圆与双曲线有两个顶点相同.其中正确命题的序号是 . 15已知点P为椭圆在第一象限部分上的点，则的最大值等于 三、解答题（本大题共5题，共60分）16(本小题满分12分)已知.设函数在R上单调递减.不等式的解集为R. 如果和有且仅有一个正确，求的取值范围.17(本小题满分12分)已知圆C：，直线：， （1）求证:对R，直线和圆C总相交； （2）设直线和圆C交于A、B两点，当取得最大值时，求直线的方程18(本小题满分12分)如图，长为6的线段PQ的端点分别在射线和上滑动，点M在线段PQ上，且 （1）求点M的轨迹方程； （2）若点M的轨迹与轴、轴分别交于点A，B，求四边形OAMB面积的最大值19(本小题满分12分)已知抛物线 y 2 = x与直线 y = k ( x + 1 )相交于A、B两点, 点O是坐标原点. （1）求证: OAOB; （2）当OAB的面积等于时, 求k的值.20附加题（12分，记入总分）已知直线与圆相切于点T，且与双曲线相交于A、B两点，若T是线段AB的中点，求直线的方程.答案一 选择题：题号12345678910答案BDDCBDACDC二 填空题：11. 2x+3y+10=0 . 12. 13. x-2y-4=0 14. . 15. 2 .三解答题16. :函数在R上单调递减，不等式的解集为R函数在R上恒大于1，函数在R上的最小值为，不等式的解集为R，即，若正确，且不正确，则；若正确，且不正确，则；所以的取值范围为.17. （）证明：因圆C的圆心为C（0，1），半径，所以圆心C到直线的距离为，命题得证。另析：直线：恒过过定点P，可判明在圆内，即证明直线和圆C总相交。 （2）当最小时最大，而时最小，此时的方程为18. （1）设P（），Q（），M（），由得代入得（2）设M（），其中，S，计算S的平方，可得所求最大值为19. : (1) 当k = 0时直线与抛物线仅一个交点, 不合题意, k 0由y = k (x+1)得x = 1 代入y 2 = x 整理得: y 2 +y 1 = 0 ， 设A (x 1 , y 1), B (x 2 , y 2) 则y 1 + y 2 = , y 1y 2 = 1. A、B在y 2 = x上, A (, y 1 ), B (, y 2 ) ， kOAkOB = 1 . OAOB. (2) 设直线与x轴交于E, 则 E ( 1 , 0 ) |OE| = 1 ， SOAB =|OE|(| y 1| + | y 2| ) =| y 1 y 2| =， 解得k = 20. 直线与轴不平行，设