内蒙古包头市第一机械制造（集团）有限公司第一中学2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）VIP

内蒙古包头市第一机械制造（集团）有限公司第一中学2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知,则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘法运算求得，再根据共轭复数的定义求得结果.【详解】由题意知： 本题正确选项：【点睛】本题考查复数的运算及共轭复数的求解问题，属于基础题.2.如图，若在矩形中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】可求出阴影部分的面积与矩形的面积，利用几何概型可求出豆子落在图中阴影部分的概率.【详解】解：图中阴影部分的面积为：，矩形的面积为:,可得豆子落在图中阴影部分的概率为，故选A.【点睛】本题考查了几何概率的求法，属于容易题，难度不大，正确求出阴影部分的面积是解题的关键.3.函数的单调递减区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求函数的导数，利用导数求函数的单调区间.【详解】由，令 可得，所以函数的单调递减区间为，故选A.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，属于中档题.4.已知与曲线相切，则的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：设切点坐标为，曲线，又切点在切线上，由，解得，实数的值为故选C考点：利用导数研究曲线上某点切线方程5.已知圆和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因为M是线段BP垂直平分线上的点，所以，因为P是圆上一点，所以，所以M点的轨迹为以B,C为焦点的椭圆，所以，所以轨迹方程为.考点：本小题主要考查轨迹方程的求解.点评：求轨迹方程时，经常用到圆锥曲线的定义，根据定义判断出动点的轨迹是什么图形，再根据标准方程求解即可.6.函数的图象的大致形状是A. B. C. D. 【答案】A【解析】令x=0可得，则排除C、D；,当时，当时，故排除B，本题选择A选项.7.已知函数，则的极大值点为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先对函数求导，求出，再由导数的方法研究函数的单调性，即可得出结果.【详解】因为，所以，所以，因此，所以，由得：；由得：；所以函数在上单调递增，在上单调递减，因此的极大值点.故选D【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，根据导数判断出函数的单调性，进而可确定其极值，属于常考题型.8.已知，（是自然对数的底数），则的大小关系是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题，易知，构造函数，利用导函数求单调性，即可判断出a、b、c的大小.【详解】由题，所以构造函数 当时，所以函数在是递增的，所以所以故选A【点睛】本题考查了比较数的大小，解题的关键是能否构造出新的函数，再利用导数求单调性，属于中档题.9.设分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在点，满足，且原点到直线的距离等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的渐近线方程为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据题意，分析易知，再根据双曲线的定义可得a、b的比值，即可求得渐近线方程.【详解】由题，可知三角形是一个等腰三角形，点在直线的投影为中点，由勾股定理可得 再根据双曲线的定义可知： 又因为，再将代入整理可得 所以双曲线的渐近线方程为： 即故选D【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，熟悉双曲线的图像，性质，定义等知识是解题的关键，属于中档题.10.设定义在上的函数的导函数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，通过导数可知在上单调递减，则可得，整理可得结果.【详解】由题意知： 即在上单调递减，即本题正确选项：【点睛】本题考查函数值大小的比较问题，关键是能够构造出合适的函数，通过导数求得函数的单调性，从而得到函数值的大小关系.11.如图所示，正方形和正方形，原点为的中点，抛物线经过，两点，则直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设正方形和正方形的边长分别为，由题可得，则解得，则，直线的斜率，故选B12.关于函数,下列说法正确的是（ ）（1）是的极大值点 ；（2）函数有且只有1个零点；（3）存在正实数，使得恒成立 ；（4）对任意两个正实数，且，若，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】依次判断各个选项：（1）利用导数与极值的关系可知是的极小值点，则（1）错误；（2）利用导数研究的单调性，结合零点存在定理判断可知（2）正确；（3）采用分离变量的方式，通过求解的单调性和极限，可判断出，则（3）错误；（4）构造函数，通过导数可求得，从而可确定时，从而证得结论，知（4）正确.【详解】（1）当时，此时单调递减当时，此时单调递增可知是的极小值点，可知（1）错误（2） ，即在上单调递减又；则，使得由函数单调性可知有且只有个零点，可知（2）正确（3）若在上恒成立，则令，则令，则时，；时， 即在上单调递减又时， 不存在正实数，使得恒成立，可知（3）错误（4）由（1）可知，在上单调递减；在上单调递增令，则，即在上单调递减 即，令，由，即，可知（4）正确综上所述，说法正确的为：（2）（4）本题正确选项：【点睛】本题考查导数在函数中的应用问题，涉及到求解函数单调性和极值、判断函数零点个数、恒成立问题的求解和零点偏移的问题.关键是能够根据求解内容的不同，构造出不同的函数，通过函数的最值、单调性来进行综合判断.本题对于学生导数运算能力和分析能力要求较高，属于难题.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.