安徽省合肥市联考2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）

安徽省合肥市联考2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法，求出复数z即可.【详解】复数z满足，故本题选B.【点睛】本题考查复数的四则运算，要求掌握复数的除法运算，比较基础.2.己知为导数，则（ ）A. 4B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】先转化为，再根据导数的运算法则求导，并代入数值计算即可.【详解】，故本题选A.【点睛】本题考查了导数的运算法则和三角函数的求值，属于基础题.3.若函数，则函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. (0，3)D. 【答案】C【解析】【分析】先求函数的定义域，再求导数，最后令，解之即可得到结果.【详解】函数的定义域为：，因为，令并且，得：，所以函数的单调递减区间为(0，3).故本题正确答案为C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，掌握常见函数的导数是关键，属基础题.4.用反证法证明命题“已知，如果可被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ）A. 都能被5整除B. 都不能被5整除C. 不都能被5整除D. 不能被5整除【答案】B【解析】【分析】根据反证法的概念，利用命题的否定，即可求解，得到答案【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证，“中至少有一个能被5整除”的否定是“都不能被5整除”故选B.【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，合理利用命题的否定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题5.水池装有编号为、的5条水管，其中有些是进水管，有些是出水管，如果同时开放两条水管，注满水池的时间如下表：开放水管号注满水池的时间（小时）2156319那么单开一条水管，最快注满水池的水管编号为（ ）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】将表格中数据两两横向对比即可比较出不同水管的进水速度，从而得到答案.【详解】用2小时，用15小时，所以的速度要比快；用15小时，要用6小时，所以比进水速度快；用6小时，用3小时，所以比进水速度快；用3小时，用19小时，比进水速度快；用两个小时，用19个小时，所以比进水快. 根据以上分析可得到:进水速度；.所以最快的是.所以C选项是正确的.【点睛】本题考查识别表格的能力，关键根据表格中两个水管灌满水的时间，每两个横向比较，找到最快的.6.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据排除法可令x=1，排除C，D，且当时，排除B，从而得到答案.【详解】令x=1，则f(1)=e0，所以排除C，D，令，解得或，则时，排除B，选A.所以本题选A.【点睛】本题考查函数图象的判断，一般采用排除法，可利用赋值，求函数奇偶性等进行排除，属基础题.7.用S表示图中阴影部分的面积，若有6个对面积S的表示，如图所示，；.则其中对面积S的表示正确序号的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】先将阴影部分的面积用定积分表示，然后根据定积分的意义和函数的符号进行选择化简即可.【详解】由定积分的几何意义知，区域内的面积为：，又当时，当时，所以，或者，所以，是正确的.所以本题答案为B.【点睛】本题考查定积分在求面积中的应用，解题时要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题.8.已知，用数学归纳法证明：对于任意的，由的归纳假设证明，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据，可知，从而可得到变化了的项.【详解】，.所以D选项是正确的.【点睛】本题考查数学归纳法，考查数学归纳法中的推理，确定到变化了的项是解题的关键，属基础题.9.己知函数，在处取得极大值，则实数的值是（ ）A. B. 2C. 2或6D. 6【答案】D【解析】【分析】由题意可得，解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件.【详解】函数的导数为，由在处有极大值，即有，即，解得或6，若时，可得或，由在处导数左负右正，取得极小值，若，可得或2，由在处导数左正右负，取得极大值.综上可得.所以D选项是正确的.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，根据函数的极值求参数需注意验证函数的单调性，属基础题.10.设的三边长分别为的面积为S，内切圆半径为，则，类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为，内切球半径为，四面体的体积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可【详解】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，则四面体的体积为，故本题正确答案C【点睛】本题主要考查类比推理，将三棱锥分成四个以内切球球心为顶点的小三棱锥是关键，属基础题.11.函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据求出函数的解析式，然后对函数进行求导，进而可得到在点处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求切线方程.【详解】，.将代入，得，在处的切线斜率为，函数在处的切线方程为，即.所以本题答案为D.【点睛】本题主要考查求函数解析式的方法，函数的求导法则以及导数的几何意义，函数在某点的导数值等于该点的切线方程的斜率.12.己知函数是减函数，则实数（ ）A. 2B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出原函数的定义域，求出原函数的导函数，把f(x)是定义域内的减函数转化为f(x)=aln(x+1)-2x恒成立再利用导数求得导函数的最大值，由最大值等于0求得a值.【详解】f(x)的定义域为(-1，+)，f(x)=aln(x+1)-2x由f(x)是减函数得，对任意的x(-1，+)，都有f(x)=aln(x+1)-2x0恒成立设g(x)=aln(x+1)-2x，由a0知，当时，g(x)0；当时，g(x)0，g(x)在上单调递增，在上单调递减，g(x)在时取得最大值又g(0)=0，对任意的x(-1，+)，g(x)g(0)恒成立，即g(x)的最大值为g(0)，解得a=2.所以本题答案为A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求参数可转化为不等式恒成立问题，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.