数与代数应用的内容主线和教学建议

数与代数应用问题题的内容主线和教学建议游走于“数学”和“学生”之间,武汉东湖新技术开发区花山小学王波,引言,解决问题：是个更大范畴的概念。“问题”解释为“非常规”的/即使都是解决实际问题，解决问题中的“问题”是具有真实意义的问题，它与学生的实际生活密切相关，往往需要考虑现实生活中的诸多因素，从而具有开放的特点。解决这些问题，学生并无类似熟悉的题目和解法去模仿，需要学生进行探索、讨论和一定的创造。,引言,应用问题中的“问题”，尽管提倡要符合学生实际，并且力求具有一定的开放性，但总体来说，问题已经经过了一定的简化，背景相对简单，其中蕴含的数量关系也往往是学生熟悉的，因此学生所做的工作主要是分析出其中的数量关系，并联系所学的知识和方法加以解决。,引言,实际情景数学问题建立模型求解模型检验,引言,对比两者并不是说我们不提倡解决问题，而主要是为了界定这里所讨论的主题。实际上，我们更应以解决问题为理念和目标，指导应用问题的教学，比如注重学生思考的过程，设计的题目要符合学生的生活经验，适当设计具有开发性的问题。,引言,算术应用题：远离生活？套用“题型”？信息呈现形式唯一？算术解法与方程解法（今天不涉及“方程”）？,思考的基本问题,应用问题的教学：目标是什么？现在的线索是什么？学生是如何理解的？,关于运算意义（运算的实际背景）关于表征和分析数量关系关于分析问题和解决问题的策略关于基本的数量关系（模型）关于解的检验,四则运算的意义和解决实际问题,1.注重对运算意义的理解，并在此基础上解决简单的实际问题。,“新旧”的不同是什么如何促进和衡量学生的理解教学的关键点是什么是否要进行总结,比较问题,比较,变化：问题情境问题类型（套用“分析”数量关系）运算意义问题情境经验、操作、画图等运算意义研究课题：不要“类型”行不行？有多少孩子行？孩子是如何理解的？,=(个),学生“比较情境原型”的研究,前测数据：94.1%。,=(盆),前测数据：88.2%。,=(只),其他“类似”问题呢？,91.2%,88.2%,=(只),=(只),其他“类似”问题呢？,47.1%,一支钢笔15元，比一支签字笔贵10元，一支签字笔多少元？,=(只),38.2%,他们“依靠”什么明白的？那些困难的学生呢？,经验、操作的价值,对第1题的访谈：黑松鼠有20个松果，白松鼠有25个松果，白松鼠比黑松鼠多几个？师：你来说说这个（第1题）。生：我（黑松鼠）有20个松果，我（白松鼠）有25个松果，我比你多几个？就是用25-20还剩5个，所以它（白松鼠）就比它（黑松鼠）多5个。（此题学生借助以前的学习经验，直接“反映”出用减法解决。）,经验、操作的价值,对第4题的访谈：小亮有小汽车15辆，红红比小亮少5辆。红红有几辆小汽车？学生先拿出15个白棋子，摆成一行。又拿出10个黑棋子，摆成一行。教师让学生看着围棋子，说明各表示什么？生：15个白棋子表示小亮的，10个黑棋子表示红红的。师：少的5个棋子在哪？学生正确指出“空白处”，并列式：15-5=10。（此题学生借助操作得出答案，并且“反映”出用减法解决。）,学生已经“明白了”,熟悉学生的世界。案例,学生的“困难”和可能的对策,困难一：不理解比较关系。困难二：清楚题目中的比较关系，但不能和运算意义相联系。困难三：“看到多就加，少就减”等定势。,访谈中教师的帮助,提供操作学具画图模拟检验,小结生活经验、操作、画图、检验的重要性注重学生的理解，不必追求“统一”学生研究的重要性,1.注重对运算意义的理解，并在此基础上解决简单的实际问题。,“新旧”的不同是什么如何促进和衡量学生的理解教学的关键点是什么是否要进行总结,运算的多种“原型”加法可以作为合并、移入、增加等的模型；减法可以作为剩余、比较、减少等的模型；乘法可以作为相等的数的和、面积计算、倍数（几分之几）、组合等的模型；除法可以作为平均分配、比率等的模型。,二上：相同数的连加,引入乘法,乘法意义的再体会,倍,面积,分数乘法,“回归”几个相同分数相加,分数乘法,香港教材倍数的直接推广,小结学生研究的重要性：理解、困惑生活经验、操作、画图、检验的重要性抓住教学的关键点可以鼓励学生总结对于运算的理解,不必总结,学生调研举生活中不一样的例子，可以用加法、减法、乘法、除法来解决。