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文档简介

.,1,9.4重积分的应用,把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.,若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性,(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，,并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域,相应地部分量可近似地表示为,的形式,.,2,一、曲面的面积,.,3,设曲面的方程为：,如图，,.,4,曲面S的面积元素,曲面面积公式为：,.,5,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,同理可得,.,6,.,7,解,如图建立坐标系,通讯卫星覆盖的曲面是上半球面被半顶角为的圆锥面所截得的部分，其方程为,.,8,通讯卫星的覆盖面积与地球的表面积的比为,.,9,解,.,10,.,11,解,解方程组,得两曲面的交线为圆周,在平面上的投影域为,.,12,.,13,二、质心1.平面薄片的质心,.,14,当薄片是均匀的，质心称为形心.,由元素法,.,15,P407例9-19,.,16,解,.,17,.,18,设空间有n个质点,其质量分别,由力学知,该质点系的质心坐标,设物体占有空间域,有连续密度函数,则,公式,分别位于,为,为,即:,采用“分割、求和、取极限”可导出其质心,2.空间立体的质心(书p/408),.,19,将分成n小块,将第k块看作质量集中于点,例如,令各小区域的最大直径,系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.,的质点,即得,此质点,在第k块上任取一点,.,20,同理可得,则得形心坐标：,.,21,三、转动惯量1.平面薄片的转动惯量,.,22,薄片对于轴的转动惯量,薄片对于轴的转动惯量,.,23,解,.,24,解,.,25,2.空间立体的转动惯量,设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数,该立体绕x轴、y轴与z轴的转动惯量分别为,.,26,对x轴的转动惯量,对y轴的转动惯量,对原点的转动惯量,对z轴的转动惯量:,.,27,空间物体对单位质点的引力,为引力常数,四、引力1.空间物体对质点的引力,.,28,例8.求半径R的均匀球,对位于,的单位质量质点的引力.,解:利用对称性知引力分量,点,.,29,.,30,薄片对轴上单位质点的引力,为引力常数,2.平面薄片对质点的引力,.,31,解,由积分区域的对称性知,所求引力为,.,32,五、立体体积,1.曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,2.占有空间有界域的立体的体积为,.,33,例10.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.,解:设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,.,34,任一点的切平面与曲面,所围立体的体积V.,解:曲面,的切平面方程为,它与曲面,的交线在xoy面上的投影为,(记所围域为D),在点,例11.求曲面,.,35,例12.求半径为a的球面与半顶角为的,内接锥面所围成的立体的体积.,解:在球坐标系下空间立体所占区域为,则立体体积
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