己知，则_.【答案】27【解析】【分析】根据排列组合的公式化简求解可得结果.【详解】由得，解得，.所以本题答案为27.【点睛】本题考查排列组合的公式，熟记公式，认真计算，属基础题.14.设，则_.【答案】【解析】【分析】由题意得，根据定积分的几何意义可知，可得表示的是四分之一的圆的面积，再根据微积分基本定理，可求，最后相加即可得到结果.【详解】由题意得，根据定积分的几何意义可知，表示的是在x轴上方的半径为1的四分之一圆的面积，如图（阴影部分）：故，又，所以.所以本题答案为.【点睛】本题考查微积分基本定理和定积分的几何意义，利用定积分准确表示封闭图形的面积并正确计算是解答的关键，属基础题.15.从2位医生，4位护士中选3人为参加救护工作，且至少有1位医生入选，则不同的选法共有_种.（用数字填写答案）【答案】16【解析】【分析】分析题意可知，需要分两种情况讨论求解：当有一位医生时，有种；当有两位医生时，有种，最后相加即可得到答案.【详解】因为选择3人，且至少有1位医生，所以当有一位医生时，有种，当有两位医生时，有种，故共有种.故本题正确答案为16.【点睛】本题考查排列组合，涉及到的知识点有分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题.16.若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，结合切点满足曲线方程，再设出两条切线方程，变形为斜截式，从而根据切线相同则系数相等，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围【详解】，设切点分别是，所以切线方程分别为：，化简为，所以消，得，令，所以f(x)在单调递减，故，解得.所以本题答案为.【点睛】可导函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在处的切线斜率，这就是导数的几何意义，在利用导数的几何意义求曲线切线方程时，要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”，已知y=f(x)在处的切线是，若求曲线y=f(x)过点(m，n)的切线，应先设出切点，把(m，n)代入，求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再根据两直线方程系数成比例得到一个关于坐标变量的方程组即可.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知复数，是实数，是虚数单位（1）求复数；（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围【答案】（1）z=2i（2）m（，2）时，复数所表示的点在第一象限【解析】【试题分析】（1）将代入，再借助是实数，其虚部为0建立方程求出值；（2）将代入，借助其表示的点在第一象限建立不等式组，通过解不等式组求出的取值范围：解：（1）z=bi（bR），=又是实数， b=2，即z=2i（2）z=2i，mR，（m+z）2=（m2i）2=m24mi+4i2=（m24）4mi，又复数所表示的点在第一象限，解得m2，即m（，2）时，复数所表示的点在第一象限18.如图，一个正方形花圃被分成5份.（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，己知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法?（2）若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法?【答案】（1）96；（2） 16800【解析】【分析】（1）根据题意，依次分析5个部分的种植方法数目， 对C部分种植进行分类，再由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，分2步进行分析：将7个盆栽分成5组，有2种分法：即分成的5组或分成的5组；将分好的5组全排列，对应5个部分，由分步计数原理计算可得答案.【详解】（1）先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植，有3种不同的种植方法；对C部分种植进行分类：C若与B相同，D有2种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有种；C若与B不同，C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有种.综上，共有96种种植方法.（2）将7个盆栽分成5组，有2种分法：若分成2-2-1-1-1的5组，有种分法；若分成3-1-1-1-1的5组，有种分法；将分好的5组全排列，对应5个部分，则一共有种放法.【点睛】该题考查的是有关排列与组合的综合题，涉及到的知识点有分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于中档题.19.已知函数.（1）求在上的最值；（2）对任意，恒有成立，求实数的取位范围.【答案】（1）当时，的最大值为4；当时，的最小值为；（2）.【解析】【分析】（1）对求导，令，得到在上的单调性，从而求得最值；（2）由，数形结合分析可得取值范围.【详解】（1）因为，所以，令，解得或，因为在上，所以在上单调递减；在上单调递增，又因为，所以，当时，的最大值为4；当时，的最小值为.（2）因为，结合图象：令，解得，所以m的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，考查根据函数的图像和性质求参数法人方法，要熟练掌握数形结合思想方法的运用，属中档题.20.设函数，其中是的导数，令，.（1）求，并猜想；（2）证明：猜想的表达式成立.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出的解析式，依次计算即可得出猜想；（2）利用数学归纳法证明即可.【详解】（1）因为，所以，则，所以，猜想.（2）下面用数学归纳法证明：当时，结论成立；假设时结论成立，即，那么，当时，即结论成立，由可知，对成立.【点睛】本题考查了利用数学归纳法证明等式的方法、考查了猜想能力、推理能力与计算能力，其中解答中明确数学归纳证明方法：（1）验证n=1时成立；（2）假设当n=k时成立，证得n=k+1也成立；（3）得到证明的结论.其中在n=k到n=k+1的推理中必须使用归纳假设.属于中档题.21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）对函数的求导数，然后分别讨论当时和当时的情况即可求得结果；（2）构造函数，求的导数，再构造函数，利用导数研究函数的零点，设为，分析可得，且，最后构造函数，因为，由其单调性可得，根据是增函数，从而有，解之即可得到答案.【详解】（1）因为，所以，当时，所以在R上单调递增；当时，得，又因为是增函数；所以在上单调递减；在上单调递增.（2）因为，恒成立，所以等价于 恒成立，令，定义域，则，令，则，所以是增函数，因为，时，