画图表示一个情境，可以用加法、减法、乘法、除法来解决。用自己的语言说说什么是加法、减法、乘法、除法。,他“理解”了吗一年级：求整体的时候用加法左边有几个，右边有几个，合起来就用加法组成用加法（3和2组成5（32=5）大括号的时候用加法？,他“理解”了吗一年级：求还剩多少时用减法求部分的时候用减法两部分分开用减法大数减小数大括号下面告诉数就用减法计算,他“理解”了吗二年级：求一共是多少？知道一个数，还知道另一个比这个数多几。就用加法求部分的时候用加法求谁和谁相差的时候还剩几个,他“理解”了吗二年级：求几个几连加是多少一个数的几倍是多少知道一个东西的价钱，买几个多少钱？平均分的时候用除法几是几的多少倍知道共有几个，知道分给几个人，求每人几个？,他“理解”了吗三年级：把两个数合在一起时，可以用加法如果买东西，想要知道买什么东西一共要花多少元就得用加法谁比谁多减法就是大数减小数时用减法比如一个花店有人来买花，用现有的花减去买走的花就是客人买走后还剩多少朵花。找钱的时候用减法,他“理解”了吗三年级：求谁比谁多用减法在一方比一方多的情况下，求少的一方用减法比如计算班里的桌子数，先数出1列的桌子数，再数出有几排，这种题目用乘法求几倍是多少用乘法,他“理解”了吗三年级：求谁是谁的几倍用除法。求一个数的一半用除法。比如一筐苹果把它平均分在4个筐里，求平均每个筐有多少个苹果。你给别人多少钱，知道一个多少钱，不知道买几个，可以用除法算。一个数平均分成几份，每份是多少。,运算意义的总复习,关于运算意义（运算的实际背景）关于表征和分析数量关系关于分析问题和解决问题的策略关于基本的数量关系（模型）关于解的检验,四则运算的意义和解决实际问题,2.在理解运算意义的基础上，读图问题情境，分析问题中蕴涵的数量关系，解决稍复杂的实际问题。,如何“审题”,把事情说清楚如何看图、如何读懂文字、如何读懂表格运用多样的形式表达自己的理解：语言、操作、列表、画图如何有效地选择信息,景老师的尝试,快看。从图上你看到了哪些数学信息？生1：草地上有3个房子，草地上还有6只兔子师：你怎么知道有6只兔子，3间房子？生迟疑师：草地上确实有兔子，你怎么知道有6只？接着说，好吗？谁来帮帮她？生2：我是数出来的师：是吗，你怎么知道的？生1：我也是数的师：那3间房子你怎么知道的？生1：3间房子也是数出来的师：也就是说我们在解题时，有时候的数学信息时要从图中直接数出来的。我们继续看图，问题在哪里？,景老师的尝试,平均每间房子住几只？师：说的非常完整。谁再说说说数学问题在哪里？生：平均每间房子住几只兔子？师：他说的非常完整。谁再说说这个数学问题你是怎样知道的？生：它用文字表达了师：说的真好。你们看这是谁说的话呀？大家说生齐说:小兔子师：我们在解决数学问题的时候，有些数学信息时可以直接从图中数一数得到，还有的数学信息，要从图中看到小朋友或是小动物说的话当中而得到的。,景老师的尝试,师：下面我们看着这幅图，谁能连起来把数学信息和所求问题一起说一说？生：一共有3间房子，6个兔子，平均每间房子住几只？师：说的真好！大家一起来读读。生齐读：有6个兔子住3间房子，平均每间房子住几只？,如何“审题”,把事情说清楚如何看图、如何读懂文字、如何读懂表格运用多样的形式表达自己的理解：语言、操作、列表、画图生活中是怎么回事如何有效地选择信息,如何讲呢？学生是如何想的呢？,某超市运来600桶花生油，卖出的占总桶数的2/5。还剩下多少桶？,怎么教呢：抓住关键句（带分率的句子），找准单位1，分清求什么（单位1已知用乘法，求单位1用除法）；量率要对应。,学生是如何想的呢？,某超市运来600桶花生油，卖出的占总桶数的2/5。还剩下多少桶？,案例,课例：我看到的,学生：图：线段图，直观图审出“关键”总的卖出的剩下的师：存在着哪里联系？联系：都是有联系的,分析数量关系的教学,鼓励学生自己来分析问题解决问题鼓励学生进行比较（联系）案例,分析数量关系的教学,鼓励学生自己来分析问题解决问题鼓励学生进行比较（联系）凸显“大逻辑”,分析“大逻辑”,总的卖出的=剩下的（两种解法的关系）,学生的看法,师：还有别的方法吗？