计算_.【答案】【解析】 故答案为14.已知函数在上为单调函数，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】分别利用、上恒成立求得取值范围.【详解】由题意得：若在上单调递增，则在上恒成立 若在上单调递减，则在上恒成立 综上所述：本题正确结果：【点睛】本题考查已知函数在区间内的单调性求解参数范围问题，如果函数在区间内单调，可将问题转化为恒成立问题的求解.15.过点作斜率为的直线，与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】设利用点差法得 因为，所以M为AB的中点， 又直线的斜率为 所以 故答案为16.设函数，存在，使得成立，则实数的值是_.【答案】【解析】【分析】将看作动点与定点之间距离的平方，将问题变为直线上的点到的最小距离的求解问题；利用导数求解出与平行的切线的切点，从而得到最小距离，根据能成立的不等式可确定和的位置，利用斜率关系求得结果.【详解】由题意得：可将看作动点与定点之间距离的平方则动点在函数图象上，在直线图象上，令，解得：，上的点到直线的距离最小 若存在，使得成立，则此时，为垂足 本题正确结果：【点睛】本题考查数形结合思想的应用，关键是能够将函数看作两点之间的距离的形式，从而将问题转化为直线上的点到曲线距离的最值问题，从而利用导数来进行求解，属于较难题.三、解答题（共6道题，共70分）17.在平面直角坐标系中，矩形的一边在轴上，另一边在轴上方，且，其中，如图所示（1）若为椭圆的焦点，且椭圆经过两点，求该椭圆的方程；（2）若为双曲线的焦点，且双曲线经过两点，求双曲线的方程【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据为焦点和椭圆定义得，求得，；利用求得，进而得到椭圆方程；（2）根据为焦点和双曲线定义得，求得，；利用求得，进而得到双曲线方程.【详解】（1）为椭圆的焦点，且椭圆经过两点根据椭圆的定义：， 椭圆方程为：（2）为双曲线的焦点，且双曲线经过两点，根据双曲线的定义：， 双曲线方程为：【点睛】本题考查利用椭圆、双曲线的定义求解椭圆、双曲线的标准方程问题，属于基础题.18.已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点,如图所示（1）求及的值；（2）求函数在区间上的最大值和最小值【答案】（1），；（2），【解析】【分析】（1）根据导函数图象可得原函数单调性，知在处取得极大值，求得；利用，构造方程组可求得结果；（2）根据函数的单调性，可知，求出函数值即可得到结果.【详解】（1）由图象可知：在上，；在上，；在上，在，上单调递增，在上单调递减在处取得极大值 又且，得：，解得：，（2）由（1）得，则可知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，【点睛】本题考查函数图象与导函数图象之间的关系、利用极值求解函数解析式、求解函数在指定区间内的最值的问题，属于基础题.19.已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）若有唯一零点，求的取值范围.【答案】（1）时，在上单调递增；时，在上单调递增；在上单调递减；（2）或【解析】【分析】（1）首先确定函数定义域，求导后分别在和上讨论导函数的符号，从而求得原函数的单调性；（2）将问题转化为与有且仅有一个交点的问题，通过数形结合的方式，可知当或与相切时满足题意；通过求解过某点的切线方程的求法可求得相切时的取值，从而得到结果.【详解】（1）由题意可知，定义域为：由得：，当时，则 在上单调递增当时，令，解得：当时，；当时，在上单调递增；在上单调递减（2）令，得：则有唯一零点等价于与有且仅有一个交点由下图可知：当或与相切时，有且仅有一个交点当与相切时，设切点坐标为：则，解得： 综上所述：或【点睛】本题考查讨论含参数函数的单调性问题、根据函数零点个数求解参数取值范围问题.解决零点问题常用的方法是通过数形结合的方式，确定临界状态，从而得到所求范围.20.如图，在直三棱柱中，是中点（1）求证：平面；（2）在棱上存在一点，满足，求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连结交于点，根据三角形中位线可知；利用线面平行判定定理可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，利用可得，从而可得点坐标；利用空间向量法，利用两个平面的法向量所成角可得到所求角的余弦值.【详解】（1）证明：连结交于点，连结是正方形 为的中点又为的中点 平面,平面平面（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系：则，设，则， ，解得：，则， 设平面法向量则，令，得平面 可取平面的法向量为平面与平面所成锐二面角的余弦值为：【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，考查学生的运算能力和对定理的掌握程度，属于常规题型.21.已知椭圆，分别为椭圆右顶点和上顶点，为坐标原点，为椭圆第一象限上一动点.（1）直线与轴交于点,直线与轴交于点，求证：为定值；（2）为关于的对称点，求四边形面积的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）设，；表示出直线和，从而求得和点坐标；表示出，整理化简可得定值；（2）设，；求解出和到直线的距离和；利用构造出关于的函数，根据的范围可求解出函数的值域，从而得到的最大值.【详解】（1）由题意知：，设，直线方程为：令，则，即直线方程为：令，则，即，为定值（2）由题意得：直线的方程为：，且设，则到直线距离到直线距离 当，即时，四边形面积取最大值则【点睛】本题考查椭圆中定值问题、四边形面积最值问题的求解.求解定值问题的关键是能够用变量表示出所求量，从而通过化简、消元得到定值；求解面积最值问题的关键是能够把所求面积表示为变量的函数关系式，从而利用函数求值域的思想求得结果.22.已知函数，（1）求函数的最小值；（2）当时，对任意时，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先利用导数求函数f(x)的单调区间，即得函数的最小值.(2)先化简已知得，再构造函数利用导数求其最小值，再求得的取值范围.【详解】（1）