复变函数第一章PPT课件

.,1,复变函数,.,2,第一章复数与复变函数,第二章解析函数,第三章复变函数的积分,第四章解析函数的幂级数表示法,第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点,第六章留数理论及其应用,第七章共形变换,目录,.,3,第一章复数与复变函数,第一节复数,第二节复平面上的点集,第三节复变函数,第四节复球面与无穷远点,.,4,第一节复数,.,5,3、复数的模与辐角,模:,复数可以等同于平面中的向量(从原点到z=x+yi所引向量oz).向量的长度称为复数的模,定义为：,即,性质:,(三角不等式),推广,.,6,证明:,.,7,解:,.,8,证明:,.,9,例6,.,10,注:,辐角:,向量z与实轴正向之间的夹角称为复数z的辐角，定义为：,-主值,主辐角:,.,11,.,12,解:,非零复数的三角形式与指数形式为：,-三角形式,-指数形式,-代数形式,.,13,由于,解:,解:,.,14,所以,利用复数的指数形式作乘除法：,则,注:,.,15,4、复数的乘幂与方根,乘幂,.,16,方根,k=0,1,2,n-1,.,17,可以看到，k=0,1,2,n-1时，可得n个不同的值，即z有n个n次方根，其模相同，辐角相差一个常数，均匀分布于一个圆上。,注1:,注2:,.,18,例10解方程,解：,.,19,5、复数在几何上的应用,(1)曲线的复数方程,.,20,例11试用复数表示圆的方程:,其中，a,b,c,d是实常数。,解：利用,.,21,1、平面点集的几个基本概念2、区域与约当曲线,第二节复平面上的点集,.,22,一基本概念:,.,23,2.聚点:,孤立点:,外点:,内点:,边界点:,集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，记为,.,24,3.开集:,所有点为内点的集合；,闭集:,或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；,有界集:,例,.,25,4.聚点(极限点)的等价说法,.,26,二.区域与Jordan曲线,如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.,(1)D是一个开集；,(2)D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.,1.区域,区域D与它的边界一起构成闭区域,记为,定义1.5,定义1.6,.,27,以上基本概念的图示,区域,邻域,边界点,边界,(1)圆环域:,(2)上半平面:,(3)角形域:,(4)带形域:,例,.,28,2、Jordan曲线,连续曲线C:,平面曲线的复数表示:,.,29,Jordan曲线(简单曲线):,没有重点的连续曲线C称为Jordan曲线(简单曲线).,换句话说,简单曲线自身不相交.,.,30,例,解,.,31,判断下列曲线是否为简单曲线?,答案,简单闭,简单不闭,不简单闭,不简单不闭,.,32,Jordan定理,任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.,内部,外部,边界,(1)彼此不交,(2)E(C)是无界区域,(3)I(C)是有界区域,(4)若简单折线T的一个端点属于I(C),另一端点属于E(C),则T必与C相交.,.,33,3.曲线长度:,定义1.8,设连续弧AB的参数方程为,并且考虑弧AB上对应的点列,.,34,4光滑曲线:,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.,注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.,.,35,复平面上的一个区域D,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于D,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.,单连通域,多连通域,5单连通区域,.,36,满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域?,例(1),.,37,单连通域.,.,38,是多连通域.,不是区域.,.,39,第三节复变函数1复变函数的概念2极限与连续,.,40,例1,解,.,41,解：这一映射可以看作是下列两个映射的复合：,是关于实轴的对称映射，而映射,把都作在同一个复平面上。显然，映射,.,42,把z映射成,其辐角与z的辐角相同，,模为,满足,我们把中心在原点、半径为1的圆称为单位圆。于是，映射,.,43,称为关于单位圆的对称映射，对应的点称为关于单位圆的互相对称点。,w=1/z把原点以外的任何点映射为另外一个点。把z及w表示在不同的扩充复平面，并规定,则我们得到一个扩充z平面到扩充w平面的一个双射。,.,44,定理1.2,证明,2.复变函数极限与其实部和虚部极限关系:,.,45,.,46,例3,证(一),.,47,根据定理1.2可知,证(二),.,48,.,49,例4,证,.,50,根据定理1.2可知,.,51,3复变函数的连续性,定理1.3,定义1.17,.,52,例5,.,53,.,54,4复变函数连续的性质,定理1.7,定义1.18,.,55,1复球面2扩充复球面上的几个概念,第四节复球面与无穷远点,.,56,二.扩充复平面上的几个概念,1无穷远点的邻域:,无穷远点的去心邻域:,注,.,57,2在扩充复平面上单连通区域:,解,例1,注考虑一个无界区域是否为单连通,应看在通常的复平面上还是扩充复平面上,.,58,3广义极限与广义连续,广义极限,广义连续,.,59,例2,证明,由于,.,60,典型例题,.,61,.,62,其几何意义是三角形任意一边的长不小于其它两边边长之差的绝对值.,.,63,.,64,解,.,65,解,.,66,解,.,67,例6满足下列条件的点组成何种图形?是不是区域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.,解是实数轴,不是区域.,是以为界的带形单连通区域.,解,.,68,是以为焦点,