请你观察两种方法有什么区别和联系？生：讨论生：第一种方法是先求出卖出的数量，然后再用总箱数减去卖出的箱数，求出剩下的箱数，第二种方法是先求出剩下的分率，再用600乘剩下的分率求出剩下的数量。相同点是都求剩下的数量。生：相同点都是用对应量乘以对应的分率求出对应的数量。,分析数量关系的教学,鼓励学生自己来分析问题解决问题鼓励学生进行比较（联系）凸显“大逻辑”适时学习分析问题和解决问题的策略,“画图”策略直观化,要让学生体会画图的价值（连乘的不同解法）注重学生自己的“图”（研究）,“画图”价值,用图形语言刻画问题用图形语言寻找解决问题的思路用图形语言解决问题用图形语言刻画问题的结果,一定要画图吗？如何体现图的价值？,“画图”策略直观化,要让学生体会画图的价值注重学生自己的“图”（研究）,猴弟弟摘了4只桃，猴哥哥比它多摘3只，两个共摘了多少只？,学生的图线段图,4,4,3,第一天：,第二天：,65辆,可能的分析,学生的某些图与线段图“结构”是一样的学生的图更加直观线段图更加简洁不同的学生可能会选择不同的图,方法1202/5，同样的对“已经看了这本书的2/5”不理解。在提示他画图理解时，他首先把一个正方形分成了四份取了两份，在我的提示下他又画了下面的长方形图。看这图，他能够正确的理解“已经看了这本书的2/5”，从而意识到自己选择除法列式是不正确的。,学生的想法张岭对五年级困难学生的访谈,方法1202/5，问他如何想的，他回答“平均分成两份，用除法”。要求他画图理解，他画的是正确的（如右图）。当我再次追问他把“这本书”平均分成几份时，他才从图中发现是把120页平均分成了5份，应该用乘法计算。,学生的想法张岭对五年级困难学生的访谈,线段图的要求,每个学生必须会画，并且都要用线段图来解决问题。每个学生会画（可以在第二学段），但允许学生在不同题中画不同的图。学生体会线段图的好处？不苛求格式（如分得不那么准确；量率位置）,线段图的要求,学生能看懂线段图，但不要求一定会画，老师可以画出引导。学生能画出更好，不画也不用教。线段图的独特价值是什么？学生对于线段图的理解是什么？学生能自发认识到线段图的价值吗？,列表策略,注重列举进行列举和寻找规律注重列表整理信息和呈现信息,操作和模拟策略,通过操作帮助理解问题操作和其他策略相结合,分析数量关系的教学,鼓励学生自己来分析问题解决问题鼓励学生进行比较（联系）凸显“大逻辑”适时学习分析问题和解决问题的策略,要鼓励学生有条理地表达自己的想法，教师可以帮助学生整理思路。适时建立题与题之间的关系（如鸡兔同笼）,分析数量关系的教学,有条理的思考和表达综合和分析的思维你能提出哪些问题？要想解决这个问题，还需要收集哪些信息？凸显“大逻辑”,综合法和分析法的“根本”,如何“审题”,把事情说清楚如何看图、如何读懂文字、如何读懂表格运用多样的形式表达自己的理解：语言、操作、列表、画图如何有效地选择信息,成人每天3次，每次2片。,王老师感冒了，这些药够他吃天。,小红家买了30个苹果，3天吃了12个，还剩多少个？正确的列式是（）。A30+12B30-12C30-123D（30-12）3,平均得分率：88.4%,平均得分率：60.3%,关于运算意义（运算的实际背景）关于表征和分析数量关系关于分析问题和解决问题的策略关于基本的数量关系（模型）关于解的检验,四则运算的意义和解决实际问题,3.注重对“路程、时间、速度”“总价、数量、单价”基本数量关系的学习,第一学段：借助学生生活经验，使学生体会数量之间的关系。如：飞机每分钟飞行21米，每小时飞行多少米？,四上：理解并掌握常见的数量关系,六下：加深对“速度”、“单价”的理解,收入、支出、剩余工效，单产量学生不熟悉。本金可以不讲。,对“典型应用题”的讨论,关于运算意义（运算的实际背景）关于表征和分析数量关系关于分析问题和解决问题的策略关于基本的数量关系（模型）关于解的检验,四则运算的意义和解决实际问题,答案是所求的吗？符合实际意义吗？（带回题目来看一看；算两遍）解决问题过程的反思生活中有类似的问题吗,检